基于BDS廣播星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)擬合精度分析

劉雙童,王明孝,楊樹(shù)文,楊明澤,楊立華

(1.蘭州交通大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院,甘肅 蘭州 730070; 2.甘肅省地理國(guó)情監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室,甘肅 蘭州 730070; 3.中國(guó)人民解放軍68029部隊(duì)博士后科研工作站,甘肅 蘭州 730020; 4.蘭州精準(zhǔn)地形沙盤(pán)模型智能制造有限公司,甘肅 蘭州 730020)

0 引 言

我國(guó)自主研制的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)于2012年底正式向亞太地區(qū)提供定位、導(dǎo)航和授時(shí)服務(wù),按照“三步走”計(jì)劃,將于2020年為全球用戶(hù)提供服務(wù),人們對(duì)BDS的使用度和關(guān)注度越來(lái)越高[1-2]。獲取衛(wèi)星位置是進(jìn)行定位導(dǎo)航的基礎(chǔ),實(shí)時(shí)定位導(dǎo)航一般是基于廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星位置[3],但往往需要反復(fù)計(jì)算,這會(huì)占用較多的內(nèi)存空間和計(jì)算時(shí)間,影響效率。針對(duì)此問(wèn)題,可將衛(wèi)星星歷表示為一個(gè)時(shí)間多項(xiàng)式,并將多項(xiàng)式系數(shù)保存到內(nèi)存中。這樣計(jì)算衛(wèi)星位置時(shí),只需調(diào)出多項(xiàng)式系數(shù)[4]。

目前對(duì)于GPS廣播星歷的擬合研究相對(duì)較多[5-20],對(duì)我國(guó)的BDS廣播星歷研究相對(duì)較少。BDS不同于GPS的單一星座系統(tǒng),它為三類(lèi)衛(wèi)星軌道組成的混合星座,分別為地球靜止軌道(GEO)衛(wèi)星,中圓軌道(MEO)衛(wèi)星,傾斜地球同步軌道(IGSO)衛(wèi)星[5]。這三種軌道具有一定區(qū)別,因此本文利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合法,獨(dú)立探討這三類(lèi)不同軌道衛(wèi)星的坐標(biāo)擬合精度。

1 切比雪夫多項(xiàng)式擬合法原理

假定在時(shí)間間隔[t0,t0+Δt]內(nèi),對(duì)廣播星歷進(jìn)行n階切比雪夫多項(xiàng)式擬合。其中t0為初始?xì)v元,Δt為擬合時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度。先把變量t∈[t0,t0+Δt]轉(zhuǎn)換成τ∈[-1,1]:

(1)

那么衛(wèi)星三維坐標(biāo)分量可表示為

(2)

(3)

(4)

式中:n為切比雪夫多項(xiàng)式階數(shù);CXi、CYi、CZi分別是X、Y、Z坐標(biāo)分量的切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。切比雪夫多項(xiàng)式Ti(τ)用以下遞推公式確定:

T0(τ)=1,T1(τ)=τ,Tn(τ)=2τTn-1(τ)-Tn-2(τ),|τ|≤1,n≥2.

(5)

利用間接平差方法來(lái)求解切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。下面以Xi坐標(biāo)分量為例說(shuō)明其算法。

列誤差方程,

V=TC-X.

(6)

其展開(kāi)式為

(7)

基于最小二乘法,計(jì)算可得X坐標(biāo)分量的切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)C,

膀胱癌患者95%的病理起源都是上皮組織,男性比女性發(fā)病率高,單發(fā)多發(fā)、大小等不同,有乳頭狀也有扁平斑塊狀。大部分的患者都是50歲之后發(fā)病,因無(wú)痛性血尿接受診斷,部分為膀胱刺激接受診斷。最常見(jiàn)的發(fā)病部位就是膀胱三角區(qū)近輸尿管開(kāi)口處,然后是膀胱側(cè)壁。膀胱癌容易想膀胱內(nèi)壁浸潤(rùn),導(dǎo)致膀胱附近的組織和器官受到影響。腫瘤乳頭斷裂和壞死導(dǎo)致了血尿,部分患者因?yàn)榘螂尊つな艿酱碳ざ霈F(xiàn)尿急尿痛癥狀。腫瘤堵塞輸尿管開(kāi)口導(dǎo)致腎盂腎炎和腎盂積膿。

C=(TTT)-1TTX.

(8)

同理,可分別求出坐標(biāo)分量Y、Z的切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。將系數(shù)C,Ti(τ)代入式(2),式(3),式(4)中,就可以求出擬合區(qū)段內(nèi)的任一時(shí)刻的衛(wèi)星三維坐標(biāo)。

2 BDS廣播星歷擬合精度分析

BDS廣播星歷每1 h發(fā)布一次,因此擬合時(shí)間段固定為參考?xì)v元前后0.5 h.從ftp://cddis.gsfc.nasa.gov/pub/gps/data/campaign/mgex/daily上下載了2018年3月15日的BDS廣播星歷,分別選取了UTC12時(shí)的C01衛(wèi)星(GEO衛(wèi)星)、C07衛(wèi)星(IGSO衛(wèi)星)、C13衛(wèi)星(MEO衛(wèi)星)的廣播星歷作為實(shí)驗(yàn)分析對(duì)象。

