并串混聯穩定克令吊運動學與動力學建模

李二偉 趙鐵石 胡強強 王 唱 耿明超

(1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室, 秦皇島 066004； 2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室, 秦皇島 066004; 3.河北建筑工程學院機械工程學院， 張家口 075000)

0 引言

近年來隨著我國海洋經濟的快速發展，海上風電、油氣開采及可燃冰開采等海上平臺得到了迅猛發展。高海況下，作業船會產生較大的搖蕩運動[1]，這些運動會嚴重影響其上貨物向海上平臺的安全吊駁。穩定克令吊可以主動補償作業船的搖蕩運動，使吊機末端相對地球穩定，增加海上吊運的作業時間。國外已有具有運動補償功能的穩定克令吊試驗樣機和產品[2]投入測試和使用，而國內在海上穩定克令吊這一領域尚未見相關報道。

并聯機構[3]具有剛度大、承載能力大、精度高的優點，串聯機構具有工作空間大、靈活性高的優點，并串混聯機構可以結合兩者的優點[4]，因此得到了眾多學者的研究。在混聯機構構型綜合方面，基于不同的理論，很多學者[5-8]綜合出了多種混聯機構構型。在運動學分析方面，HU[9]提出一個由兩個Tricept并聯機構串聯而成的混聯機構，并運用矢量法建立了其完整的解析運動學模型。郭希娟等[10]利用矢量直接求導法建立了一種共軸混聯機構的運動學模型。GALLARDO-ALVARADO等[11]把2個3-RPS并聯機構串聯一起并運用螺旋理論建立了其運動學模型。混聯機構的動力學建模方法主要有牛頓-歐拉法[12]、拉格朗日法[13]、凱恩法[14]和虛功原理法[15]。張東勝等[16]基于虛功原理對一個由2R1T并聯機構和TR串聯機構混聯而成的5自由度混聯機器人進行了逆動力學分析。MOOSAVIAN等[17]結合牛頓-歐拉法和拉格朗日法建立了一個由平面并聯機構和Puma型串聯機構混聯而成的輪式機器人的解析動力學模型。GUO等[18]提出了一個由3T并聯機構和2R串聯機構混聯而成的5自由度混聯機構，并運用具有高效求解速度的基于牛頓-歐拉方程的RNEA方法[19]建立了該混聯機構的動力學模型。上述工作推動了混聯機構構型分析的發展，為混聯機構的工程應用奠定了理論基礎。本文提出一種并串混聯穩定吊機構，并聯部分采用具有虛擬連續轉軸的2-DOF RPM[20-21]，其具有靜載平衡特性且有較大的載物空間，可以為其上的PRRP串聯運動鏈提供足夠的安裝空間。

1 并串混聯穩定克令吊機構構型分析

1.1 機構選型

穩定克令吊機構不僅需要補償作業船的橫搖、縱搖和垂蕩，且還需實現吊運貨物時的變幅、升降和回轉。變幅、升降和回轉機構采用伸縮式克令吊串聯機構Rs1Rs2P，Rs1、Rs2和P分別實現克令吊的回轉、變幅和伸縮。作業船橫搖、縱搖和垂蕩的補償機構可采用兩轉一移并聯機構或在兩轉動并聯機構的上平臺或下平臺串聯移動單元構成混聯機構。

考慮到船上每處的搖擺角度是相同的，但由于“搖”和“蕩”的耦合作用，甲板上的垂蕩隨離轉軸的距離不同而有很大差別，而兩轉一移并聯機構三軸之間一般相互耦合，會額外增加驅動單元的行程。因此本文并聯部分采用具有虛擬連續轉軸的2-DOF RPM，用以補償船的橫搖和縱搖運動。甲板上較大的垂蕩運動通過在并聯機構的上平臺或下平臺串聯單自由度移動機構來補償。

