基于粒子群優(yōu)化的模糊C均值聚類算法*

王宇鋼

(遼寧工業(yè)大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 錦州 121000)

0 引言

隨著大數(shù)據(jù)、云計算等技術(shù)的迅猛發(fā)展，聚類分析已成為數(shù)據(jù)挖掘的主要研究手段之一。為符合人類的認知，研究員將模糊集理論引入聚類分析中，提出了模糊C均值聚類算法(Fuzzy C-means Clustering Algorithm，F(xiàn)CM)。經(jīng)典FCM 算法由于是一種局部最優(yōu)搜索算法，存在對初始聚類中心敏感、易于陷入局部最優(yōu)解的缺陷，限制了算法的應(yīng)用[1-2]。因此，學(xué)者嘗試通過各種智能算法對經(jīng)典FCM 算法進行改進。粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)作為群體智能算法的代表，依靠個體之間的簡單交互作用在群體內(nèi)自組織搜索，具有很強的學(xué)習(xí)能力和適應(yīng)性[3]。一些學(xué)者利用PSO算法克服傳統(tǒng)FCM算法的缺陷，將PSO算法與FCM算法融合已成為近年來的研究熱點[4]。

文獻[5]針對FCM算法用于高維數(shù)據(jù)樣本聚類時效果較差的不足，提出一種基于粒子群的FCM聚類算法。該算法在滿足FCM算法對隸屬度限制條件的前提下，根據(jù)樣本與聚類中心間距離重新分布了隸屬度，并通過比較樣本與各聚類中心距離加速最優(yōu)粒子收斂。文獻[6]對初始聚類中心和模糊加權(quán)指數(shù)進行粒子編碼，通過粒子群優(yōu)化算法搜索最優(yōu)的適應(yīng)度值及模糊加權(quán)指數(shù)，經(jīng)人工數(shù)據(jù)集與UCI數(shù)據(jù)集實驗，證明該方法比傳統(tǒng)的FCM算法和粒子群聚類算法的聚類準確性和穩(wěn)定性都有提高。文獻[7]將基于直覺模糊的粒子群算法(IFPSO)和FCM算法混合，利用猶豫度屬性參數(shù)尋找目標(biāo)函數(shù)與聚類中心的相似性，對高維數(shù)據(jù)集進行聚類分析取得較好效果。文獻[8]提出一種基于慣性指數(shù)權(quán)重的粒子群聚類算法(ACL-PSO)。將改進的PSO算法與FCM算法相結(jié)合，改善FCM算法易于陷入局部最優(yōu)解的缺陷，對UCI數(shù)據(jù)庫中標(biāo)準數(shù)據(jù)集進行測試，結(jié)果顯示了該算法的有效性。

為克服FCM算法缺陷，提高聚類質(zhì)量，本文對基本粒子群聚類算法進行改進，并與FCM算法結(jié)合，提出了一種改進的粒子群優(yōu)化模糊C均值聚類算法(Improved Fuzzy C-mean Clustering Algorithm Based on Particle Swarm Optimization，IFCM-PSO)。首先通過選擇合理的粒子初始化空間，降低對初始聚類中心的敏感度，提高收斂速度；其次通過優(yōu)化參數(shù)粒子運動最大速度以及引入環(huán)形拓撲結(jié)構(gòu)的鄰域，解決粒子群聚類算法易早熟收斂的缺陷。選取UCI 數(shù)據(jù)庫中3 個真實數(shù)據(jù)集IRIS、WINE和Breast Cancer Wisconsin (BCW)進行仿真實驗，以驗證該算法的有效性。

1 模糊C均值聚類算法(FCM)

分為L個類簇的數(shù)據(jù)樣本集合X={x1,x2,…,xn}∈Rp，n為樣本個數(shù)，p為樣本空間維數(shù)，L介于2～n之間。FCM算法采用誤差平方和函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，其定義式為：

