解題的有力抓手

鐘岳宏

【內容摘要】日本著名數學教育家，學者米山國藏說過：在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神，數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終身受益?？梢?，掌握了數學思想方法，便掌握了數學的精髓，在解題過程中，能進一步挖掘和運用思想方法，往往能事半功倍，立竿見影。

【關鍵詞】解題 數學 思想

前言

常見的數學思想方法有：換元思想、函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想。筆者以《義務教育教科書·數學》（九年級上冊）為例，對常見幾種數學思想方法的解題運用作簡單分析，以求拋磚引玉，請教于同行。

一、換元思想

換元法也稱變量替換法，是數學中一個非常重要而且應用廣泛的解題方法，即根據所要求解式子的結構特點，巧妙地設置新的變量來替換原來表達式中某些式子或變量，對新的變量求出結果后，返回去再求原變量的結果。通過換元，使問題化難為易，化繁為簡。

二、 函數與方程思想

函數、方程是兩個不同的概念，但又密不可分，是初中數學的核心內容，也是解答數學問題常用的數學思想。

1.方程思想

方程思想是通過對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程，適當設定未知數，將問題化歸為方程的問題，利用方程的性質、定理，實現問題與方程的互相轉化接軌，從而使問題得到解決。

例（教科書56頁復習題第7題）。某公司前年繳稅40萬元，今年繳稅48.4萬元。該公司這兩年繳稅的平均增長率為多少？

分析：本題是平均增長率問題，其中a為基數，b為終止時的數量，x為平均增長率（降價率），n為增長（降低）的次數。如果設平均增長率為x，那么a是40萬元，b是48.4萬元，n等于2，即可建立方程，求出x的值。

解：設該公司這兩年繳稅的平均增長率為x

答：該公司這兩年繳稅的平均增長率為10%

2.函數思想

所謂函數思想，就是用運動、變化的觀點分析、研究具體問題中的數量關系，以函數的形式加以研究，轉化和解決問題。函數思想是函數概念、圖象和性質等知識更高層次的提煉和概括。

例（教科書159頁習題6.4第2題）。某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p（kpa）是氣體體積v（m3）的反比例函數。

（1）寫出這一函數的表達式；

（2）當氣體體積為1 m3時，氣壓是多少？

（3）當氣球內的氣壓大于140 kpa時，氣球將爆炸。為了安全起見，氣體的體積應不小于多少？

分析：本題考查了用待定系數法求函數表達式及運用函數表達式解答實際問題，利用了函數思想。解不等式即可。

三、數形結合思想

數形結合思想是數學中重要的思想方法之一。它溝通了代數與幾何的內在聯系，通過對圖形的認識及數形結合的轉化，使問題化難為易，化抽象為具體，通過形可以解決數很難解決的問題。其解題特點是：具有直觀性、靈活性、深刻性，有較強的綜合性。加強這方面的學習和訓練，能更好的提高學生的創新能力的培養學生的創造性思維。

（1）寫出這個一次函數的表達式；

（2）畫出函數圖象草圖，并據此寫出使一次函數值大于反比例函數值的x的取值范圍。

分析：本題將反比例函數與一次函數相聯系，考查了待定系數法求函數表達式及觀察函數圖象的能力，解題過程中需要數形結合，具有一點的綜合性。（1）題是根據A，B兩點坐標及反比例函數的表達式求出m，n的值，然后用待定系數法求得一次函數的表達式；（2）題利用數形結合，當一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方時，對應的x的范圍即為所求。

使一次函數值大于反比例函數值的x的取值范圍是x<-1或0

四、分類討論思想

所謂分類討論思想，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種思想。 分類討論相當于增加了求解問題的條件，它體現出化整為零，從部分到整體的思想方法。討論時一定要全面，做到不重不漏。

例（教科書102頁習題4.9第4題）。在ΔABC中，AB=8cm，BC=16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s.如果P，Q兩動點同時運動，那么何時ΔQBP與ΔABC相似？

