基于稀疏分解的空間目標雙基地ISAR自聚焦算法

韓寧，李寶晨，王立兵，童俊，郭寶鋒

1.軍械技術研究所，石家莊 050003 2. 陸軍工程大學 科研學術處，南京 210014 3. 中國人民解放軍63961部隊，北京 100012 4. 陸軍工程大學石家莊校區，石家莊 050003

雙基地逆合成孔徑雷達(Inverse Synthetic Aperture Radar, ISAR)因其具有良好的“四抗性能”，且成像不受目標運動方向限制，已逐漸成為國內外的研究熱點[1-6]。雙基地ISAR作為空間目標監視的一種重要手段，具有成像距離遠(發站靠前布置)、可實現目標多姿態觀測等優點，是未來空間目標監測與識別的一個重要發展方向。

目前，對雙基地ISAR的研究，主要集中在全極化成像[7]、旋轉運動的補償方法[8-9]、雙基地ISAR圖像重建[10]、雙基地ISAR圖像的快速生成[11]、雙基地ISAR三維成像[12-13]等方面，對雙基地ISAR的理論研究還有待進一步豐富與完善。而且，大多數研究都基于成像期間雙基地角恒定不變的假設，沒有研究雙基地角時變對成像的影響。針對雙基地角時變對成像的影響這一問題，文獻[14]主要研究了雙基地角對成像自聚焦的影響，并利用循環迭代和初始相位誤差的高精度估計與校準來完成雙基地角時變下的自聚焦。但該方法性能優劣受循環迭代次數的影響較大，為了得到聚焦精度較高的二維ISAR圖像，通常需要反復多次的循環迭代才能完成，且在迭代后期，圖像的聚焦度并未有明顯提升。針對雙基地角時變下的自聚焦問題，本文基于相位建模、參數估計、高階相位補償的思路，研究提出了一種利用稀疏分解算法估計二次項系數完成相位補償的自聚焦算法。

1 空間目標雙基地ISAR成像原理

以平穩空間目標為研究對象，雙基地ISAR的成像原理模型如圖1所示。

圖1中：T為雙基地雷達的發射站；R為接收站；TR為雙基地雷達基線；Rt0、Rr0分別為觀測時刻目標相位中心距發射站和接收站的距離；Rt1、Rr1分別為目標運動到下一時刻時，目標相位中心距發射站和接收站的距離；Rv0為目標運動方向矢量；Ci為目標上的任一散射點；Ei為該散射點在觀測起始時刻目標相位中心與收發雙站雷達確定的平面內的投影；RtCi0、RrCi0分別為散射點Ci在觀測時刻距發射站、接收站雷達的距離。

在較短的成像積累時間內，平穩目標在空間中的姿態是平穩的，為描述散射點在空間中的位置，建立以目標散射中心為原點的目標慣性坐標系，具體方法為：以觀測起始時刻目標雙基地角平分線延長線方向為y軸正方向；以觀測起始時刻目標軌道與目標雙基地角平分線構成平面內y軸的法線為x軸，x軸正方向與目標運動方向一致。該坐標軸指向不隨目標的運動改變，因此該坐標系下目標散射點距離的變化包含了目標的平動和相對轉動。為便于分析目標轉動情況，建立目標的雙基地角平分坐標系x′O′y′，該坐標系的y′軸為雙基地角平分線延長線方向，并隨著目標的運動和雙基地角平分線指向的改變而改變；x′軸則是xOy平面內y′軸的法向。因此，x′O′y′坐標系與xOy坐標系間的相對轉動角直接反映了目標在觀測時間內的相對轉動情況。

圖1 雙基地ISAR成像原理模型Fig.1 Principle model for imaging of bisatic ISAR

在建立以上坐標系的基礎上，假設雷達發射如式(1)所示的線性調頻信號

(1)

假設雙基地雷達理想同步，即不存在時間、空間、頻率的同步誤差，且成像期間雙基地角恒定不變，則中頻采樣下變頻后得到的散射點基頻回波如式(2)所示：

(2)

式中：σCi為散射點Ci的散射系數；c為真空中的光速；RCi(tm)可表示為

RCi(tm)=Rref(tm)+Rrotitm≈

(3)

式中：Rref(tm)為目標散射中心的平動分量；Rroti(tm)為目標上散射點Ci的轉動分量；θCi為散射點Ci方位矢量與xOy坐標系中x軸正向的夾角；ψ(tm)為成像期間雙基地角平分線的轉動角度；β0為成像期間的雙基地角;ri為散射點Ci到目標散射中心的距離。