隸屬度uij應(yīng)滿足約束條件：

FCM算法是以誤差平方和為準則函數(shù)的一種逐點迭代聚類算法。通過式(2)和式(3)迭代計算隸屬度矩陣U和聚類中心V，使目標(biāo)函數(shù)J(U，V)的取值不斷減小。當(dāng)準則函數(shù)會聚時，獲得數(shù)據(jù)樣本的最終聚類結(jié)果，即模糊劃分后的隸屬度矩陣U和聚類中心V。

2 基本粒子群聚類算法

2.1 粒子群優(yōu)化算法

在粒子群優(yōu)化算法中，每個粒子si抽象為一個個體，種群就是由這些粒子構(gòu)成的，所求問題的解就是粒子在空間中的最優(yōu)位置。在每次迭代計算過程中，根據(jù)所有粒子的適應(yīng)值評價每個粒子的極值當(dāng)前最優(yōu)位置pi和群體全局最優(yōu)位置g。依靠兩個位置極值，粒子更新其移動速度和位置，直至收斂到空間位置的最優(yōu)解。

目前普遍采用的粒子速度和位移更新形式為：

vi=ωvi+c1r1(pi-si)+c2r2(g-si)

(5)

si=si+vi

(6)

其中，c1、c2為學(xué)習(xí)因子，一般取c1=c2；r1、r2是[0，1]之間的隨機數(shù)；w為慣性權(quán)重，取值限定在[wmin，wmax]之間。在迭代過程中，慣性權(quán)重通常采用線性遞減方式由最大值變?yōu)樽钚≈担矗?/p>

w=wmax-iter×(wmax-wmin)/itertotle

(7)

其中，iter為當(dāng)前迭代次數(shù)，itertotle為最大迭代次數(shù)。

2.2 FCM-PSO算法

為了實現(xiàn)傳統(tǒng)聚類方法缺陷的突破，研究人員嘗試將粒子群優(yōu)化算法與傳統(tǒng)聚類算法相結(jié)合，通過PSO算法的全局尋優(yōu)能力和分布式隨機搜索特性解決傳統(tǒng)聚類算法易陷入局部最優(yōu)和對初值敏感的問題。將聚類作為一種優(yōu)化問題實現(xiàn)對數(shù)據(jù)集的近似最優(yōu)劃分。基本粒子群聚類算法的流程如下：

(1)給定聚類的數(shù)目，初始化聚類中心矩陣，并賦值給各個粒子，隨機產(chǎn)生粒子的初始速度。

(2)對每個粒子計算隸屬度，更新所有的聚類中心，計算各個粒子的適應(yīng)值，更新個體極值。

(3)根據(jù)各個粒于的個體極值，找出全局極值和全局極值位置。

(4)根據(jù)粒子群優(yōu)化算法的速度公式更新粒子的速度，并把它限制在最大速度內(nèi)。

(5)根據(jù)粒子群優(yōu)化算法的位置公式更新粒子的位置。

(6)若不滿足終止條件，返回步驟(2)繼續(xù)迭代計算；若滿足終止條件，則輸出最優(yōu)粒子的位置即最優(yōu)分類中心矩陣。

目前，將FCM算法與PSO算法相融合的聚類算法(Fuzzy C-Mean Clustering Algorithm Based on Particle Swarm Optimization，F(xiàn)CM-PSO)已成為基本粒子群聚類算法的一種主要研究形式[9]。該方法將每個粒子表示為一種聚類中心的選取方式，應(yīng)用FCM算法的目標(biāo)函數(shù)計算各粒子的適應(yīng)值，作為對應(yīng)聚類中心聚類效果的評判依據(jù)，算法收斂后輸出粒子的全局最優(yōu)位置，即最優(yōu)聚類中心。

