少驅動四足機器人設計與仿真

謝偉林，聶 華，孫容磊，孫柏楊

1 引言

傳統輪式機器人對地形要求比較高，無法適應復雜地形，比如一些火災或地震等災害現場。而模仿自然界的四足動物（如獵豹）的四足機器人，相比于傳統的輪式機器人具有更大的靈活性，可以適應比較復雜的地形，代替人類進入危險區域，完成傳統輪式機器人無法完成的任務。目前，國內外在四足機器人領域展開了大量研究[1-9]。國外，美國波士頓動力學工程公司的“BigDog”[1-2]四足機器人采用液壓缸為腿部驅動元件，機身采用框架式結構，它可以適應多種復雜地形，包括走室內樓梯和爬坡。Semini的“HyQ”[3-4]機器人采用電，液混合驅動，可以實現四足機器人的跑動和跳躍動作。國內，山東大學[6]設計出高性能的液壓驅動四足機器人SCalf，并實現了機器人平穩快速運動。上面提到的四足機器人每個關節都配有一個獨立的驅動源。

事實上，四足動物的關節運動具有協同性[10]。這里的協同性是指四足動物在某種步態下各關節運動的角度并不是相互獨立的，而是具有一定的協同性。換言之，少量的生物信號輸入以協同的方式控制復雜的關節運動。四足動物的這種運動特點可以簡化四足機器人的設計和控制；軟件上減少控制輸入，硬件上減少電機數量，減輕重量。盡管國內外利用生物關節運動的協同性設計機器人的研究[10-14]已經開展，比如文獻[13]運用主成分分析方法對人在跑步機上做不同動作和在不同運動速度下的運動數據進行主成分分析，設計出驅動電機數目少于人類關節數的二足機器人，但仍然沒有利用少驅動重構四足生物步態的機器人相關設計。立足于此，文章開展了下面的研究。

基于主成分分析方法研究了少驅動的四足機器人設計問題。通過提取四足動物各個關節的運動主元，舍去影響較小的主元，保留對運動起主要作用的主元并得到新主元重構關節運動的轉換矩陣，建立實現轉換矩陣的幾何約束條件，利用幾何約束條件設計出少驅動的四足仿生機器人，使腿部的驅動電機數目從8個減少到4個，并保留主要運動特征，最后仿真分析驗證了設計的正確性。

2 獵豹Gallop步態下的協同性分析

2.1 主成分分析（PCA）方法簡介

主成分分析是多元統計分析學中一種處理高維數據的方法，它通過投影的方法，將高維的數據以盡可能少的信息損失投影到低維空間，使數據降維，達到簡化數據結構的目的[15]。

設原始變量矩陣X為：X=［X1…Xm］T

因此降維后X可由重構變量X′近似代替：X′=AY式中：A—轉換矩陣；Y—由保留的主元組成的變量。

X′與X的近似程度可以由保留的主元的方差在總方差中所占的比例大小來衡量。具體的數學推導方法見文獻[15]。

2.2 獵豹Gallop步態下的協同性分析

本研究用的獵豹的實驗數據來自Motion Capture Club公司。文章接下來將把獵豹的所有關節角度分為：4個髖關節，4個膝關節和每條腿的膝關節和踝關節3組，并對這3組分別做主成分分析。這樣處理是為了方便后面的機械結構設計。

2.2.1 獵豹4個髖關節主成分分析

獵豹4個髖關節主成分分析碎石圖，如圖1（a）所示。碎石圖表示保留的主元個數與舍去的主元的方差在總方差中所占的比例的關系，利用碎石圖可以直觀評估保留的主元包含的原始信息量。圖中x軸表示保留的主元的個數k，y軸表示舍去的主元的方差在總方差中所占的比例q。顯然，q越小，保留的主元包含的原始信息量越大，利用保留的主元重構的角度與原始角度越接近。當q=0（即保留所有主元）時重構角度與原始角度是一致的。由圖1（a）可知當k取2時，q足夠小，即保留的主元包含足夠多的原始信息。當k取2時，由新主元重構得到的4個髖關節角度與原始角度之間的比較，如圖2所示?？梢钥吹街貥嫈祿c原始數據重合度很好。

