有限周期結構梁彎曲振動特性研究

寧榮輝 朱石堅 翁雪濤 張振海

(海軍工程大學動力工程學院 武漢 430033)

0 引 言

結構中的振動通常是以彈性波的形式傳播的，彈性波在周期性介質中傳播時，會產生彈性波帶隙[1]，由于彈性波帶隙的存在，使得周期結構在減振降噪、聲濾波器和新型換能器等方面具有廣泛的應用前景[2]，因此受到了人們的廣泛關注.

彈性波在一維周期結構中的傳播特性已經研究較多.溫激鴻等[3]對周期細直梁的彎曲振動特性進行了研究；祁鵬山等[4]研究了一維雙周期結構的帶隙特性；李雁飛等[5]對周期管路的傳播特性和低頻特性進行了研究.在研究周期結構的帶隙特性時，都是針對無限周期結構進行的.而實際運用的周期結構都是有限的.因此對有限周期結構進行相關研究，確定衰減頻帶的位置和帶寬是十分有必要的.

目前周期結構帶隙特性的計算方法主要有傳遞矩陣法，平面波展開法，時域有限差分法[6]，多重散射法[7]，有限元法[8]以及譜單元法[9]，其中平面波展開法、時域差分法、多重散射法主要用于無限長和半無限長結構的帶隙特性計算，而有限元法主要用于有限長周期結構的帶隙特性分析，其計算精度受網格密度和網格質量影響較大；而譜單元法結合了有限元方法的離散和整合的特點，將結構的運動方程通過Fourier變換轉到頻域上，在頻域上對結構的各個頻率下運動進行求解，然后將所有不同頻率的波進行疊加即得到整體的運動解.對于每一個頻率來說，其解得的結果是精確的，因此譜單元法適合用于對有限周期結構的計算.

本文利用譜單元法結合Bloch理論對一維周期梁結構的單個元胞進行了分析，得到無限周期結構的復能帶結構，然后結合有限長周期結構的邊界條件，計算了周期梁結構彎曲振動傳遞率，利用彎曲振動傳遞率分析了有限周期結構梁的周期數、晶格長度、梁的截面對結構的衰減頻帶的影響.

1 周期梁結構振動特性計算方法

一維周期結構梁單個元胞的示意圖見圖1，單個元胞一般是由兩種截面形狀不同或材料參數不同的梁組成，假設梁的參數滿足長度遠大于截面尺寸條件，則各梁滿足歐拉-伯努利梁條件.兩段梁分別長為L1，L2，單個元胞的長度為L=L1+L2，截面形狀為矩形，截面尺寸分別為b1，h1和b2，h2，元胞左右兩端的位移分別為向量uL，uR，受力也分別為向量fL、fR，中間連接處的位移和受力分別為向量uI，fI.

圖1 周期梁結構單個元胞示意圖

基于譜元法的建模思想，單個元胞中的兩段梁可以分別處理為譜單元，考慮梁的彎曲問題時，因此上述的位移和力向量都有兩個分量，第一段梁的動力學方程為

(1)

其中：剛度矩陣的各個子矩陣分別為

(2)

式中：

α=

β=

(3)

同理可得第二段梁的動力學方程，然后由位移連續條件有：uI1=uI2=uI，fI1=-fI2.于是元胞的動力學方程為

(4)

化簡得到只含有左右兩端的位移和受力的表達式為

(5)

根據周期結構的Bloch定理，元胞的邊界位移和力向量滿足以下關系：

uR=e-iqLuL，fR=-e-iqLfL

(6)

將式(6)代入式(5)得到只含有位移的特征方程：

(7)

求解式(7)的特征值，可以得到兩對大小相同符合相反的Bloch波矢解±q1，±q2以及e-iqL相對應的特征向量.取e-iq1L，e-iq2L，eiq1L，eiq2L對應的特征向量分別記為φ1，φ2，φ3，φ4.于是有

uL=a1φ1+a2φ2+a3φ3+a4φ4

(8)

利用式(5)和Bloch定理，可得

a1Φ1+a2Φ2+a3Φ3+a4Φ4

(9)

對于有限周期的梁結構，其周期數記為N，由Bloch定理可得

uNR=a1e-iNq1Lφ1+a2e-iNq2Lφ2+

a3eiNq1Lφ3+a4eiNq2Lφ4

(10)

式(8)和式(10)寫成矩陣形式為

(11)

同理可得

(12)

綜合式(11)和式(12)可得

(13)

式中:

(14)

2 有限長周期梁結構帶隙特性及振動傳遞率的計算

根據Bloch波矢解可以得到周期結構的帶隙，由此得出的帶隙是由該元胞組成的無限周期結構的帶隙，但是實際上結構都是有限的，因此僅通過Bloch波矢并不能有效的反應有限周期結構對彈性波傳播的作用.對此本文通過計算有限周期梁結構的振動傳遞率來反應有限周期梁結構對彈性波的作用，結合有限周期梁結構的邊界條件和式(13)可以計算得到有限長周期結構梁的振動傳遞率，其計算過程為

假設有限長周期梁結構左端受振幅為wL0的簡諧橫向位移激勵，此外不受其他任何激勵和約束，則有邊界條件：

uL={wL0,θL0}T，fL={VL,0}T，fNR=0

(15)

