Stewart并聯機器人控制算法研究

文 剛，高宏力，彭志文，梁 超

1 引言

Stewart六自由度并聯平臺結構非常的典型，其具有的特點包括：自由度多、剛度高、精度高、承載能力強以及可模塊化生產等等，所以應用的領域非常廣泛。其主要應用地方有操作器、運動模擬器、并聯機床、坐標測量機、醫療以及航空航天等多個方面，并要求平臺的運動系統具有很高的控制精度以及較快的動態響應性能，因此平臺的控制算法是六自由度并聯平臺研究的一個熱門問題，也是一個難點問題。

六自由度平臺的控制方式有很多，例如PID及其增強型控制、自適應控制、變結構控制以及魯棒控制等[1]，但是由于其耦合性強、非線性度高、動力學模型復雜等原因，使得一些自適應的控制方法計算量大，對于快速且實時的需求難以滿足，而且在應用魯棒控制時，其魯棒性和控制的精度要求難以同時滿足，因此不適用于此類復雜系統[2]。在并聯平臺的控制中，必須要用到基于模型的控制算法。計算力矩就是根據平臺的動力學方程而設計的一種PD控制器，通過計算每個缸體的施加力的大小，然后通過運動學分析，可以實現對平臺的精確控制。為了解決系統的不確定性以及控制過程中的各種干擾，使用了模糊算法實時修正計算力矩中的控制參數。

2 動力學模型

Stewart并聯機構的結構圖，如圖1所示。平臺的運動系統采用的是電機驅動的方式進行的。機器人的六個支腿由六個電動缸構成，電動缸由電機直接驅動，作為平臺的作動器協調動作，六個支腿綜合產生上平臺的運動。上下平臺與作動器的連接方式依靠的是虎克鉸，由此每個支腿有著兩個轉動副和一個移動副。連接上平臺的虎克鉸由于與對應的轉動副是異面共點的，所以可將此虎克鉸視為球鉸來分析。文章介紹的控制算法是基于動力學模型的，采用的動力學方程模型引用自參考文獻[1]。首先把整個平臺分為兩大部分：分別為上平臺和六個電動缸組成的可伸縮作動器。因為下平臺固定不動的，視為與地固連，所以此時可以忽略不用考慮。然后建立靜坐標系為絕對坐標系和與上平臺固連的體坐標系為相對坐標系，選擇上平臺與支腿的連接位置qp作為廣義坐標，選擇其速度q˙p為廣義速度，并且應用拉格朗日法求得上面鉸點處的約束力。最后把上平臺作為研究對象，應用Newton-Euler法得到整個并聯機器人的完整的動力學方程。

圖1 Stewart平臺結構示意圖Fig.1 The Schematic Diagram of the Stewart Platform

機構的動力學方程式如下式所示：

由于我們設計的計算力矩控制算法是基于鉸點的控制算法，所以還需要對式（1）進行修改，改為建立其定義于鉸點空間的Stewart機器人動力學方程，修改后的公式如下式：

式中：M（q）—平臺的正定的慣性矩陣；C（q，q˙）q˙—平臺的向心和科氏力矩向量；而C（q，q˙）—平臺向心和科氏力矩的系數矩陣；G（q）—平臺重力矩陣—從上平臺廣義速度到電動缸伸縮速度的雅可比矩陣；—從上平臺廣義速度到上鉸點速度的雅可比矩陣；mp—上平臺及上平臺上其他物體總的質量；mt、mb—電動缸支腿上下部分的質量；g—重力加速度；It、Ib—機構支腿上、下部移動部分相對于靜坐標系的慣性張量的分量。

3 控制器設計

因為Stewart平臺為典型的非線性、耦合性強的時變系統，應用傳統的控制算法難以實現對平臺的準確控制，很難到達滿意的控制結果，所以為了構建一個精度高、效果好的控制系統，采用模糊計算力矩的控制方法。應用模糊算法優化計算力矩控制參數的示意原理圖，如圖2所示。其主要的核心為計算力矩控制算法，再應用模糊算法對計算力矩控制器的參數進行實時的在線的優化，實現平臺的更加靈活的控制。

圖2 模糊計算力矩控制系統結構圖Fig.2 Structure of Fuzzy Computed Torque Control System

3.1 計算力矩

計算力矩控制算法在機器人的控制方法中非常的常規，等同于基于動力學模型的PD控制算法，主要是利用平臺的動力學模型和平臺控制的路徑規劃結合運動學來計算出各缸體的瞬時施加力，Stewart機構的動力學方程，如式（2）所示。

