“三角度”看人教A版新舊教材的變化
——以“直線和圓的方程”為例

?西華師范大學數學與信息學院 陳春菊 高 明

1 引言

隨著教育部對數學課程標準的修訂，高中數學各版本教材也發生了相應的變化.舊人教A版(2007年第3版必修2，下同)教材中的必修內容，變成了新人教A版(2019年第1版選擇性必修第一冊，下同)的選擇性必修內容，下面以“直線和圓的方程”為例，對人教A版的新舊教材變化進行比較.

2 人教A版新舊教材的變化分析

2.1 結構編排的變化

表1 新舊教材章節目錄及前后知識的變化

從章節目錄來看，新舊教材的編排結構主要有兩個變化點：其一是舊教材中的“直線與方程”“圓與方程”是兩個章節，在新教材中合并為“直線和圓的方程”，使舊教材割裂編排的兩個內容更加緊密，二者本就同屬于解析幾何范疇.其二是新教材刪掉了舊教材的“空間直角坐標系”內容，把它列入第一章“空間向量與立體幾何”，讓解析幾何與空間幾何的劃分更清晰.

從前后知識來看，舊教材將“空間幾何體”“點、直線、平面之間的位置關系”編排在前，幾乎不涉及數的運算.學生只能從幾何的角度解決問題，卻無法探索形與數的關聯.新教材將“空間向量與立體幾何”編排在第一章，坐標系實現了數與形的有效轉化.學生能初步感受用代數法研究幾何問題的思想，而且“直線和圓的方程”“圓錐曲線的方程”作為解析幾何的兩大巨頭，二者的結合在高考中難度較大，如此編排對教與學的效果都會更好.

2.2 內容呈現的變化

2.2.1 章節目錄的增減變化

從新舊教材章節目錄的詳細變化來看，增減變化如下：

(1)增加內容：“探索與發現——方向向量與直線的參數方程”.這是舊教材中的選修內容，新教材中是以拓展知識的形式出現，以幫助學生用不同方法解題，培養他們一題多解的數學習慣.

(2)刪減內容：①“探索與發現——魔術師的地毯”.舊教材中的這一內容與教材知識點脫節，有刪掉的必要性.②“信息技術應用——用《幾何畫板》探究點的軌跡：圓”.幾何畫板出現在高中數學課堂上的意義就是將抽象化為直觀，但是舊教材中用幾何畫板探究軌跡，學生沒有幾何畫板的基礎，即使有教師講解，他們對軌跡形成的原理也無法通透理解.

2.2.2 課時內容的具體變化

變化1：傾斜角與斜率.

其一：舊教材在引出“斜率”概念之前，先給出了“坡度比”這一生活概念，然后再分類討論傾斜角為銳角、鈍角時斜率的計算公式.新教材在正文中刪掉了“坡度比”概念，通過向量法得到“斜率”概念，直接借助高中三角函數中的正切知識點.新教材如此編排，使學生既鞏固加深向量知識，又認識到向量坐標實際上就是實現數與形之間轉化的最佳載體.

其二：在推導兩直線互相垂直的等價代數式時，舊教材采用正切函數的誘導公式，而新教材則直接利用兩直線方向向量的數量積.這樣的編排既簡化了運算，也使學生直觀感受到幾何與代數之間的過渡.

變化2：兩點間的距離.

在推導“兩點間的距離公式”時，舊教材用幾何法，借助勾股定理將斜邊轉化為兩直角邊，思路雖然簡單明了，但解題過程十分復雜.而新教材用向量法，借助向量的模長公式，一步到位將未知量表示出來，不僅簡化了解答過程，還使得代數與幾何緊密相連，更加凸顯數形結合思想在解析幾何中的地位.

變化3：點到直線的距離.

在“點到直線距離公式”的推導過程中，舊教材依舊借助勾股定理，將未知斜邊轉化為求兩直角邊，同時利用三角形面積公式，過程看似簡單，實則繁瑣.新教材用兩種均不同于舊教材的方法，讓學生感受兩種方法之間的優缺點.其中，方法1從定義出發，把問題轉化為求兩點間的距離，思路自然；方法2利用向量投影，通過向量運算簡化了解題過程.總之，新教材改編的兩種新方法均把坐標運算應用到解題中，不僅加強了代數與幾何之間的融合，也教會學生在做題時從角度去思考問題.