圖1 髖關節和膝關節碎石圖Fig.1 Scree Plots of Hips and Knees

圖2 k取2時，4條腿的髖關節的重構角度與原始角度之間的比較。Fig.2 Comparison Between Reconstructed Angles of Hips of 4 Legs and the Original Angles，when k is Equal to 2

2.2.2 獵豹4個膝關節主成分分析

由圖1（b）可知當k取2時，q足夠小，即保留的主元包含足夠多的原始信息。當k取2時，由新主元重構得到的4個膝關節角度與原始角度之間的比較。可以看到重構數據與原始數據重合度很好，如圖3所示。

圖3 k取2時，4條腿的膝關節重構角度與原始角度之間的比較。Fig.3 Comparison Between Reconstructed Angles of Knees of 4 Legs and the Original Angles，when k is equal to 2

2.2.3 獵豹腿膝關節和踝關節主成分分析

由于獵豹的左右腳是對稱的，只需要取獵豹的一只前腳和一只后腳做分析。對獵豹的前腳和后腳的膝關節與踝關節主成分分析的碎石圖，如圖4所示。由圖可知當k取1時，q足夠大，包含足夠多的原始信息。當k取1時由主成分重構的膝關節和踝關節角度與原始膝關節和踝關節角度對比。前腳膝關節、后腳膝關節、后腳踝關節重構角度與原始數據重合度很好，前腳踝關節略差。但從肢體運動層面來看，前腳的整體運動仍然是仿生的，這點可以由圖10看出。

圖4 膝關節和踝關節碎石圖Fig.4 Scree Plots of Knees and Ankle

2.3 分析結果解析

由前面分析可知4個髖關節可以由2個主元來重構，其數學表達式為

式中：X—髖關節角度重構數據矩陣；Y—2個主元構成的矩陣；A—轉換矩陣。

同樣4個膝關節角度也可以由2個主元來重構，其數學表達式形式同方程（1）。最后每條腿的膝關節和踝關節可以由1個主元來重構，其數學表達式為：X1=k1Y；X2=k2Y （2）

式中：X1，X2—膝關節和踝關節重構數據矩陣；Y—一個主元構成的矩陣；k1，k2—比例系數。

顯然，每條腿的膝關節和踝關節提取的1個主元與4個膝關節提取的2個主元之間具有線性關系。因此獵豹所有關節一共可以提取出4個相互獨立的主元，因此理論上仿獵豹四足機器人只需要4個電機既可以驅動所有關節。

3 轉換矩陣機械結構的實現

3.1 轉換矩陣分解

方程（1）中的矩陣A可以做如下分解：

3.2 轉換矩陣R的機械結構設計

現在建立滿足式（6）和式（7）得幾何約束。如圖5（a）定義點A和B為輸入，點C為輸出。則點A，B和C應滿足：（1）點A，B和C分別在直線x=xA，x=xB，x=xC上，且xA≠xB。（2）A，B和C3點共線。

由此可以得到輸入與輸出的關系式：

則式（6）和式（8）是等價的。因此可以用圖5（b）的滑塊導線機構來設計滿足這個幾何約束機械結構。

圖5 滿足式（6）和式（7）的幾何約束和機械原理圖Fig.5 Geometrical Constraint and Schematic Diagram Satisfying Formula（6）and（7）

3.3 轉換矩陣S的機械結構設計

因為S是個對角矩陣，所以輸入輸出的關系是一一對應。另外轉換矩陣R的機械結構輸出的運動是平動，最后要求的輸出是關節的轉動。所以轉換矩陣S的機械結構輸入運動應該是平動，輸出運動是轉動。滿足這兩個條件的機械結構有很多。如，繩傳動機構，齒輪齒條機構，滑塊和搖桿機構等?？紤]結構緊湊性，選擇繩傳動機構。轉換矩陣S是機械結構的機械原理圖，如圖6所示。