3 改進的粒子群優(yōu)化模糊C均值聚類算法

3.1 粒子群聚類算法的改進

(1)PSO算法通常將粒子初始值均勻分布于[0，1]之間，而非在粒子的最優(yōu)解的附近空間，這將使粒子搜尋最優(yōu)解的迭代時間增加，聚類的效果變差[10]。本文將樣本聚類中心作為種群個體，因此粒子的最優(yōu)解空間即為樣本的分布空間。將粒子的初始位置隨機分布于取值范圍[Xmin，Xmax]，Xmin、Xmax分別為樣本每維最小值和最大值組成的向量。這樣初始化的粒子在接近最優(yōu)解的搜索空間開始進化運算，可有效縮短收斂時間，提高聚類質(zhì)量。

(2)最大速度vmax決定粒子在一次迭代計算中的最大移動距離，vmax過大則易使粒子錯過最優(yōu)解，過小則會使粒子易陷入局部最優(yōu)解。因此，通常將粒子最大速度設(shè)為一個常數(shù)。然而，在樣本各維取值存在較大量綱差異時，由于各維空間取值范圍不同，將粒子的vmax在樣本各維空間均設(shè)定為一個常數(shù)，顯然易出現(xiàn)錯過最優(yōu)解或陷入局部最優(yōu)解的情況，結(jié)果影響算法的全局收斂性。本文對粒子在樣本空間每一維都定義一個最大速度，最大速度vmax根據(jù)樣本每維變化的取值范圍設(shè)定。

vmax=λ(Xmax-Xmin)

(8)

其中，λ為常數(shù)。

(3)在實際應(yīng)用中，PSO算法仍易出現(xiàn)早期迭代震蕩及早熟收斂的情況。因此，研究人員嘗試使用局部鄰居的概念，將鄰域也作為粒子進化的一個調(diào)節(jié)源，降低早熟收斂情況的發(fā)生概率。

在PSO算法中，粒子群的信息共享范圍即為粒子的鄰域拓撲結(jié)構(gòu)。環(huán)形鄰域拓撲結(jié)構(gòu)使用局部鄰居的概念，每個粒子只與最近的鄰居溝通，較好地協(xié)調(diào)粒子本身和群體之間的關(guān)系。本文通過引入環(huán)形拓撲結(jié)構(gòu)鄰域改善PSO聚類算法性能。在初始階段，鄰域就是每個粒子自身，隨迭代次數(shù)增加，每個粒子只與最近鄰居溝通，鄰域逐步擴展到包含所有粒子[11]。新的速度更新策略調(diào)整為：

vi=ωvi+c1r1(pi-si)+c2r2(g-si)+c3r3(pl-si)

(9)

其中，pl為粒子鄰域極值。

3.2 改進的粒子群優(yōu)化模糊C均值聚類

綜上分析，本文提出的IFCM-PSO算法將聚類中心作為種群中粒子的位置，將FCM算法目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)函數(shù)，終止條件為最優(yōu)粒子目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)值變化量小于閾值或迭代次數(shù)達到設(shè)定值itertotle，算法歸納如下：

(1)設(shè)定聚類初始參數(shù)：聚類數(shù)，種群數(shù)，最大速度系數(shù)，迭代誤差。

(2)在取值范圍[Xmin，Xmax]內(nèi)初始化聚類中心矩陣，并賦值給各粒子。

(3)根據(jù)式(1)計算初始種群中每個個體的適應(yīng)值。

(4)根據(jù)公式(9)計算粒子移動速度，根據(jù)公式(6)更新粒子的位置。

(5)計算種群中個體粒子的適應(yīng)值,若滿足終止條件, 則將粒子全局最優(yōu)位置作為最優(yōu)解輸出；否則返回步驟(3)繼續(xù)迭代計算。

4 實驗與結(jié)果分析

為了驗證算法的性能，選擇來自機器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)庫UCI中的3個真實數(shù)據(jù)集進行實驗，分別為IRIS、WINE和Breast Cancer Wisconsin(BCW)。以上3個數(shù)據(jù)集經(jīng)常被用于測試聚類算法的有效性，數(shù)據(jù)集的詳細信息如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)集信息

