極點提取算法研究現狀

邢煦然，賈 鑫，趙宏鐘

(航天工程大學 a.研究生院； b.電子與光學工程系， 北京 101416)

根據目標特性理論可知,當雷達信號的波長與目標的特征尺寸相當的時候，目標處于諧振區，雷達回波中會存在諧振現象。與常見的光學區雷達目標散射回波不同，雷達目標在諧振區的最主要特性就是可用極點描述。極點對目標相對姿態、雷達極化方式等不敏感，只與目標本身的大小、形狀、材料等因素有關，不同的目標具備不同的極點集[1-5]。因此極點可以克服軌道編目對變軌目標失效的缺陷和光學區雷達成像存在的姿態敏感性[6]，是一種穩健的目標識別途徑，具有巨大的應用前景。從雷達回波中提取出目標的極點是使用極點特性進行目標識別的前提。

1 奇點展開理論

20世紀60年代，數值電磁學的發展，尤其是矩量法的提出，使得一些簡單幾何目標的瞬態散射得以計算。由于當時的計算目標主要是細導線這一類簡單的目標，其散射表現出強烈的諧振特性，使得人們開始研究目標的諧振問題。1971年，Baum在研究雷達回波時，將雷達回波的后時部分用復衰減指數和來逼近，在復頻域上可以用極點和留數表示[7]。此后，經過Marin和Ramm等[8-9]的研究和論證，完善了奇點展開法(the Singularity Expansion Method，SEM)的數學基礎。SEM作為一種瞬態電磁響應求解的方法被提出，發展成為諧振區電磁特性的指導理論，其推導過程本文不做過多討論，只給出其在諧振區雷達信號性質上的重要結論。SEM理論的主要內容為：雷達目標的傳遞函數可以表示為一個有理函數和一個整函數之和。

(1)

其中，ri為留數，si為極點，si=σi+ωij，其中σi為衰減因子，ωi為角頻率，M為極點個數。其中整函數部分C(s)對應于系統時域上的前時響應，也是受迫響應，這一部分描述雷達目標的散射中心特性。有理函數部分對應于系統的后時響應，也是自然響應，這一部分描述雷達目標的極點特性，其時域對應復衰減指數和信號。

(2)

簡單導體目標的諧振現象可以用爬行波現象解釋，幾何體的特征長度P與電磁波的頻率f的關系是

(3)

其中m≥1且為整數。也就是說，波長的整數倍等于特征長度時，發生諧振，在此頻率范圍產生極點。當m=1時，諧振頻率f1是目標的基帶諧振頻率；m>1時，fm稱為諧波頻率[10]。

下面列舉球體的特征長度與極點，以說明它們之間的關系。假設半徑為0.5 m的導體球，其極點理論值為[11]

-3.0×108+5.196 0×108i

(4)

2 極點提取的時域算法研究現狀

SEM揭示了極點對姿態不敏感的優良特性，使之成為雷達目標識別研究的熱點。至今為止大部分研究致力于在后時響應信號中提取極點。

1975年，Blaricum等[12]首次將Prony方法應用于時域回波信號的極點估計中，這是最早的極點提取算法。Prony法通過求解多項式的零點獲得極點，其缺點在于沒有區分前時響應和后時響應，方程病態問題沒有解決，而且對噪聲敏感。諸多缺陷導致Prony法不能被廣泛應用。之后的學者對Prony法做出了多種改進以提高其性能。其中比較經典的是1982年Kumaresan等[13]提出的SVD-Prony法，也叫KT法，KT法在Prony法的基礎上增加了線性矩陣的維數，采用后向線性預測矩陣，并對預測矩陣做奇異值分解(SVD)，其抗噪能力較原始的Prony法有所提升。在KT法的基礎上，1987年，Rahman等[14]將整體最小二乘技術運用于求解方程的過程中。1997年，Li等[15]使用低秩迭代逼近的方法處理預測矩陣，得到了更低的噪聲門限。此后，Lee[16-17]對Prony法的信號采樣做了改進?？锞V要等[18]提出了基于高階矩的改進Prony法，將高階矩的統計特性與Prony法高分辨性能有機地結合起來，其過程包括構造一個擴階三階矩矩陣、奇異值分解、確定階數和求解方程，該算法的有效信噪比達到-10 dB。然而這些改進都沒能克服Prony法本身的病態問題。