將式(15)代入式(13)可得

(16)

式中取二階方陣AN、BN使得

(17)

則可得有限結構的位移傳遞率為

(18)

本文以鋁制的變截面周期結構梁為例，依據元胞模型和鋁的結構參數，利用式(11)計算得到周期結構梁在無限周期條件下的彎曲振動帶隙.然后結合周期結構的周期數和邊界條件，利用式(18)計算得到有限周期下梁的彎曲振動傳遞率.結構模型的具體參數如下：元胞周期長L=0.1 m，元胞中兩段梁長度比值L1:L2=1:1，截面尺寸b1=0.01 m，h1=0.01 m，b2=0.01 m，h2=0.005 m，鋁的材料參數為密度ρ=2799 kg/m3，彈性模量E=72 GPa.

計算得到的無限周期結構梁的復能帶結構見圖2，當歸一化波矢qL的實部為0或±π，虛部不為0時，描述的本征波是衰減波，即該頻率是處于衰減范圍，從圖中可以看到，無限周期結構梁在10 000 Hz以下存在兩個帶隙，分別為1 160～1 640 Hz和5 200～7 440 Hz.

圖2 無限周期結構梁復能帶結構圖

圖3為5周期和15周期兩種情況下梁結構的彎曲振動傳遞率曲線，兩種情況下振動傳遞率曲線都有兩個衰減頻帶，其中5周期結構的衰減頻帶分別為900～2 240 Hz，5 020～8 280 Hz；15周期結構的衰減頻帶分別為1 090～1 710 Hz，5 130～7 520 Hz，對比無限周期結構的帶隙，可以發現，有限周期結構的衰減頻帶要比無限周期的帶隙略寬，并且隨著結構周期數目的增加，衰減頻帶逐漸向帶隙靠近.由圖3可知，隨著周期數的增加，有限結構的衰減頻帶雖然減小了，但是衰減頻帶的振動傳遞率更低了，因此在設計周期結構時應綜合考慮振動的衰減程度和頻帶范圍來確定結構的周期數.

圖3 有限周期結構梁振動傳遞率

3 元胞參數對衰減頻帶影響

3.1 Bragg頻率計算

一維周期系統嚴格對應的Bragg條件為

(19)

(20)

綜合式(19)～(20)可得

(21)

保持各段梁的截面為矩形并寬度保持不變(即b1、b2為常數)，取兩段梁的長度比為L1:L2=ε，梁高的比為h1:h2=η，式(21)可以化簡為

(22)

由式(22)可知，當ε和η不變時，由兩段梁組成的周期結構的Bragg頻率與元胞長度的二次方成反比，與元胞的厚度成正比.對于有限周期結構來說，其衰減頻帶的起始頻率和終止頻率應該也保持這個規律.

3.2 元胞長度對衰減頻帶的影響

仍然考慮鋁制變截面梁結構，首先保持ε=1和η=2不變，截面尺寸為b1=0.01 m，b2=0.01 m，h1=0.01 m，則h2=0.005 m，改變晶格長度L的值，計算周期數為5.

計算了元胞長度分別為0.08，0.1，0.12，0.15 m時的振動傳遞率曲線見圖4.由圖4可知，隨著晶格長度的增加，衰減頻帶向低頻范圍移動，且帶寬降低，但是在周期數不變的情況下，衰減幅度改變并不明顯.

圖4 元胞長度對衰減頻帶的影響

表1為各個晶格長度情況下，第一衰減頻帶的起始頻率fs、截止頻率fe以及與元胞長度二次方的乘積.由表可知，衰減頻帶的起始頻率和截止頻率與元胞長度的二次方成反比.

表1 衰減頻帶與元胞長度的變化

3.3 元胞厚度對衰減頻帶的影響

依然保持ε=1和η=2不變，元胞長為0.1m，截面尺寸為b1=0.01m，b2=0.01 m，改變梁的厚度h1，h2則相應變化，計算周期數為5.

計算了厚度h1分別為0.008，0.01，0.012，0.015 m時的振動傳遞率見圖5，由圖5可知，隨著厚度的增加，衰減頻帶向高頻范圍移動，且帶寬增加，但是在周期數不變的情況下，衰減幅度改變并不明顯.

圖5 元胞厚度對衰減頻帶的影響

表2為不同厚度情況下，第一衰減頻帶的起始頻率fs、終止頻率fe以及與厚度h1的比值.由表可知，在不同h1的情況下起始頻率與h1的比值幾乎保持不變，截止頻率與h1的比值也幾乎保持不變，即衰減頻帶的起始頻率和截止頻率與厚度h1成正比.

表2 衰減頻帶與厚度h1的變化

4 結 論

1) 有限周期梁結構的衰減頻帶比無限周期的帶隙略寬，但是隨著周期數目的增加，衰減頻帶逐漸向帶隙范圍靠近.

2) 有限周期梁結構衰減頻帶的衰減幅值與周期數有關，周期數越多衰減效果越好.

3) 當有限周期梁結構的材料、元胞內各長度和厚度的比值確定時，不同元胞長度、不同厚度下的起止頻率的比值與元胞長度比值的二次方成反比與厚度的比值成正比.