巧用幾何畫板設計鑲嵌圖案

摘要：本文從數學教材中的“鑲嵌”話題引入，利用幾何畫板的“平移”“反射”等變換進行鑲嵌圖案設計，有極強的可操作性。這種設計方法得到的鑲嵌圖案整體可以進行動態變化，且操作簡便，這是利用現代教育技術與數學學科融合的典例。

關鍵詞：鑲嵌；幾何畫板；教育技術

中圖分類號：G434 文獻標識碼：A 論文編號：1674-2117（2018）15/16-0120-03

在華東師大版《數學》七年級（下）第91頁的閱讀材料《多姿多彩的圖案》中有以下兩幅特殊的圖案（如圖1、圖2）。類似地，在北師大版《數學》八年級（下）第85頁的例題中也有類似圖案（如圖2）。

這兩個版本的教材中均選擇了這樣的圖案，說明這樣的圖案一定有其神奇之處，而事實上它們就是鑲嵌圖案。查閱資料可以發現，荷蘭藝術家埃舍爾（M.C.Escher，1898—1972）對鑲嵌圖案頗有研究，教材中選取的圖2就是出自這位藝術家的作品《蜥蜴》。他在創作《天使與惡魔》（如圖3）時，更是借助了“旋轉”“分形”等變換加以實現。創作這些作品時，他自覺不自覺地使用了數學中的“平移”“軸對稱”“旋轉”“分形”等知識，再通過藝術加工，最后兼具了藝術性與科學性。

分析這些圖案可以發現，它們都是以一個圖案為基礎，將圖案中的一部分進行分割，利用“平移”“軸對稱”“旋轉”變換中的一種或幾種進行變換，拼補后得到一個新的基本圖案（注意新的基本圖案與原圖案的面積是相等的）。一個圖案好畫后，要形成一系列有這種特征的圖案，單單借助手工繪圖很難實現。在教學實踐中，如果給學生布置一個這樣的實踐作業，完成的效果基本不會太好，而利用幾何畫板的“平移”“反射（軸對稱）”“旋轉”等變換就可以設計出美妙的鑲嵌圖案。

利用“平移”變換設計鑲嵌

操作過程如下：

1.畫一個矩形ABCD。

2.在矩形ABCD內部靠近線段AD，任作三個點E、F、G，依次選定點A、E、F，選擇菜單欄“構造”菜單下“過三點的弧”，就可得到圖4，選定點F、G、D，重復之前的步驟，可得到圖5。移動點E或點F，可改變兩弧的形狀或長度（如圖6）。

3.依次選定點A、B，選擇菜單欄“變換”菜單下“標記向量”，會看到由點A到點B閃爍一下，接著選定兩弧，選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，彈出“平移”對話框，點擊“平移”按鈕，得到如上頁圖7的效果。

4.在矩形ABCD內部靠近線段CD，任作三個點H、I、J，依次分別選定D、H、I和I、J、C，重復步驟2的過程，可得如圖8的效果。依次選定點D、A，選擇菜單欄“變換”菜單下“標記向量”，會看到由點D到點A閃爍一下，接著選定兩弧DHI和IJC，重復步驟3中的其余步驟，得到如圖9的效果。

5.依次選定線段AB、BC、CD、DA，選擇菜單欄“顯示”菜單下“隱藏對象”，實現隱藏四條線段（或按快捷鍵Ctrl+H也可）。選定點E、F、G，選擇菜單欄“編輯”菜單下“操作類按鈕”的下級菜單“隱藏/顯示”按鈕，生成一個“隱藏/顯示”圖標按鈕。點擊按鈕，可以讓以上各點隱藏或顯示，為后期形成整幅圖案后，調整基本圖案做好準備工作。同時如果需要調整基本圖案，可以適當調整A、B、C、D、E、F、G中的某點或幾個點的位置，以進一步美化圖案。

6.依次選定點A、D，選擇菜單欄“變換”菜單下“標記向量”，會看到由點A到點D閃爍一下，接著選定所有對象（整幅圖案），選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，用文本工具點擊點D平移后的對應點D'，會顯示出“D'”，依次選定點A、D'，重復之前步驟，出現圖10的效果。

7.依次選定點A、B，選擇菜單欄“變換”菜單下“標記向量”，會看到由點A到點B閃爍一下，接著選定所有對象（整幅圖案），選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”。根據需要可重復步驟6、7，得到圖11的效果。如果根據需要打印出來，適當涂色，則可變換出各種效果。