圖6 實現轉換矩陣S的機械原理圖Fig.6 A Schematic Diagram Implementing Transmission Matrix S

3.4 轉換矩陣A的機械結構

數學上A=SR，因此轉換矩陣A的機械結構可以看成轉換矩陣S的機械結構和轉換矩陣R的機械結構的串聯。因此可以得到轉換矩陣A的機械結構。

4 機械結構優化

由式（8）和式（9）可知，在圖 5（a）中當直線 x=xA，x=xB固定時，直線x=xC的位置取決于ri2的值。當ri2＜0時，直線x=xC在直線x=xA左邊；當 ri2=0 時，直線 x=xC與直線 x=xA重合；當 0＜ri2＜1 時，直線x=xC在直線x=xA，x=xB之間；當ri2=0時，直線x=xC與直線x=xB重合；當ri2＞1時，直線x=xC在直線x=xB右邊。因此ri2取1或0時，可以減少桿的數目，從而簡化機械結構。另外，改變ri2的值，還可以改變各根桿的相對位置，從而可以使結構更緊湊。下面給出一種優化方法，來達到這2個目的。顯然，X=AY并不是矩陣X唯一的分解形式。這里定義一個可逆矩陣T：

因此矩陣X可以表示為：X=ATT-1Y=JK

其中，J=AT；K=T-1Y

顯然這種轉換不會改變輸出。把矩陣J分解成A的形式：

其中，mi1+mi2=1

為了方便，這里令方程（8）中：xA=0；xB=d

接下來建立4個約束條件：

（1）為了使兩根輸出桿和兩根輸入桿重合，可以令：

（2）因為任意2根桿之間的距離Δx不可以無限?。ㄖ辽僖笥诨瑝K的寬度），也不可以無限大。因此，Δx應滿足：

這里minΔx，maxΔx的值由機器人大小和零件大小而定。

（3）同樣，因為線輪的半徑值也不能任意取，因此，ni也應滿足：min n≤ni≤max n（i=1，2，3，4）

（4）矩陣T為可逆矩陣。

由以上4個約束條件可得方程組：

由此解出 4 個最優解 f1，f2，θ1，θ2，進而求出矩陣 N，M。

5 四足機器人的設計及仿真

5.1 四足機器人的設計結構

膝關節的轉換矩陣的機械結構，如圖7所示。具體參數，如表1所示。髖關節的機械結構與膝關節相似。腿部膝關節和踝關節采用同步帶傳動。前腿的膝關節的帶輪直徑與踝關節帶輪直徑的比為1.48；后腿的膝關節的帶輪直徑與踝關節帶輪直徑的比為1.15。

表1 膝關節的轉換矩陣的機械結構的參數Tab.1 The Parameters of the Mechanical Structure of Transmission Matrix of Knees

圖7 膝關節轉換矩陣A的機械結構的三維模型Fig.7 Three-Dimensional Model of Mechanical Structure of Transmission Matrix a of Knees

5.2 四足機器人的仿真

四足機器人在Gallop步態下，如圖8所示。利用Solidworks做的仿真效果圖。可以看出，四足機器人的運動姿態跟獵豹的Gallop步態比較相似，其中后腿的運動比較符合獵豹的運動，但前腿有點變形。出現這個問題可能是因為沒有考慮四足動物的脊椎運動。為了避開這個問題目前多數四足機器人前腿的結構采用和后腿一樣的結構，也就是設計成前后腿對稱的結構，比如文獻[1、10]?？梢钥闯蓛煞N軌跡重合度很好。其中四足機器人后腿末端軌跡和獵豹前腿末端軌跡的重合度比前腿高。這一點和前面的分析結果一致。

圖8 四足機器人的仿真效果Fig.8 The Result of the Simulationof the Quadruped Robot

6 結論

從仿生學的角度出發，基于主成分分析方法分析了獵豹在Gallop步態下的協同性。不同于傳統的整體步態或者針對某一個腿的步態進行分析，對髖關節與膝關節分開研究，發現四個髖關節與四個膝關節的復雜運動分別僅需要兩個主元便可重構；基于此，開發出驅動電機數目只有4個（2個電機協同驅動4個髖關節，2個電機協同驅動4個膝關節，膝關節與踝關節通過同步帶輪耦合），結構緊湊的四足機器人。利用Solidworks仿真驗證了機器人設計的合理性。另外，基于髖關節和膝關節分組研究得到的結果從新的角度揭示了四足動物各關節運動的協同關系；同時提出的可復現生物復雜步態的少驅動四足機器人設計方法對于其他仿生機器人的設計具有借鑒意義。