分析：本題屬動點型問題，考查了兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似的應用。因為對應邊的不同得到不同的成比例線段，所以要分類討論。分類討論思想是實際解題中必須使用的方法，通過使用這種方法，可以明確問題答案的多種情況，可以全面思考問題，并且從多種情境的解析的得出最終的答案。對于學生來說，必須掌握這種方法，進而提升自己的解題效率和全面性。學生如果不了解數學思想，只是一味地去記憶數學概念、數學公式、數學法則、數學定理，對于數學知識和技能的認知也浮于表面，無法掌握其精髓和核心。換言之，學生只掌握了表面的數學知識，沒有理解其核心和內涵，沒有抓住其本質內容。當數學問題換一種更為復雜的形式時，學生就難以解決。因此，數學教師在平時教學中既要做好基礎知識的傳授工作，同時還要做好數學思想的滲透工作。讓學生對數學思想有一定的感知，面對數學綜合題的時候能夠抓住其本質，首先分析探求思路，接著優化實施解答，最后再反思驗證結論，讓數學思想貫穿整個過程，這樣可以將數學思想的功能和價值最大限度發揮出來。學生掌握了數學思想，就掌握數學的本質，也就具備了舉一反三的能力，無論數學問題的形式如何改變，學生都能快速找到解題思路，理清楚各個已知條件之間的關系，并在已知條件和所求問題之間建立聯系，從而提升解題速度、解題正確率。

五、轉化與化歸思想

利用轉化和化歸思路，可以把數學問題轉化為比較容易思考或者解決的形式，這樣可以顯著降低解題的難度，相應的解題流程也能得到簡化，這種方法是數學解題中比較常見的方法，具有較強的應用價值。數學轉化與化歸思想方法是數學思想方法的靈魂，是“由一種形式轉換成另一種形式”的數學轉換，解題過程實質就是由繁到簡，由難到易，由已知到未知的轉換過程。匈牙利數學家波利亞把數學解題思維過程概括為理解、轉換、實施、反思。可見，轉換是關鍵，也是一種手段。本冊中用配方法、公式法、因式分解法求解一元二次方程和相似三角形判定定理的證明，都充分利用了數學中的轉化與化歸思想。配方法解方程是把方程化為其它形式，體現了數學形式的轉化；公式法解方程是直接利用公式把方程中的“未知”轉化為“已知”；因式分解法解方程是運用“降次”，把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程。而相似三角形判定定理的證明，換言之，數學思想是對數學知識的升華和融會貫通。這是一種觀念性的東西，同時也能在一定程度上標志出一個人的數學素質程度。在數學教學中融入數學思想，就如同教師在授學生“魚”的同時還授學生以“漁”，學生既掌握了數學知識，同時也形成了舉一反三、觸類旁通的能力。數學思想的滲透，對學生數學素質的提升以及數學觀念的形成具有積極的作用和意義。對于數學解題而言，數學思想扮演者靈魂的角色。從新課程改革也可以看出，針對數學考試的評價也進行了一定的調整。在傳統的數學教學中，針對數學教學的評價主要看學生掌握了多少數學知識和數學技能，如今也增加了對數學思想的考察。隨著課程改革的深化，數學評價中對于這部分的考察分量也越來越重。這也在提醒數學教師要重視數學思想的滲透。

分析：本題考查了相似三角形的判定、角平分線的定義、等邊對等角等知識的綜合應用，當求證結論是乘積式或比例式時，常轉化為證兩個三角形相似，體現了數學的轉化與化歸思想。

數學思想方法是數學知識的靈魂，是我們解決數學問題的有力抓手，也是學好數學的一把金鑰匙。其實，在解題中許多數學思想方法既相輔相成又相互蘊含，加強學生挖掘隱含在解題過程中的思想方法，舉一反三，觸類旁通，既發展了學生的學習能力，又提高了學生的數學素養。

（作者單位：廣東省惠來縣隆江中學）