2.3 課后習題的變化

新舊教材除了結構的編排和內容的呈現發生了一些改變之外，課中例題和課后習題的設置也發生了一定的變化.具體如下表(如表2)：

表2 新舊教材例習題數量對比

在例題和習題的設置上，新教材與舊教材相比有兩個最大的變化，分別是：(1)新教材的每個章節習題個數相對舊教材幾乎都減少了；(2)新教材每個章節習題分設“復習鞏固”“綜合運用”拓廣探索”三個層次，綜合考慮學生的個體差異性，更加符合數學課程標準中“因材施教”和“不同的人在數學上得到不同的發展”的教育理念.

3 人教A版新舊教材的變化原因

3.1 “社會”的角度

《普通高中數學課程標準(2017年版)》自修訂以來，有效推動了我國基礎教育的改革進程.然而，隨著經濟、科技的發展，社會對人才培養質量提出了更高要求.因此，2017年版課標對教學目標的要求、教學內容的實施與我國目前所需的現代化人才不相適應.同時，為了適應新高考改革方案的出臺與實施，教育部在2020年啟動了對2017年版課標的修訂工作，推出了《普通高中數學課程標準(2017 年版2020年修訂)》，目標在于著力發展學生的數學學科核心素養.所以，為了適應新課改的基本理念，各版本教材也進行了相應的改動.

3.2 “數學”的角度

就數學本身而言，“直線”和“圓的方程”兩者均在解析幾何這一框架之下.舊教材雖然也是把兩個內容編排在一起，但是分章節后就無形中割裂了二者之間的聯系.而新教材考慮到它們之間的相似性，將其編排在一個章節中，而且將坐標系的內容融入其中，重點在于計算，難度相對必修內容有所上升.這樣的編排方式不僅符合數學學科由簡到繁的邏輯特點，也體現出數學教材難度水平的層次性.因此，對舊教材作出改編，也是在響應數學課程本身的要求.

3.3 “學生”的角度

數學教學應以發展學生的核心素養為主，培養適應現代社會的能夠全面發展的人才.舊教材中“直線與方程”“圓與方程”的內容，涉及運算的知識點幾乎都是用幾何法得到結論，并沒有提及坐標運算，缺少對學生數學運算這一核心素養的培養，沒有觸及數形結合的實質.新教材“直線和圓的方程”很多公式、結論都是借助向量推出，將坐標運算應用于解析幾何，從而幫助學生形成數形結合思想.這部分內容的學習對發展學生的數學運算素養具有重要作用.因此，有必要對新教材中解析幾何內容的設計與編排進行研究，從而幫助教師更有效地進行教學設計，提升學生的學習效果.

4 結論

通過對人教A版新舊教材“直線和圓的方程”的比較，得出以下結論：(1)在章節結構編排上，新教材將舊教材中兩個章節的內容進行了整合，將“直線與方程”“圓與方程”合二為一，大體上順序不變，只是把“空間直角坐標系”列入“空間向量與立體幾何”章節中.其編排方式更加注重知識間的整體性和聯系性，避免知識的割裂與脫節，更重視解析幾何的內在邏輯.(2)在內容呈現上，新教材對知識順序進行了細微調整，將舊教材中“直線與圓的方程的應用”進行改編，安排在“直線與圓的位置關系”這一內容之后；同時，微觀上講，新教材中這些變化有一個共同特點：坐標與幾何的多次融合，實現了數與形的深度結合，力求體現數形結合的數學思想方法.(3)在例習題的設置上，新教材各小節的題目都有所改變，個別題目進行了增減和調整，雖然總體數量變少，但難度設置分有三個水平，使得題目的層次性、開放性、綜合性都更強.

簡言之，新教材打破舊教材模塊化結構和螺旋式上升的編排模式，強調數學學科知識的整體性與連貫性，使內容的邏輯更加合理.“直線和圓的方程”的修訂，新教材更加傾向于將坐標融入解析幾何，重點為計算，難度相對必修內容有所上升，實現了數與形的完美結合，其背后是對教師專業素質的更高要求.