基于Caputo導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階非線性振動系統(tǒng)響應(yīng)計算

， *，

(1.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 力學(xué)系，天津 300072； 2.天津大學(xué) 天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

1 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分是對整數(shù)階微積分的一種推廣，將微積分運算的階次從傳統(tǒng)的整數(shù)階擴(kuò)展到了分?jǐn)?shù)階和復(fù)數(shù)階，至今已有三百多年的發(fā)展歷史，已成為研究反常擴(kuò)散、多孔介質(zhì)力學(xué)、非牛頓流體力學(xué)、粘彈性力學(xué)以及軟物質(zhì)物理等學(xué)科領(lǐng)域的有力數(shù)學(xué)工具。

關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義較多，常用的有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)和Caputo導(dǎo)數(shù)。Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的初始條件沒有物理意義，而Caputo導(dǎo)數(shù)所描述系統(tǒng)的初始條件有明確的物理意義，且形式上和整數(shù)階微分方程的初始條件類似，更符合工程實際，因而在有明確物理和工程背景的研究工作中應(yīng)用較多[1-3]。對于Caputo導(dǎo)數(shù)下的微分方程，目前導(dǎo)數(shù)階數(shù)相同時相關(guān)的算法已經(jīng)成熟[4-10]，階數(shù)不同時，文獻(xiàn)[11]考慮了分段線性Chen系統(tǒng)的混沌和多穩(wěn)態(tài)行為，但未給出具體的算法。為計算階數(shù)不同時系統(tǒng)的響應(yīng)，文獻(xiàn)[2，3,17]采用了變通的做法，即用分?jǐn)?shù)階的Grunwald-Letnikov導(dǎo)數(shù)的算法來計算Caputo導(dǎo)數(shù)，這種處理是否可行，尚未見報道。

為此，本文研究階數(shù)不同時Caputo導(dǎo)數(shù)意義下微分方程的算法。首先，給出一些預(yù)備知識；然后，推導(dǎo)含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項非線性振動系統(tǒng)狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及用于計算Caputo導(dǎo)數(shù)的迭代格式；最后，通過算例說明本文理論分析的正確性和所得計算方法的可靠性，以及用分?jǐn)?shù)階的Grunwald-Letnikov導(dǎo)數(shù)算法來計算Caputo導(dǎo)數(shù)時可能存在的問題。

2 預(yù)備知識

為敘述方便起見，先介紹本文用到的三種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及其聯(lián)系。……