如果把單自由度移動機構串聯于下平臺，則移動機構驅動需承受整個機構及負載的重力和慣性力，這會增加移動機構的驅動功率和制造的復雜性；另一方面，這種布置在補償狀態下只能補償較小的伴隨移動，如圖1a所示，上平臺仍會產生較大的伴隨移動。而把單自由度移動機構串聯于上平臺，可避免上述問題，另外串聯的移動機構可以內嵌到并聯機構的載物空間，可以使結構更加緊湊；另一方面，這種布置在補償狀態下，可以補償較大的伴隨移動，如圖1b所示。

圖1 移動機構的布置位置 Fig.1 Arrangement location of prismatic mechanism

1.2 機構描述

圖2 并串混聯穩定克令吊機構簡圖 Fig.2 Schematic diagram of hybrid stabilizing crane 1.下平臺 2.上平臺 3.中間平臺 4.克令吊基座 5.位置可調配重 6.吊點 7.貨物

2 位置解

圖3 穩定克令吊坐標系 Fig.3 Coordinate system of stabilizing crane

2.1 并聯部分的位置解

(1)

其中

ori1=ori3+oL(i=1, 3)

式中oli0——初始位置時驅動分支首尾兩鉸鏈點的向量

Rom——{m}系相對{o}系的旋轉矩陣

Roe——{e}系相對{o}系的旋轉矩陣

Res——{s}系相對{e}系的旋轉矩陣

圖4 并聯部分的等效機構及其虛設機構 Fig.4 Equivalent and virtual mechanism of parallel part

2.2 串聯部分的位置解

在補償模式下，為使穩定克令吊末端吊點相對地球靜止(即erec恒定)，則

erep=eres+Reoorso+mrmp

(2)

erec=erep+Rep(prpa+Rpaarab+Rpbbrbc)

(3)

式中Rep——{p}系相對{e}系的旋轉矩陣

Rpa——{a}系相對{p}系的旋轉矩陣

Rpb——{b}系相對{p}系的旋轉矩陣

3 速度與加速度分析

(4)

(5)

由于{o}系與{s}系都與船固結，則eωeo=eωes，eεeo=eεes。結合旋量速度和旋量加速度的物理意義，可得{o}系相對于{e}系的旋量速度eVeo及旋量加速度eAeo分別為

(6)

式中 “^”——矢量的反對稱形式或叉乘算子

3.1 并聯部分的速度與加速度分析

因為{o}系與{m}系原點一直重合，且補償模式下，{m}系相對{e}系保持水平，則{m}系相對{o}系表示在{o}系的旋量速度oVom及旋量加速度oAom分別為

(7)

式中O——零矩陣

(8)

式中oex——{o}系x軸的單位向量

oey——{o}系y軸的單位向量

oez——{o}系z軸的單位向量

(9)

3.2 串聯部分的速度與加速度分析

根據{m}系、{o}系和{e}系三者之間的旋量速度、旋量加速度關系并結合式(6)、(7)可得{m}系相對{e}系的旋量速度eVem和旋量加速度eAem為

(10)

其中

式中 [* #]——6維旋量*與#的李括號運算

geo——{o}系相對{e}系位姿矩陣

Adgeo——geo的伴隨矩陣

由{p}系、{m}系和{e}系三者之間的旋量速度、旋量加速度關系可求得{p}系相對{m}系表示在{m}系的旋量速度mVmp和旋量加速度mAmp為

(11)

其中

mωmp=O3×1mεmp=O3×1

補償模式下，穩定克令吊末端吊點相對地球系動態靜止，相當于穩定克令吊在吊點處通過球鉸與地球相連，如圖3所示。設{c}系相對{e}系的絕對角速度和絕對角加速度分別為

(12)

其中evec=eeceωeceaec=eeceεec

(13)

(14)

(15)

式中pVpc——{c}系相對{p}系表示在{p}系的旋量速度

4 動力學分析

mbwmrmac2=-mmmrmmc-mpmrmpc-

mamrmac1-mbmrmbc-mcmrmcc-mwmrmc

(16)

