一道從教材習題改造成的高三質檢試題

晁豐成

摘要：例題、習題是數學教材的重要組成部分，是教師有效教學和學生有效學習的重要載體，數學試卷的命制多數是從教材出發的，本文簡要介紹了一道高三模擬試卷第18題的前生今世，以方便大家課堂教學。

關鍵詞：教材；命題；種子；改造；能力立意；專業素養

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）12-087-2

2017年1月，筆者有幸參與了江蘇省某大市2017屆高三第二次質量檢測數學試卷的命題工作，按照命題組長要求，命題小組成員（共計4人）除了每人準備好一套成套試卷備選之外，還要參與重點專題的命題，并敲定試卷初稿。筆者接到重點專題命題任務是圓錐曲線綜合問題（暫定試卷第18題），命題偏重方向為圓錐曲線中的定值問題，關注基本不等式求最值在圓錐曲線綜合問題中的體現。帶著專題任務，筆者進行大量查閱并努力構思、嘗試，在試題命制過程中，感觸頗多，收獲更豐，現將該題的前生今世展示給大家，以期引發交流。

一、在教材中發現“種子”

眾所周知，數學教材是數學學習的核心材料，它是教材編寫組集體智慧的結晶，不僅具備完整的知識體系和學術權威，更是教師實施教學和學生參與學習的直接載體，所以多數命題者編制試題的第一手材料都是教材，一道成功的試題通常是由教材中的例題、習題加工改造而成，我也不例外，帶著命題任務首先反復研究讀教材，尋找種子題目，在蘇教版教材沒有發現理想素材，又擴大了搜索范圍，功夫不負有心人，發現人教A版《數學（選修44）》第15頁習題13第6題是探究圓錐曲線中的定值問題，非常適合作為本次專題命題的“種子”題目，摘錄如下：

題目1：如圖，已知橢圓的中心為O，長軸、短軸的長分別為2a，2b（a>b>0），A，B分別為橢圓上的兩點，且OA⊥OB，求證：1OA2+1OB2為定值。

分析：本題是人教版選修4極坐標部分的習題，與長度相關，教材上證明本題預設解法是“極坐標”法，設出A，B兩點的極坐標，分別表示出OA2，OB2，在求證問題的指引下題目很快可以解決，以下是教學參考書給出的證明方法。

二、對“種子題目”進行改造

“圓錐曲線中的定值”背景有了，問題才剛剛開始，答案提供的方法是使用極坐標結合橢圓標準方程求解的，而我的命題任務是在直角坐標體系中研究問題，“種子”在直角坐標系的土壤中是否合適是任務推進的關鍵，按道理，極坐標和直角坐標本質統一，極坐標體系中的問題、方法在直角坐標體系中一定可以借鑒，但是本題要克服題目條件的極坐標暗示，實際上，對本題稍作改造就行了。

題目2：如圖，已知橢圓的中心為O，長軸、短軸的長分別為2a，2b（a>b>0），直線OA，OB分別交橢圓于A，B兩點，且OA⊥OB，求證：1OA2+1OB2為定值。

分析：改造后的題干引入直線，可以提示借助直線與橢圓的交點解決問題，而這完全就是直角坐標體系下研究問題了，以下是在直角坐標體系中本題的解法。

四、結合命題要求出來題目

在1OA2+1OB2=1a2-1b2的背景下，雙曲線中的定值問題就圓滿解決了，按照要求，本題還要關注基本不等式求最值，而1OA2+1OB2=1a2-1b2恰好可以作為基本不等式模型的“條件等式”，只需要在條件等式的基礎上給出合適的目標函數就行，在之前的研究基礎上，只要賦予合適數據，題目順其自然就出來了。

題目4：如圖，已知雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1（b>a>0），離心率e=2，點M（5，3）在雙曲線上。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線l與雙曲線交與P，Q兩點，且滿足OP·OQ=0，求OP2+OQ2的最小值。

分析：命題的第一問是“按常規出牌”，順便給出合理的數據用來解決第二問，第二問需要設直線方程，求交點坐標，求距離，這都是圓錐曲線部分考查的重點內容，而能否出現求OP2+OQ2最小值所需要的條件等式是本題的關鍵，極為考驗學生的數學能力。

簡要參考答案：（1）求得雙曲線的方程為x24-y212=1（具體過程略）

命題后的反思：

例題、習題是數學教材的重要組成部分，是教師有效教學和學生有效學習的重要載體，是許多教育專家和一線教師在長期教學實踐中沉淀下來的典型案例，更是對數學思想、數學體系的提煉和升華，它具有不容置疑的示范性和權威性。考試命題首選的是對教材中的例題、習題進行加工、改造，試圖依靠它們的自身極強生命力和展現力衍生出一系列新的試題，這樣一種推陳出新的方式在高考命題中也被經常使用。因此，教師應立足教材、吃透教材，善于在教材的例題、習題中發現考題的“種子”，并努力讓“種子”發芽，開花、結果，這既是培養學生學科素養的需要，也是提高教師的專業素養和培養學生創新能力的需要。