對式(2)進行脈沖壓縮，即可得到目標的一維距離像為

(4)

由式(3)和式(4)可以看出，雙基地ISAR回波中散射點到收發雙站的距離依然可以分解為平動與轉動項之和的形式，在完成包絡對齊之后，將平動和轉動導致的相位項統一建模，而后進行二次相位項補償即可實現自聚焦，隨后完成方位壓縮即可得到目標的二維ISAR圖像[15]。

2 雙基地角時變對自聚焦的影響機理

當成像期間雙基地角隨慢時間變化時，式(3)可表示為

(5)

式中：β(tm)為成像期間雙基地角隨慢時間tm變化。

為了分析雙基地角時變對散射點回波的影響，基于泰勒展開的方法，將β(tm)按式(6)進行展開

β(tm)≈β(0)+β′(0)tm

(6)

式中：β(0)為β(tm)在零時刻的雙基地角；β′(0)為β(tm)在零時刻的一階導數。此時，半雙基地角的余弦可做如下近似：

K0+K1tm

(7)

式中：K′(0)為半雙基地角余弦相對慢時間的變化率；

(8)

(9)

其中：K0、K1分別為時變半雙基地角余弦的常數項及線性變化項。

目標相位中心的平動距離項Rref(tm)為

Rref(tm)=Rref(t0)+vreftm

(10)

式中：Rref(t0)為目標散射中心在成像初始時刻至收發雙站的距離；vref為目標散射中心在成像期間相對收發雙站的運動速度。

此時，將式(8)～式(10)代入式(5)進行化簡可得

2yiK1tm+2xiψ(tm)K0+2xiK1ψ(tm)tm=Rref(t0)+2yiK0+(vref+2yiK1+2xiK0ω)tm+

(11)

式中：ω為雙基地角平分線的轉動角速度；xi、yi分別為散射點Ci在xOy坐標系中x軸與y軸上的坐標；η0、η1和η2分別為散射點Ci轉動距離項的常數項、一次線性項和二次項。

由式(11)可以看出，雙基地ISAR成像中，受雙基地角時變的影響，散射點成像所需的相位項中產生了二次項，必須對該二次相位項進行補償，否則會導致二維ISAR圖像的散焦。

3 基于稀疏分解的自聚焦

分析式(11)可以看出，若能利用合適的方法估計出二次項的系數η2，然后構造如式(12)所示的補償相位項：

(12)

exp(-j2πf0η0)exp(-j2πf0η1tm)

(13)

式中：第一個相位項為常數項，不影響自聚焦及二維成像；第二項為成像所需的線性相位項。由式(13) 可以看出，經過補償后的一維距離像數據中，已不包含會造成圖像散焦的二次相位項。因此，通過估計參數η2并據此構造補償相位項完成二次項補償的方法，可實現雙基地角時變下的自聚焦。

稀疏分解的目的是從一個過完備的矢量集(或函數集)中選擇盡量少的元素來表示已知信號，當構造出與信號特征相匹配的冗余基時，稀疏分解能挖掘出信號內部的精細結構，極大地提高變換域的分辨能力，目前，稀疏分解已廣泛應用于雷達及光學成像、信號去噪、信號參數估計等領域[16-20]。本文利用稀疏分解的高分辨能力，構建符合距離分辨單元信號特征的冗余基，利用稀疏分解完成二次項系數的估計。

3.1 稀疏詞典的構建

為便于論述，重寫散射點經脈壓后的回波為

(14)

式中：A為不同距離分辨單元內復數形式的回波強度；N為成像所需的積累脈沖數；Ttrs為發射站雷達的脈沖重復周期。構造冗余基為

(15)

式中：K為冗余基因子數

(16)

其中：ai1、ai2分別為對η1、η2進行高精度劃分的第i組冗余基參數因子。此時，sCi_T在該冗余基Φ上可表示為

sCi_T=Φa

式中：a為不同散射點對應的復回波強度，其非零元數個數由散射點個數決定。在高頻區，目標回波可近似認為是來自若干稀疏分布的離散點散射回波的集合[21]，因此，向量a可在冗余基Φ上對信號sCi_T進行稀疏表示，只需用合適的稀疏分解算法估計出a，即可根據系數a及其在冗余基中對應的冗余基因子，構建補償相位項完成二次項的補償。