所以將式（2）代入式（3）可以得到：

定義其控制輸入函數為：

則可以將式（5）變形為：

式（6）即為力控制律。

反饋環采取PD控制，反饋控制律為：

式中：kp—比例系數；kv—微分系數。

則平臺的控制輸入為：

計算力矩控制算法是PD控制，所以對計算力矩參數的整定即為整定kp、kv的值。從整個系統的穩定性、響應快慢、控制準確度等方面來綜合考量：kp的作用是為了提升系統的響應速度和控制準確度；kv是改善系統的動態性能。同時在整定kp、kv的值的時候還得考慮兩個參數之間的耦合關系。

針對不同的e和Δe，Δkp、Δkυ的整定原則有如下幾點：

（1）當e較大時，為了使系統更快速的調節同時跟蹤性能更好，kp應該取得較大，kv的值應該取得較小。

（2）當e、Δe 中等時，為了避免過大超調，可以將kp的值減小一下。在這個時候，系統對于kv的反應較為敏感，所以對kv的值要取得相對小一些。

（3）當e較小時，為了保證系統的穩定性，kp應該取得較大。同時，當 Δe 較大時，kv的值應該取得較小；當 Δe較小時，kv的值應該取得較大些。

3.2 模糊計算力矩

針對Stewart并聯平臺的特點，根據計算力矩控制參數的整定方法，可以設計一個2輸入2輸出的模糊控制器。2個輸入分別為電動缸的位移量的預期值和實際值的差值e及其變化率ec，2個輸出分別為Δkp、Δkv，以實現對計算力矩算法的在線整定。kp、kv的在線整定公式為：

根據計算力矩Δkp、Δkv的整定原則，創建了模糊計算力矩的模糊規則表，如表1所示。

表1 Δkp、Δkv的模糊控制規則表Tab.1 Fuzzy Control Rule Table of Δkp、Δkv

表 1中 NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB 是采用的 7個模糊子集來表示模糊控制器的輸入輸出變量，其含義分別為：正大、正中、正小、零、負小、負中和負大。

4 仿真實驗

在這一部分，使用了MATLAB/Simulink對控制Stewart并聯平臺的各種算法進行了仿真，使用的算法有PID控制、計算力矩以及文章所提的模糊計算力矩，目的是為了對應用的這三種控制算法進行對照分析，找到模糊計算力矩控制算法相對于其他兩種算法所對應的優勢。文章應用MATLAB的SimMechanics工具箱建立了平臺的仿真模型，然后將建立的平臺仿真模型放入Simulink中與其他控制部分組成一個完整的仿真系統。SimMechanics是專門為機構和控制器建模的一種工具箱，所有的操作都是基于Simulink環境進行的。平臺的主要基本參數，如表2所示。

表2 Stewart平臺參數Tab.2 Parameters of the Stewart Platform

平臺末端的運動軌跡方程如下所示：

圖3 Simulink仿真模型Fig.3 Simulation Model in Simulink

這里的結果分析主要是將末端平臺的軌跡運動應用并聯平臺的運動學轉換為六自由度并聯平臺的六個支腿的運動，然后再對六個支腿的運動精度進行分析對比。系統仿真模型，如圖3所示。應用PID控制算法、計算力矩以及模糊計算力矩控制算法時，六個支腿的誤差，如圖4～圖6所示。

圖4 PID算法六個支腿所對應的誤差Fig.4 Six Cylinder Errors of PID

圖5 計算力矩六個支腿所對應的誤差Fig.5 Six Cylinder Errors of Computed Torque Method

圖6 模糊計算力矩六個支腿所對應的誤差Fig.6 Six Cylinder Errors of Fuzzy Computed Torque Method

通過圖4可以看出，在控制系統在應用傳統的PID算法時，六個支腿的誤差最后穩定時在0.004m以內，通過計算得出其誤差最大為5.7%。再通過圖5，再應用計算力矩的控制算法時，可以明顯的看出六個支腿在初始位置時的誤差就有了很大的改善，并且能夠更快的趨于穩定，穩定后精度也較高，最后穩定時誤差在0.0029m以內，其計算出其最大誤差為4.1%。平臺應用模糊計算力矩控制器時六支腿的誤差，如圖6所示。可以看出應用該算法時，平臺的控制更加的精準，收斂的速度也更快，穩定時誤差不超過0.0025m，最終計算出的誤差最大不超過3.6%，且此時整個系統也更加的趨于平穩。

5 結論

根據Stewart并聯機器人動力學模型的特點而設計的模糊計算力矩控制器，與PID的常規傳統的控制方法和基于動力學的計算力矩控制方法進行對照和分析，這種方法不僅保證了較快的收斂速度和更高的控制精度，而且能夠通過模糊控制器實時的改變計算力矩控制器的控制參數，使得控制過程更加的靈活和準確。同時，該方法結構比較簡單，效率也較高，可以適用于Stewart并聯機構或其他類型的并聯平臺。