利用文本工具依次點左上角第一幅圖，可看到點的標簽隱藏，適當調整圖中某一點或某幾個點的位置，則會出現整個圖案動態變化。

利用“平移”“軸對稱”變換設計鑲嵌

如何能出現圖1、圖2的特殊效果呢？有了上面第一種做法為基礎，用“平移”“軸對稱”進行鑲嵌圖案的設計就很好操作了。具體步驟如下：

1.任畫一條線段AB，并分別過點A、B作AB的垂線，在過點A的垂線上任取一點C，雙擊線段AB（或選擇菜單欄“變換”菜單下“標記鏡面”），選定點C，選擇菜單欄“變換”菜單下“反射”，得到點C'（如點C'標簽未顯示，則點擊左側文本工具，再點擊點C'，即可顯示標簽）。

2.在線段AB上方取三點D、E、F，依次選中B、D、F，選擇菜單欄“構造”菜單下“過三點的弧”，得到弧BDE，同理再作弧CFE。

3.選定過點B的垂線，選擇菜單欄“變換”菜單下“標記鏡面”（雙擊該直線也可標記），會看到該直線閃爍一下。同時選定弧BDE與弧CFE（不選點），選擇菜單欄“變換”菜單下“反射”，得到圖12。

4.依次選中點B、C'， 選擇菜單欄“變換”菜單下“標記向量”，同時選定剛剛步驟3中得到的兩弧，選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，彈出對話框，點擊“平移”，得到圖13。隱藏步驟3中得到的兩弧。

5.在直線AC右側（靠近AC），線段AB上方取點G、H、I，依次選中A、G、H，選擇菜單欄“構造”菜單下“過三點的弧”，得到弧AGH，同理再作弧CIH。

6.雙擊該直線AC標記鏡面，同時選定弧AGH與弧CIH，選擇菜單欄“變換”菜單下“反射”，得到上頁圖14。

7.依次選中點A、C'，選擇菜單欄“變換”菜單下“標記向量”，同時選定剛剛步驟6中得到的兩弧，選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，彈出對話框，點擊“平移”，得到上頁圖15。隱藏步驟6中得到的兩弧。

8.分別選定線段AB及兩垂線，按快捷鍵Ctrl+H，加以隱藏。基本圖案已經完成。

9.選定點G、H、I、D、E、F，選擇菜單欄“編輯”菜單下“操作類按鈕”的下級菜單“隱藏/顯示”按鈕，生成一個“隱藏/顯示”圖標按鈕，點擊按鈕，可以讓以上各點隱藏或顯示，為后期形成整幅圖案后，調整基本圖案做好準備工作。

10.依次選中點A、B，選擇菜單欄“變換”菜單下“標記向量”，同時選定圖案中的所有弧和點B，選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，彈出對話框，點擊“平移”，得到上頁圖16。用文本工具點擊最右側點，顯示點B'的標簽，依次選中點A、B'，重復剛才的操作過程，可得如圖17的圖案。根據需要，可繼續重復之前過程（注意：不能復制粘貼后再手動平移）。

11.依次選中點C、C'，選擇菜單欄“變換”菜單下“標記向量”，同時選定圖案中的所有弧和點C'，選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，彈出對話框，點擊“平移”。用文本工具點擊最下端的點，顯示點C''的標簽，依次選中點C、C''，重復剛才的操作過程，可得類似圖18的圖案。

如果要調整圖案形狀，就需要調整A、B、C點的位置，更進一步可以點擊步驟9中生成的“隱藏/顯示”圖標按紐，對其他點進行調整。這時會發現，左上角的基本圖案變化的同時，其他部分也變化了。

你理解整個鑲嵌圖案設計的原理了嗎？你是否想嘗試挑戰一下自己，用“平移”“旋轉”等變換設計一個鑲嵌圖案？

參考文獻：

[1]王建磐.義務教育教科書·數學（七下）[M].上海：華東師范大學出版社，2016，12.

[2]江玉軍.幾何畫板5.0從入門到精通[M].中山：中山大學出版社，2011，8.

[3]邵新虎，王鳳進，羅新展.利用幾何畫板探究數學問題[M].北京：北京師范大學出版社，2016，4.

作者簡介：亢建波，山西省臨汾市第一中心學校數學高級教師。