3.2 二次項系數的稀疏估計

在各類稀疏分解算法中，基于正則化的迭代算法可避免全局貪婪尋優算法中一步錯步步錯的問題，故得到更加廣泛的應用。基于一般性稀疏度量函數，文獻[22]研究了推廣的正則化欠定系統聚焦求解(FOCal Underdetermined System Solver，FOCUSS)算法，該算法提供了較為豐富的稀疏性度量函數的選取方法，可根據不同的應用背景選取稀疏度量函數，降低算法運算量，故本文使用該稀疏分解算法完成參數估計，其迭代過程為

(18)

式中：x(k+1)為第k+1次迭代的稀疏表示系數；Wk為與選取的稀疏性度量函數有關的矩陣；A為冗余基；λ為與噪聲水平有關的正則化參數；當λ→0+時，即觀測噪聲為0時的稀疏解。

3.3 算法基本步驟

以上分析基于單散射點回波進行，當某個距離單元內有多個散射點時，只需按照所有散射點中可能的參數取值范圍對η1、η2進行適當劃分，即可構建出相應的冗余基，以使回波信號在該冗余基上具有稀疏性。

綜合以上分析，基于稀疏分解的自聚焦算法步驟為：

步驟1利用最大互相關法完成一維距離像的包絡對齊。

步驟2依據目標尺寸及其運行軌道等先驗信息，對η1、η2進行高精度劃分，并按照式(15)和式(16)構建冗余基Φ。

以上算法針對距離單元內只存在一個散射點的情況，當某個距離單元內存在多個散射點時，因不同散射點的二次項系數不僅與成像初始時刻的半雙基地角余弦有關，而且還受散射點的橫坐標影響，此時需對算法進行適當調整。

假設某個距離單元內存在兩個散射點C1、C2，對應其估計出的二次項系數分別為η2C1、η2C2，此時，按照算數平均的方法構造補償相位項為

(19)

當某個距離單元內存在更多個散射點時，構建補償相位項的方法與式(19)類似。

3.4 算法關鍵參數的選取

在使用推廣正則化FOCUSS算法進行稀疏分解時，若原始信號中不包含噪聲，在迭代過程中只需逐次增大懲罰因子M，當分解精度滿足預先設定的精度要求時即可得到精確的稀疏分解結果。若原始信號中包含噪聲，則需首先選擇正則化參數λ，然后用1/λ作為懲罰因子M，基于該懲罰因子進行稀疏分解得到噪聲環境下的稀疏表示系數。正則化參數λ需在稀疏解的稀疏度和信號表示誤差之間折衷考慮，正則化參數選取的好壞直接決定了稀疏分解結果的稀疏度和對原始信號的逼近程度。目前，關于正則參數的選擇，主要有先驗策略和后驗策略兩類，先驗策略最早由Tikhonov提出，正則化參數在正則化過程之前就已經確定。先驗策略涉及到“最優正則參數”是否存在以及如何確定的問題，故應用較少，更具備理論研究上的價值。后驗策略與信噪比是否已知有關。當噪聲水平已知時，主要有Morozov偏差原理和Arcangeli準則；當噪聲水平未知時，主要有擬最優準則、L-曲線準則、交叉驗證、廣義交叉驗證準則等。

4 仿真實驗與分析

仿真雙基地雷達參數如表1所示，利用頻域脈壓的方法完成距離維成像，用最大互相關法完成包絡對齊。自聚焦分別用本文研究的基于稀疏分解的自聚焦算法和相位梯度自聚焦(Phase Gradient Autofocusing，PGA)算法進行，方位向壓縮通過傅里葉變換完成，空間目標的初始兩行軌道根數格式如表2所示，按照文獻[24]的算法完成回波模擬。

仿真用目標的三維散射點模型如圖2所示，目標尺寸設定為30 m×20 m×5 m，結合初始軌道根數，對1階系數的高精度劃分因子為0.1，2階系數的高精度劃分因子為0.05。圖3為PGA算法和本文算法得到的目標成像結果。

表1 雙基地雷達主要參數Table 1 Main parameters of bistatic radar

表2 仿真用兩行軌道根數格式Table 2 Two Line Elements(TLE) format for simulation

圖2 目標散射點模型Fig.2 Model for target scattering point

圖像對比度可作為評價圖像質量的指標，圖像對比度越大則圖像的聚焦度越高，故本文選取圖像對比度作為評估不同自聚焦方法性能優劣的指標之一，其定義為[25]

(20)