對(duì)這三顆衛(wèi)星在11:30到12:30時(shí)間段進(jìn)行軌道擬合,將利用直接法得到的固定時(shí)間間隔的衛(wèi)星坐標(biāo)作為已知節(jié)點(diǎn),利用不同的擬合階數(shù),設(shè)置更為時(shí)間密集的檢核點(diǎn),在檢核點(diǎn)上擬合出來(lái)的衛(wèi)星坐標(biāo)與直接法求得的衛(wèi)星坐標(biāo)對(duì)應(yīng)求差,對(duì)殘差進(jìn)行數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì),求出其絕對(duì)值的最大值、平均值及中誤差,進(jìn)行擬合精度分析。分兩方面進(jìn)行分析:當(dāng)擬合時(shí)間間隔固定時(shí),不同擬合階數(shù)下的擬合精度;當(dāng)擬合階數(shù)固定時(shí),不同擬合時(shí)間間隔下的精度。

2.1 不同擬合階數(shù)下的擬合精度

將擬合時(shí)間間隔固定為5 min,共有13個(gè)已知節(jié)點(diǎn);每30 s設(shè)置一個(gè)檢核點(diǎn),共有121個(gè)檢核點(diǎn),不同階數(shù)下的衛(wèi)星擬合誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1～3所示。

可以看出,擬合階數(shù)與擬合精度有著緊密的關(guān)系。當(dāng)擬合階數(shù)較低時(shí),其誤差較大。在一定范圍內(nèi),隨著擬合階數(shù)的增加,其精度得到提高。當(dāng)擬合階數(shù)接近節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí),精度卻開(kāi)始降低。這三顆不同軌道類(lèi)型的衛(wèi)星所達(dá)到較高擬合精度的階數(shù)略有不同。對(duì)于1號(hào)GEO衛(wèi)星,當(dāng)階數(shù)取7～9時(shí),其精度相對(duì)較高,X、Y方向的誤差相對(duì)較大,最大值均低于3 cm,平均值約4 mm;Z方向精度相對(duì)較高,最大值甚至達(dá)到亞毫米級(jí),平均值僅0.2 mm;7號(hào)IGSO衛(wèi)星和13號(hào)MEO衛(wèi)星都是在10～11階時(shí),擬合精度相對(duì)較高,最大值基本達(dá)到亞毫米,平均值穩(wěn)定在0.2 mm以下。相對(duì)于BDS廣播星歷自身的米級(jí)誤差,該擬合誤差可以忽略不計(jì)。

表1 不同階數(shù)下的1號(hào)GEO衛(wèi)星擬合誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表2 不同階數(shù)下的7號(hào)IGSO衛(wèi)星擬合誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表3 不同階數(shù)下的13號(hào)MEO衛(wèi)星擬合誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

2.2 不同擬合時(shí)間間隔下的擬合精度

對(duì)1號(hào)衛(wèi)星將擬合階數(shù)固定為8階,對(duì)7號(hào)和13號(hào)衛(wèi)星都將擬合階數(shù)固定為10階,分析它們?cè)跁r(shí)間間隔分別為3 min、4 min、5 min、6 min時(shí)的擬合精度。表4～6分別為這三顆衛(wèi)星在不同時(shí)間間隔下的擬合誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果。可以看出,在同一擬合階數(shù)下,隨著擬合時(shí)間間隔的增大,即擬合節(jié)點(diǎn)數(shù)的減少,其擬合精度在不斷下降。但是其擬合精度下降的幅度相對(duì)較小,除了1號(hào)GEO衛(wèi)星的殘差最大值下降幅度為厘米級(jí),其他的大部分都在亞毫米級(jí)。

表4 不同時(shí)間間隔下的1號(hào)GEO衛(wèi)星擬合誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表5 不同時(shí)間間隔下的7號(hào)IGSO衛(wèi)星擬合誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表6 不同時(shí)間間隔下的13號(hào)MEO衛(wèi)星擬合誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

3 結(jié)束語(yǔ)

本文利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合法,通過(guò)對(duì)2018-3-15的BDS廣播星歷中的三顆不同軌道類(lèi)型的衛(wèi)星擬合實(shí)驗(yàn),得出以下結(jié)論:

1) 在同一擬合時(shí)間間隔下,擬合階數(shù)與擬合精度有著密切的關(guān)系。擬合階數(shù)過(guò)低或者過(guò)高(接近擬合節(jié)點(diǎn)數(shù)),其擬合精度都較差;在一定區(qū)間內(nèi),擬合精度與擬合階數(shù)成正相關(guān)關(guān)系。

2) 當(dāng)擬合階數(shù)固定時(shí),不同的擬合時(shí)間間隔,其擬合精度不同。一般來(lái)說(shuō),擬合間隔越大,即擬合節(jié)點(diǎn)數(shù)越少,其精度相對(duì)較低。

3) BDS中的三類(lèi)不同軌道衛(wèi)星在同一擬合時(shí)間間隔和擬合階數(shù)下,其擬合精度不同。GEO衛(wèi)星的擬合精度相對(duì)較差,IGSO衛(wèi)星和MEO衛(wèi)星擬合精度相對(duì)較好。