為了克服Prony法的固有缺陷，研究方向轉為提升算法本身的精度和抗噪能力。1981年，Jain等[19]提出了函數束法。與Prony法相比，函數束法有更強的抗噪能力，其缺陷在于求解過程中存在參數估計，會導致誤差積累，而且計算精度受濾波器選擇影響。1989年，Hua等[20]在函數束的基礎上，提出了廣義函數束法，解決了函數束法的誤差積累問題，該方法又稱為矩陣束法(Matrix Pencil Method，MPM)。矩陣束法摒棄了多項式方法先求解方程組再計算高次多項式零點的思路，首先用信號構造Hankel矩陣，然后對Hankel矩陣奇異值分解，最后構造矩陣束求解廣義特征值獲得極點。矩陣束法抗噪性強，運算效率高，成為一種廣泛應用的極點提取算法。此后Sarkar[21-22]又研究了矩陣束法的束參數和目標極點個數的估計方法，并通過實驗分析完善了矩陣束法。2002年，Sarkar[23]通過對同一目標的多角度數據同時處理獲得了目標的極點，這一方法克服了單一角度下矩陣束法因某些留數過小造成的極點丟失。2008年哈爾濱工業大學伍光新[24]提出了改進的總體最小二乘矩陣束法。該方法是通過遍歷可能的階數分別使用矩陣束法求解極點，而后由得到的極點分別重構信號。重構信號與原信號比較均方誤差，誤差最小者對應的個數即為極點個數。該方法是一種極點個數估計的可靠準則，但估計階數往往大于真實極點個數。2012年哈爾濱工業大學鄧文斌[25]提出了另一種確定極點數目的算法。他在研究過程中發現不同階數時計算出的極點中，真實極點呈現出聚集特性，而虛假極點則隨機分布。利用這一現象，他通過提取不同極點個數時的極點，觀察它們的聚集程度確定極點個數。該方法原理簡單，但是存在參數人為選取的問題，限制了其應用。矩陣束法綜合性能強，但也存在問題。首先，矩陣束法對束參數和模型階數敏感[26]，在使用時獲得參數的過程往往比算法本身更復雜，而得到的參數往往不是最優；其次，矩陣束法是整體估計算法，一個極點的錯誤估計可能影響到其他極點。

極點估計的非線性模型算法中，最具代表性的是E脈沖法和迭代法。E脈沖是指一種特殊的雷達入射波型，當它激勵特定目標時，使目標的后時響應為零[27-28]，這一特性使E脈沖成為一種有效的雷達目標識別方法。使用E脈沖識別目標，首先獲得目標極點，然后根據極點合成E脈沖，最后用E脈沖激勵目標，如果回波的后時響應為零那么就確定了目標。在此基礎上，1987年Rothwell[29]提出，在已知目標沖擊響應的條件下，可以利用E脈沖技術反求目標極點。E脈沖法等價于對沖激響應進行卷積和平滑后再使用廣義Prony法求取極點，因此其噪聲特性優于廣義Prony法[30]，但是該方法計算量大，結果受時間參數影響，因此實用性價比不高[26]。迭代法是1985年由Drachman[31]首次提出，迭代法的思路是將極點提取問題轉化為優化問題，每次通過優化算法估計目標的一對極點，直到估計出目標的所有極點。通過對優化算法的改進已經發展出很多種，已應用的優化算法包括：進化算法[32-33]、下降算法(Gauss-Newton算法、Levenberg-Marquardt算法)[33]、遺傳算法[34]、有理逼近[35-36]等。迭代類算法的優勢在于總是優先提取出留數大的極點，在提取之前不需要估計極點的個數，因此估計精度不受極點數目的影響。迭代法的共性特征在于：需要迭代初值；誤差累積；極點多時運算量大[35]。