式中：Cimag為圖像對比度；I(x,y)為復圖像的幅度；A(·)為圖像在整個成像平面(x,y)上的幅度平均。

按照式(20)，表3給出仿真100次時，用本文

圖3 目標成像結果Fig.3 Results of target imaging

算法和PGA算法進行自聚焦時統計得出的圖像對比度平均值，此外，該表中還給出了圖像散射點的距離向和方位向3 dB主瓣寬度的平均值。

表3 圖像對比度，散射點距離和方位向3 dB主瓣寬度統計結果Table 3 Statistical results of image contrast and 3 dB mainlobe width in range and azimuth

從表3可以看出，用PGA算法和本文算法完成自聚焦所得的圖像中，距離向的主瓣寬度基本一致沒有明顯變化。在方位向，通過統計成像期間雙基地角平分線的轉動角度，可計算出方位向理論分辨率為0.317，相對而言，本文算法使圖像散射點方位向分辨率偏離理論分辨率的程度更低，具有更優的聚焦效果。

從式(11)可以看出，因成像期間雙基地角隨時間變化，故二次相位項系數與散射點橫坐標有關，但因目標體積的量級遠小于目標與雷達的距離，因此該部分相位相對于平動相位誤差較小，而在利用PGA算法進行自聚焦時，在迭代的初始部分(前150次迭代)主要完成平動相位誤差的補償，二維圖像的對比度會有較大提升，但若繼續進行迭代，圖像對比度的提升有限，無法從根本上補償與散射點橫坐標有關的相位誤差，圖4給出了二維ISAR圖像的圖像對比度隨PGA算法迭代次數的變化趨勢，從圖中可以看出，當迭代次數大于150次時，圖像對比度雖然總體上呈繼續提高的態勢，但其提高比率較低，這與本段前半部分的理論分析一致，故在圖3和圖4的成像結果對比中，也用迭代150次的成像結果與本文算法進行對比。

積分旁瓣比(Integral SideLobe Ratio, ISLR)和峰值旁瓣比(Peak SideLobe Ratio, PSLR)也常用于表征雷達成像性能，表4給出了兩種自聚焦算法對應的ISLR和PSLR指標，從表中可以看出，在距離向上，兩種自聚焦算法并無明顯區別，但在方位向上，本文研究的自聚焦算法優于常用的PGA算法。

圖4 PGA算法迭代次數與圖像對比度的對應關系Fig.4 Corresponding relation between iteration times of PGA algorithm and image contrast

表4 散射點ISLR、PSLR參數統計

Table 4 Statistical results of ISLR and PSLR of scattering point

AlgorithmISLR/dBPSLR/dBRangeAzimuthRangeAzimuthPGA -9.918 1-8.996 2-12.806 7-11.380 8Proposed-9.905 1-9.818 1-12.790 4-12.690 0

為了更加直觀地說明本文研究的自聚焦算法對多散射點的適應性，選取散射點模型中處于同一距離單元的散射點1和散射點2(如圖2所示)，在成像仿真時，在[-π,π]之間加入隨機分布的相位誤差如圖5所示。然后分別利用PGA算法和本文算法對該距離單元進行自聚焦并完成方位壓縮。圖6給出了利用本文算法自聚焦并完成方位壓縮后的結果，驗證了本文算法對多散射點的適應性。圖7為散射點1利用PGA算法和本文算法自聚焦后的方位壓縮結果，從圖中可以明顯看出，本文算法的聚焦性能優于常用的PGA算法。

圖5 相位誤差序列Fig.5 Phase error sequence

圖6 本文算法自聚焦后的方位壓縮結果Fig.6 Results of azimuth compression after autofocusing with proposed algorithm

圖7 兩種算法自聚焦后的方位壓縮結果(散射點1)Fig.7 Results of azimuth compression after autofocusing with two algorithms (Scattering point 1)

5 結 論

1) 通過選取合適的冗余字典來表示包絡對齊后的一維距離像，并利用稀疏分解算法估計出二次項的系數，然后據此系數構建補償相位項可完成圖像的高精度自聚焦，與PGA算法相比，使用本文算法可得到更高聚焦精度的二維ISAR圖像。

2) 算法的成功實現依賴于正則化參數的正確選擇以及迭代誤差門限的恰當選取，當正則化參數選取不正確時，得不到正確的稀疏分解結果，最終造成無法完成圖像的自聚焦，而且當目標為具有成片連續散射面的復雜目標時，因其不滿足理想散射點模型的假設，故本文算法也不適用于該類目標。

3) 研究快速恰當的參數選取方法及針對復雜目標的擴展性算法也是課題組下一步的重點研究方向。