基于單自由度彈簧質量系統理論的探討

(上海電機學院數理部， 上海 200023)

1 單自由度彈簧質量系統的自由振動

我們知道靠系統本身的彈性恢復力維持的振動稱為自由振動，下面我們給出物理模型圖

K：無質量彈簧的剛度

c：阻尼系數

m：無彈性的質量

x：位移

t：時間

由胡克定律得：彈簧的恢復力

系統的阻力

由牛頓第二定理得

數學表達成為為了研究方便設

由二階常系數線性微分方程的理論得

特征方程

特征根

（1）當時：記

通解為

其中C1,C2是常數

通解形式為

該通解顯然是一個周期函數

（2）時，特征根是兩個不相同的實數λ1，λ2

通解為

（3）當時，特征根是兩個相同的實數λ1=λ2=λ

通解為

我們將作為阻尼的臨界值，這里臨界值得意思是：當時的通解不是周期函數，不具有振動性質，當時的通解是周期函數，具有振動性質。

以上我們知道單自由度彈簧質量系統的自由振動對應一個二階常系數齊次線性微分方程，當一個振動系統還經常受到一個外力的作用時，這種振動稱強迫振動，最常見的外力往往是按周期變化的，下面考察周期外力是按正弦變化作用下，當時，單自由度彈簧質量系統的強迫振動情況。

2 單自由度彈簧質量系統的強迫振動

我們給出單自由度彈簧質量系統的強迫振動的 物理模型所有符號同上，其中即正弦變化的外力數學表示式：

為方便研究令

得

上式為二階常系數非齊次線性微分方程，對應二階常系數齊次線性微分方程為

通解為

即為自由振動時的情況下的通解，假設符號同上，現在我們再求的一個特解

設特解為

其中M，N是待定常數，將 代入（*）式得到

因此我們最終得到了

從中可以看出是有阻尼的自由振動項，他是系統本身的固有振動，他隨時間的增大而衰減，是有外力而引起的強迫振動項，它的振幅不隨時間增大而衰減，因而考慮強迫振動主要就考察

3 關于的討論

我們現在來研究外力的頻率 P取什么值時，所引起的強迫振動項的振幅達到最大值

求的最大值

即求的最小值

對求導得

令解得

得到這樣的結論：

外力的頻率時，強迫振幅項達到最大，這時的頻率稱為共振頻率，研究的現象叫做共振現象，我們定義是系統本身的固有頻率，當 n很小時，

P≈ω可作為共振頻率。

4 單自由度彈簧質量系統的理論在機械安裝中的應用

例：一臺電動機重為48千克轉速為1430轉/分，固定在兩根五號槽鋼組成的簡支梁上的中點，每根槽鋼長為1.2米，重為6.62千克，EJ=16.6ⅹ103牛米2。這種安裝方法是否合理呢？我們可以來分析一下：

首先我們將上述系統簡化為一個單自由度彈簧質量系統，槽鋼重量與電動機重量相比不可忽略，將槽鋼質量的一半加在電動機質量上一起作為“無彈性”的質量，這樣槽鋼作為“無質量”的彈簧。

其次求該系統的固有頻率ω，現在質量塊的質量為48+6.62=54.62（千克）

根據材料力學中簡支梁的撓度公式，在梁中點作用一垂直力F時該點的撓度為

于是兩支梁的彈簧剛度為

兩根槽鋼的總彈簧剛度為

（牛頓/米）該系統的固有頻率為

最后我們根據電動機的轉速1430轉/分，求出外力的頻率P

P=1430ⅹ2 /60=149.7（1/秒）

由于：外力的頻率為149.7（1/秒）系統固有頻率為129.9（1/秒）兩個數值比較接近，這樣會產生共振，因此我們認為不合理。

怎樣來避免這種現象呢？這里我們可以用增加梁的長度的方法來解決，若將梁的長度增加到1.5米，即梁的重量為662ⅹ1.25=8.275（千克）

這樣P=149.7（1/秒），ω=91.6（1/秒），P和ω相差很大，不會產生共振。

5 結論

單自由度彈簧質量系統的自由振動對應一個二階常系數齊次線性微分方程，單自由度彈簧質量系統的強迫振動對應一個二階常系數非齊次線性微分方程，當外力的頻率時，系統會產生共振現象，當n很小時，P≈ω可作為共振頻率。

在旋轉機械中，如通風機、電動機、水泵、離心壓縮機、汽輪機等，由于偏心質量而引起強迫振動是很普遍的，我們可以將該現象簡化為單自由度彈簧質量系統，經過研究和討論得到，當外力的頻率和系統本身的固有頻率比較接近時會產生共振，由于劇烈振動，不但會引起機器本身結構或部件的破壞，縮短使用壽命，降低效率等不利·影響，而且會影響周圍的精密儀器設備不能正常工作或降低其靈敏度和精確度，因此有效的隔離共振是現代化工業中的重要問題。它必須引起企業的高度重視。