求解簡單多面體外接球問題的策略

陳土樹

【摘 要】簡單多面體外接球的問題經常在各類考試中屢見不鮮，是有關球的問題的常見題型。它考查了學生核心素養之數學抽象思想方法，更考查學生化歸轉化的思想方法。本文力爭在求解簡單多面體外接球問題上，引導學生根據題設條件化歸轉化，有的建構模型，有的從性質出發，培養學生的數學抽象素養，提升了學生的化歸轉化能力。

【關鍵詞】簡單多面體；外接球；數學抽象；化歸與轉化

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征。高中數學中重要思想方法有很多，化歸與轉化是其中的一種。它是解決數學問題的基本方法。化歸與轉化思想通俗的說，就是化陌生的為熟悉的，化復雜的為簡單的，化困難的為容易的，化抽象的為直觀的等。當然這里的轉化是等價的轉化，具有普遍適用性.它作為一個非常重要的解題策略，能夠在學生“山重水復疑無路”時，層層撥開迷霧，出現“柳暗花明又一村”，一步步的讓學生達到自身的“最近發展區”，從而把復雜的題目給迎刃而解了。

近年來，不管是全國卷還是各省市的質檢卷，都會出現簡單多面體外接球的題目。它既考查了學生的空間想象能力，又考查學生化歸與轉化的思想方法。在日常教學中，發現很多學生過多的依賴空間向量工具，空間想象力不斷減弱，從而對此類問題，呈現出化歸轉化不足，經驗欠缺，進而產生畏難情緒，造成得分率極低.多面體外接球問題，即轉化為確定球心，求出半徑，核心在于球心的確定。筆者認為很有必要針對這一塊內容進行較為系統的梳理與歸納，下文中以“三棱錐與四棱錐”這兩種簡單多面體為例。

一、構造長方體（正方體）模型確定球心

我們知道長方體是高中立體幾何學習中的基本圖形，學生都很熟悉它的性質和特征。長方體的外接球球心是體對角線的中點，體對角線就是外接球的直徑。不少三棱錐和四棱錐的外接球問題可以通過構造長方體模型就能迎刃而解。這就是化歸與轉化原則之一——熟悉化原則。

問題呈現

例1：已知三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩互相垂直，且AB=■，BC=■，AC=2，則此三棱錐的外接球的體積為（ ）

A.■π B.■π C.■π D.■π

解析：首先我們要數形結合將數量關系和位置關系在圖形上轉化體現出來。“三條側棱兩兩互相垂直”這個條件是關鍵，依據它可以進行轉化——將該三棱錐補形構造以PA、PB、PC為棱的長方體如圖1（2）。依據三棱錐的外接球的唯一性，那么三棱錐P-ABC外接球轉化為長方體的外接球，只需根據長方體的外接球半徑求法求出外接球的半徑即可。我們由勾股定理得PA■+PB■=5，PC■+PB■=7，PC■+PA■=4，求得PA■+PB■+PC■=8，從而求得外接球半徑R=■=■，代入體積公式■πR■=■π。

變式 在三棱錐A-BCD中，AB=CD=■，AD=BC=■，AC=BD=■，則三棱錐A-BCD外接球的體積為____________。

解析：變式中，由“AB=CD=■，AD=BC=■，AC=BD=■”可知三組對棱分別相等，即可轉化——補形長方體，三組對棱分別是長方體的三組對面的面對角線，如右圖所示，從而該題就能迎刃而解了。

一般地我們可以轉化為構造長方體（正方體）模型有以下幾種類型：

（1）三條側棱兩兩垂直的三棱錐可補成長方體 （或正方體）；

（2）一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形的三棱錐可補成長方體（或正方體）；

（3）對棱分別相等的三棱錐可補成長方體（或正方體）；

（4）正四面體可補成正方體；

（5） 由兩個公共斜邊的直角三角形構成的三棱錐可補成長方體；

（6） 一條側棱垂直于底面且底面是矩形的四棱錐可補成長方體（或正方體）。

二、構造直棱柱模型確定球心

我們知道有外接球的直棱柱，它的外接球球心在上下底面外心連線的中點處，外接球半徑通過構造直角三角形利用勾股定理求得，最終轉化為方程：R■=r■+（■）■求得。這就是化歸與轉化方法的“構造法”，構造一個合適的數學模型，把問題變為易于解決的問題。

問題呈現

例2：已知四面體S-ABC所在頂點都在球O的球面上，且SC平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，則球O的表面積為________。

