淺談平行四邊形的證明

李永環(huán)

【內(nèi)容摘要】平行四邊形的教學(xué)難點(diǎn)在于學(xué)生要熟練運(yùn)用平行四邊形的判定方法去證明四邊形是平行四邊形，而學(xué)生對(duì)平行四邊形的證明方法理解歸納不夠，思考時(shí)間過(guò)多，稍難點(diǎn)的題目就無(wú)從下手。為此，本人將對(duì)平行四邊形的證明進(jìn)行歸類(lèi)、總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】平行四邊形 證明

平行四邊形性質(zhì)判定歸納。從識(shí)記內(nèi)容上面來(lái)看學(xué)生要記和用的內(nèi)容偏多，易混淆。從記憶方法來(lái)說(shuō)，性質(zhì)和判定都可以從邊的角度、角的角度、對(duì)角線的角度三個(gè)方面來(lái)捋順。這些一般情況下，老師們都不成問(wèn)題，所以具體不再贅述。

從具體證明類(lèi)型來(lái)說(shuō)，本人把證明類(lèi)型分為三類(lèi)：

一、證明截平行四邊形的邊所組成的四邊形是平行四邊形

例1.如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)E，DF平分∠ADC，交BC于點(diǎn)F，那么四邊形BFDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：BE與DF是角的平分線，截已有平行四邊的邊AD、BC形成新的四邊形BFDF證明方法有幾種，可以用“對(duì)角相等”“對(duì)邊平行”、“對(duì)邊相等”、“一組對(duì)邊平行且相等”的方法去證明。其中較方便的是“對(duì)邊平行”的方法去證明。

變式1 題目中”BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)E，DF平分∠ADC，交BC于點(diǎn)F”的條件變?yōu)镋D=BF后，證明方法和證明類(lèi)型是差不多的。

變式2 已知：如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)。求證：四邊形ENFM是平行四邊形。

分析：四邊形DEBF就是在已有的平行四邊形外層被截所形成的四邊形，證明它是平行四邊形的方法與例題1相同。在已完成證明四邊形DEBF是平行四邊形的條件下，要證四邊形ENFM是平行四邊形還是與例題1方法一樣，只不過(guò)這道題要證兩次而已。

若把“M、N 分別是DE、BF的中點(diǎn)”，的條件變?yōu)镸E=FN，或改成EN、MF分別平分∠DEB、∠DFB時(shí)，證明方法、類(lèi)型仍然一樣。

變式3 如圖，在 平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且BF=DE，連接AF，CE，BE，DF，AF與BE相交于M點(diǎn)，DF與CE相交于N點(diǎn)。求證：四邊形FMEN為平行四邊形。

分析：這道題我們可以先證四邊形AFCE是平行四邊形，再證四邊形BFDE是平行四邊形，分別得出MF∥EN，ME∥FN就可以說(shuō)明四邊形FMEN為平行四邊形了。這些都可以讓學(xué)生去思考、探究、總結(jié)，從而形成學(xué)生對(duì)這類(lèi)題目證明的快速反應(yīng)。

二、證明截平行四邊形的對(duì)角線所形成的四邊形是平行四邊形

例題2，已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF。求證：四邊形DEBF是平行四邊形。

分析：四邊形DEBF可以看成是被線段DE和BF所截而形成的四邊形。連接DB交AC與點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AO=OC，DO=BO，又因?yàn)锳E=FC，所以EO=FO所以四邊形DEBF是平行四邊形。這類(lèi)問(wèn)題方法簡(jiǎn)單好用，就用“對(duì)角線互相平分”的判定方法即可。

變式1 如圖，已知：AB，CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，AO=BO，E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點(diǎn)。求證：四邊形AFBE是平行四邊形。

分析：這道題我們可以先證四邊形ADBC是平行四邊形，易證△AOC≌△BOD，所以O(shè)C=OD，又AO=BO， 所以四邊形ADBC是平行四邊形。剩下的過(guò)程就跟例題差不多了。

三、證明過(guò)平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)的直線所形成的四邊形是平行四邊形

例題3，已知：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O， EF過(guò)點(diǎn)O與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F。求證：四邊形AECF是平行四邊形。

分析：這道題的證明只需證△AOE≌△COF即可得出OE=OF（或 AE=FC），從而四邊形AECF是平行四邊形。

變式1 如圖①，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O，與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH過(guò)點(diǎn)O，與AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH.（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）如圖②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖②中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）。

分析：過(guò)平行四邊形的對(duì)角線的直線現(xiàn)在變成了倆條，同樣可證△AOE≌△COF，△AOG≌△COH全等，從而得出OE=OF，OG=OH。就可以說(shuō)明四邊形EGFH是平行四邊形了。第二問(wèn)一般也學(xué)生不難解決。

學(xué)生如果能熟悉平行四邊形的三大類(lèi)型以及它們的證明方法的話，相信學(xué)生在證明平行四邊形時(shí)，反應(yīng)速度會(huì)比較快。

（作者單位：中建麥紹棠學(xué)校）