4.1 算法有效性測試

對選擇的3個數(shù)據(jù)集分別采用FCM算法、FCM-PSO算法以及本文的IFCM-PSO算法進行聚類仿真實驗。實驗參數(shù)為：FCM-PSO算法的粒子種群數(shù)為20，最大迭代次數(shù)為500，最優(yōu)解改變量閾值為0.001；IFCM-PSO算法的粒子種群數(shù)為20，允許的最大速度系數(shù)λ=0.15,最大迭代次數(shù)為100，最優(yōu)解改變量閾值為0.001。數(shù)據(jù)集分別對3種算法進行10次仿真運算，各指標(biāo)為10次計算的平均值,聚類結(jié)果如表2所示。

表2 數(shù)據(jù)集聚類結(jié)果

由表2可知，對3個數(shù)據(jù)集，F(xiàn)CM算法迭代次數(shù)最少，表明收斂最快，但由于自身算法的缺陷使得聚類準確率較差；FCM-PSO算法對IRIS和BCW兩個數(shù)據(jù)集的聚類準確率較FCM算法高，但在3種算法中迭代次數(shù)最多，收斂速度最慢；本文的IFCM-PSO算法對3個數(shù)據(jù)集在迭代100次后均獲得了最高的準確率，表明該算法在聚類速度和準確率方面的綜合性能最好。

4.2 算法結(jié)果分析

對應(yīng)3個數(shù)據(jù)集，F(xiàn)CM算法、FCM-PSO算法和IFCM-PSO算法各選取與聚類結(jié)果平均值最接近的一次聚類運算目標(biāo)函數(shù)迭代曲線進行分析，目標(biāo)函數(shù)值迭代曲線如圖1所示。

圖1 目標(biāo)函數(shù)值迭代曲線圖

由圖1(a)可以發(fā)現(xiàn)，對IRIS數(shù)據(jù)集聚類時，F(xiàn)CM算法函數(shù)值下降迅速，很快收斂；FCM-PSO算法目標(biāo)函數(shù)值在迭代100次后仍震蕩，未見明顯收斂；而IFCM-PSO算法由于初始化取值接近最優(yōu)解，收斂較快，目標(biāo)函數(shù)值最小。

圖1(b)顯示，對WINE數(shù)據(jù)集，F(xiàn)CM算法很快收斂，F(xiàn)CM-PSO算法迭代約30次后收斂，但目標(biāo)函數(shù)未見明顯下降，表明出現(xiàn)早熟收斂；IFCM-PSO算法在迭代100次后基本收斂，目標(biāo)函數(shù)值與FCM算法目標(biāo)函數(shù)值接近。

圖1(c)顯示對Breast Cancer Wisconsin數(shù)據(jù)集雖然FCM-PSO算法和本文的IFCM-PSO算法均出現(xiàn)震蕩，但最終本文的IFCM-PSO算法震蕩幅度較小，收斂效果更好。

通過以上3種算法對應(yīng)3個數(shù)據(jù)集的目標(biāo)函數(shù)曲線比較可以發(fā)現(xiàn)：本文的IFCM-PSO聚類算法由于在聚類初始化取值、最大速度取值方面進行了改進，并引入了環(huán)形鄰域輔助進化，使該算法有效克服了FCM算法對初始值敏感、易陷入局部最優(yōu)解及基本粒子群聚類算法迭代初期震蕩、早熟收斂的問題，因而獲得了最好的聚類效果。

5 結(jié)束語

本文針對模糊C均值聚類算法存在的主要問題，利用改進的粒子群聚類算法，提出了一種基于粒子群優(yōu)化的模糊C均值聚類算法。通過對粒子初始化空間和粒子運動最大速度兩個參數(shù)的優(yōu)化設(shè)置，并引入環(huán)形拓撲結(jié)構(gòu)的鄰域，提高了粒子群聚類算法的聚類效果。仿真結(jié)果表明該算法在聚類準確性和收斂速度方面均優(yōu)于模糊C均值聚類(FCM)算法和基本粒子群聚類(FCM-PSO)算法。