解析：將題設條件轉化到圖形中，由“SC⊥平面ABC，∠BAC=120°”。將四面體S-ABC補形成以△ABC為底面的直三棱柱如圖2（2），假設上下底面的外心分別為Q，Q ，那么QQ 的中點即是球心O，連接OC，CQ ，OC就是外接球半徑R，CQ'是底面△ABC的外接圓半徑r。顯然由正弦定理得CQ'=■=1=r，而OQ'=■QQ'=■SC=■，根據勾股定理得R=■+■=■，進而得到球O的表面積為5π。

變式 已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，其外接球的表面積為28π，△PAB是等邊三角形，平面PAB⊥平面ABCD，則a=______。

解析：變式中，由“平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為a的正方形”，可以將轉化補形成三棱柱如圖3所示。

一般地， 有一條棱垂直一面的三棱錐均可構造直棱柱模型。

三、由性質確定球心

我們知道，在空間中，如果有一定點到簡單多面體的所有頂點的距離相等，那么這個定點就是該多面體外接球的球心。有外接球的簡單多面體中，過任一面的外心作該面的垂線必經過球心。有外接球的簡單多面體中，任一棱的中垂面必經過球心，球心和多面體中任何一個平面的外心連線垂直該平面。球心到多面體任何一個平面的距離d，外接球半徑R，該平面的外接圓半徑r，總滿足：R■=d■+r■。因而我們就清楚正n棱錐的外接球的球心在其高線上。這就是我們常見的化歸與轉化方法之一：直接轉化法，即把源問題直接轉化為基定理、基本公式或基本圖形問題。

問題呈現

例3：【2017年福建省綜合質檢8】空間四邊形ABCD的四個頂點都在同一球面上，E，F分別是AB，CD的中點，且EF⊥AB，EF⊥CD。若AB=8，CD=EF=4，則該球的半徑等于（ ）

A.■ B.■

C.■ D.■

解析：由“EF⊥AB，E是AB的中點”可知AB的中垂面經過球心O；“EF⊥CD，F是CD的中點”。可知CD的中垂面經過球心O，而兩個中垂面相交于直線EF，那么球心O必在EF上。該球的半徑為R，設OE=x，則OF=4—x，由R■=OB■=OD■=BE■+OE■=DF■+OF■，求得x=■，可得R■=■，故半徑為■，選C。

例4：某棱錐的三視圖如圖5（1），求其外接球的表面積。

解析：我們由三視圖轉化為棱錐是三棱錐D-ABC，其中

AB=AC=1，BC=■，AD=■，BD=■，CD=■，由勾股定理逆定理得△ABC，△ABD都是直角三角形，則△ABC，△ABD的外心分別是點E，H，根據外接球的性質，我們可以作出OH⊥平面ABD，OE⊥平面ABC，則O是球心。如圖建立空間直角坐標系B-xyz，其中A（1，0，0），D（0，-1，1），H（■，-■，■），E（1，1，0），設OE=h，則O（■，■，h），AD=（-1，-1，1），HO=（0，1，h-■），由AD⊥OH，解得h=■，R■=OE■+BE■=（■）■+（■）■=■，則外接球的表面積S=11π。

一般地我們要找出多面體中特殊元素，如兩平面互相垂直，兩平面的二面角是特殊角，有等邊三角形，直角三角形，頂角是特殊角的等腰三角形等等，我們根據球的性質，轉化為我們所熟悉的平面問題，從而求得球的半徑。

數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，簡單多面體外接球問題的解決，總離不開化歸與轉化。有關球的問題基本題型之一就是簡單多面體外接球的問題，它的考查是全方位，多角度，深層次的，考查學生數學抽象能力，更考查學生的化歸轉化的思想。這類題，我們一般轉化為以下幾個步驟：先畫出圖形，將相關的數量關系和位置關系轉化到圖形中；再者以構造典型幾何體模型為前提，將不熟悉的多面體轉化為我們所熟悉的長方體或直棱柱問題；若構造存在困難，此時確定球心位置就通過特殊的“截面”把立體幾何問題轉化為平面問題，進而求出外接球半徑，當然還可以考慮通過建系發揮空間向量的威力。

【參考文獻】

[1]陳志超.多面體外接球問題的變式探究[J].學法指導，2015（17）：112-113

[2]聶海峰.切接球的轉化途徑[J].數理化解題研究：高中版，2008（4）：18-20