極點估計的時域算法依賴于后時響應信號的準確性，由于實際中不能實現沖激響應激勵目標，所以得到的信號同時存在前時響應和后時相應。根據信號與系統理論，系統前時響應中受迫響應為主但是自然響應也同時存在；實際上，因為目標在入射波方向有長度，后時開始時仍有前時響應信號傳播導致混疊。因此，極點提取的時域算法都會存在早晚期響應混疊缺陷。歸納已有的幾大類算法，其缺陷如表1所示。

表1 極點提取時域算法的缺陷

3 極點提取的頻域算法研究現狀

極點提取的頻域算法直接從頻率響應數據中獲得目標的極點，是極點提取的另一種思路。頻域方法通過采集的頻率響應數據，參數化目標的諧振區傳遞函數，然后求解傳遞函數的極點。最早出現的頻域方法是1977年Moffatt等[37]在研究金屬導線的諧振效應時，通過有理近似的方法從頻域數據中獲得了電路系統的極點。這一算法雖然不是雷達目標的極點問題，但數學模型十分相似，為后來的雷達目標極點估計提供了思路[10]。1990年，Kumaresan[36]針對由頻域響應數據參數化傳遞函數的問題提出了頻域Prony法，這一方法后來被用于極點提取問題中。以上兩種方法都沒有克服極點估計的病態問題，因此限制了其應用。1994年，Bertocco[38]提出了一種基于頻域插值的衰減正弦信號分析方法，并對仿真數據進行了算法驗證。1996年，焦丹等[35]提出了基于有理逼近的極點提取方法，首先通過樣條擬合去噪，然后在頻域上有理逼近獲得極點。1999年，焦丹[39]又提出了先使用頻域緊支集正交小波基對信號去噪，然后再最優一致逼近的方法。2004年，Wang等[40]提出了用ARMA模型參數化傳遞函數，然后用最小二乘法估計極點的方法，并對細導線進行了驗證。2007年，Chauveau等[10]使用有理近似法和頻域Prony法對仿真目標進行了窄帶頻域數據極點提取的仿真實驗，這是已有的唯一一種窄帶條件下的極點提取算法。2008年，伍光新[36]提出了另一種有理逼近的方法，通過正交矢量擬合迭代的方法參數化傳遞函數，算法考慮到病態問題，在簡單目標和復雜目標的仿真實驗中都獲得了準確的結果，但算法的逼近精度和極點準確度之間存在矛盾。

極點提取的頻域算法研究相對時域算法較少，其原因在于不能避免前時響應在頻域的影響，也無法在算法模型上避開病態問題。但是極點估計的頻域算法可以避免時域算法中的截斷問題、前后時區分問題，更重要的是具有從窄帶數據中提取極點的能力，是一種非常有前景的極點提取方向。

4 結論

1) 極點在的優良特性使其在目標識別方面有很大的應用前景，但是由于苛刻的信噪比和帶寬條件，當前僅被應用于無源標簽[41]和暗室實驗中，繼續研究和改進極點提取方法，具有重大的工程和學術價值。

2) 當前，對于極點提取算法的研究主要集中于簡單幾何目標，提取結果與電磁學計算結果相比較，驗證算法性能。但是對于復雜目標，首先不能直接計算其極點理論值，無法驗證算法提取結果是否準確；其次復雜目標的諧振現象復雜，提取中往往出現大量虛假極點，影響其作為目標識別標準的適用性。研究復雜目標的極點提取算法是將極點應用于工程中的前提。

3) 極點提取算法基于超寬帶數據，然而大部分現役雷達不具備超寬帶能力，為了提高極點的工程價值，研究基于窄帶數據的極點提取算法具有重大的工程價值。

4) 當前極點提取算法適用的信噪比極限在-10dB左右，依然遠高于雷達設備的信噪比。繼續提升極點提取算法的抗噪能力，是將極點識別應用于工程中的另外一個重要條件。