其中

mG#=m#mg

式中mGbw——配重在{m}系的重力矢量

mGm——上平臺在{m}系的重力矢量

mGp——中間平臺在{m}系的重力矢量

mGa——基座在{m}系的重力矢量

mGb——伸縮臂固定部分在{m}系的重力矢量

mGc——伸縮臂移動部分在{m}系的重力矢量

mGw——貨物在{m}系的重力矢量

m#——各相應構件的質量

mg——{m}系的重力加速度矢量

由式(16)可算出穩定克令吊在吊運貨物時配重需移動的距離ls4。

圖5 穩定吊各主要部件質心 Fig.5 Barycenter of main part of stabilizing crane

4.1 串聯部分的動力學分析

(17)

圖6 穩定克令吊串聯部分受力分析 Fig.6 Force chart of serial part of stabilizing crane

4.2 并聯部分的動力學分析

(18)

則穩定克令吊并聯部分虛設機構的廣義驅動力為

(19)

穩定克令吊并聯部分第1、第2分支驅動副的驅動力f1、f2分別為oτA的第1、第2個元素。

圖7 上平臺及串聯部分整體受力圖 Fig.7 Force chart of upper platform and whole serial part of stabilizing crane

5 數值算例

圖8 混聯穩定克令吊三維造型 Fig.8 3-D model of hybrid stable crane

不考慮各驅動的質量及慣性力，忽略摩擦力，給定重力加速度為g=9.8 m/s2。由于作業船的運動由多階諧波組成，并可近似用不同正弦波的疊加來描述。為簡化起見，假設慣性元件測得其安裝處作業船的橫搖滿足α(t)=6sin(2πt/12)、縱搖滿足β(t)=3sin(2πt/12)和垂蕩滿足h(t)=1.5sin(2πt/12)規律。用Matlab編程可得到一個運動周期內穩定克令吊補償模式下穩定于吊點時各驅動副的位移、速度、加速度及驅動力隨時間變化的曲線，如圖9所示。

圖9 Matlab計算所得曲線 Fig.9 Curves calculated by Matlab

圖10 ADAMS穩定克令吊線條模型 Fig.10 Polyline model of stabilizing crane in ADAMS

根據三維造型，在ADAMS中繪制穩定克令吊機構的線條模型，如圖10所示，并添加相應的運動副約束、質量和慣量。在下平臺{s}系原點與地面之間添加MOTION運動(α(t)，β(t)，h(t))，在中間平臺{p}系原點與地面之間添加平面副輔助約束，在伸縮臂吊點與地面之間添加球鉸輔助約束，則可實現穩定克令吊穩定于吊點的運動仿真，測出各驅動副(并聯部分的第1、2分支)的位移、速度和加速度曲線，與圖9a～9c所得曲線對比，可看出兩種方法所得運動學曲線完全一致；在后處理界面中把位移曲線創建成樣條曲線，去除平面副和球鉸輔助約束，在各驅動副處添加相應的驅動，驅動參數采用標準三次樣條曲線函數獲得。進行動力學仿真，測得各驅動副(并聯部分的第1、2分支)的驅動力曲線如圖11所示，可以看出兩種方法得到的驅動力大致相同，這是因為ADAMS中的動力學仿真，每個構件都必須有質量和慣量，而本文建模只考慮了主要構件的質量和慣量。

圖11 ADAMS仿真所得各主動副驅動力和力矩 Fig.11 Driving force curves measured by ADAMS

6 結束語

針對船-海上平臺之間的貨物吊運，提出了一種并串混聯穩定克令吊機構，其可以補償作業船的搖蕩并實現吊點處的穩定，保證貨物的安全吊運并提高作業窗口時間。建立了穩定克令吊穩定于吊點的運動學及動力學模型，并用數值仿真驗證了所建模型的正確性，為此穩定克令吊的工程化應用奠定理論基礎。