一種新型慣容減震器的設計及減震效果研究

劉良坤， 譚 平， 閆維明， 李祥秀， 周福霖,

(1.東莞理工學院 生態環境與建筑工程學院，廣東 東莞 523808；2. 廣州大學 工程抗震研究中心，廣州 510405；3. 北京工業大學 建筑工程學院，北京 100124；4.中國地震局 地球物理研究所，北京 100081)

結構吸能減振的研究，一直以來都是熱點，為了得到調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)的最優減振效果，很多學者推導了各種情況下最優參數公式[1-4]。李春祥等[5]論述了TMD等控制裝置研究發展，并指出了需要解決的一些問題。李創第等[6]利用復模態法進行了帶TMD結構隨機地震響應分析。譚平等[7]對高聳結構，做了可靠度研究，突出了TMD減震裝置限位的必要性。瞿偉廉等[8]利用隨機激勵的位移方差分析得到TMD的等效阻尼比。盡管TMD的分析簡單易行，但其在工程結構安裝與運行需要考慮較大的空間，且一般安裝在結構頂層，這增加了安裝的難度，因此，尋找一種能夠替代TMD的裝置顯得更為迫切。

2002年，Smith[9]首次提出了慣容器的概念，這個概念改變了質量元件一端必須接地的原則，使其在力電類比法中應用更為自由。Papageorgiou等[10]研制了慣容器模型，并通過實驗進行了論證，隨后慣容器得到了重視，逐漸地被應用到更多工程領域。Hu等[11]采用慣容器的組合形式研究了其在汽車舒適性，懸掛行程等性能要求特點；Shen等[12]則將慣容器應用到被動吸能器中，使其減震效果得到了改善，并將其應用到了汽車懸掛控制中。除了汽車懸掛減振方面的應用，Wang等[13-14]的研究表明，合適的慣容器組合形式，可有效地減小由交通或地震作用下引起的結構振動。為了充分發揮其質量放大效應，Marian等[15]考慮在TMD中增加慣容器元件，同時推導了在白噪聲地震激勵下的最優解析式，并驗證了其減震的有效性。Ikago等[16]則提出TVMD的慣容器組合減振形式，然后利用定點理論推導了最優參數表達式，最后通過數值分析和實驗進行了論證。Lazar等[17]提出了調諧慣容減震器(Tuned Inerter Damper,TID)形式的慣容器，同樣采用定點理論進行了分析，但僅給出了剛度參數的解析式，阻尼參數需要通過迭代求解；分析表明TID放在底層并與地面相連時具有最佳減震效果，此外還將其應用到拉索的減振控制[18]。

為使TID在結構減震設計應用更為方便，本文將首先推導結構無阻尼受白噪聲激勵下的最優參數的解析式，同時令其與有阻尼情況的數值最優參數作對比，最后將其應用到多自由度隔震結構，并作減震效果分析，給出TID參數設計及使用的建議。

1 運動方程

慣容器可以表示成兩端具有不同加速度質量元件，如圖1(a)所示，其數學模型表示為

(1)

通常來說，慣容器作為質量元件，本身并沒有耗能功能，需與彈簧和阻尼器組合才能具備一定的減振耗能的能力。圖1(b)虛線方框的組合形式(TID)是本文所采用的減震形式，運動方程表示為

(2)

圖1 模型簡圖

Fig.1 Model sketches

表1 元件阻抗表達式

表1中，s為拉氏的復變量，需要注意的是質量元件阻抗表達式與慣容器相同。根據元件串聯導納(阻抗倒數)相加，元件并聯阻抗相加的原則，圖1(b)模型的位移總阻抗為

(3)

結合式(2)有

(4)

(5)

2 參數優化

雖然Lazar等[19]提出在簡諧激勵下采用定點理論對TID作優化分析，但優化過程中僅給出了剛度相關的最優參數，阻尼參數仍需迭代求解。本文為得到地震激勵下相對合理的最優參數解，擬采用隨機理論，獲取TID減震系統在白噪聲激勵下的最優參數；考慮到主結構阻尼的存在難以得到最優解析解，在優化過程中將忽略主結構阻尼，并令式(5)中s=iω得

Hx=

(6)

假定地震激勵為平穩白噪聲過程，其雙邊譜密度值為S0，結構位移響應方差表示為

(7)

式(7)為廣義積分，難以直接積分求解，但形如式(7)的廣義積分可采用James積分公式[20]進行求解，如

(8)

(9)

(10)

(11)

同樣的可以得到有阻尼情況的下的位移方差如式(11)所示，由于考慮阻尼無法得到最優參數解析式，在獲取過程中仍然采用無阻尼位移方差式(10)。令式(10)對相應參數的導數為0，即

(12)

但簡化后得相對簡單的最優剛度及阻尼參數，如

(13)

(14)

式(13)與式(14)適用于單自由度系統。利用式(13)與式(14)可得到主結構無阻尼的最小位移方差

(15)

3 參數分析

為了說明TID減震效果及最優參數在有阻尼情況下的適用性，取主結構質量為1，周期為2.5 s，阻尼比為0.02的單自由度結構，作出考慮結構阻尼的最優參數下的三維圖如圖2所示。從圖中參數曲面容易發現，隨著質量比的增加，無論是最優阻尼參數還是最優剛度參數均呈增大趨勢，且最優參數下的位移方差值逐漸減小，減震曲面更加平緩即表明TID魯棒性更好。質量比為0.02，0.05，0.10，利用式(13)與式(14)得到主結構無阻尼的TID最優阻尼參數分別為0.007 0，0.026 6，0.071 4而考慮阻尼的TID最優阻尼參數(如圖2取極值點)0.007 0，0.027 0，0.071 0；主結構無阻尼的TID最優剛度參數：0.122 6，0.293 6，0.548 1及考慮阻尼的TID最優剛度參數(如圖2取極值點)0.122 0，0.292 5，0.545 0。對比這些數據發現，雖然主結構存在阻尼比0.02，但總體上不考慮主結構阻尼的最優參數解析式與考慮阻尼的數值最優參數是十分接近的。為了了解主結構為其它阻尼比時的最優參數情況，可先進行考慮結構阻尼比最優參數數值解與不考慮結構阻尼比解析解比較，如圖3所示。

(a) ub=0.02

(b) ub=0.05

(c) ub=0.1

(a) 最優阻尼參數

(b) 最優剛度參數

為了進一步分析最優參數解析解的準確性和相應的減震情況，圖4繪出了位移方差隨主結構阻尼比變化情況，圖4中：Isolation為原結構位移方差；Isolation-TID(damper)為原結構附加TID且取最優參數解析值(不考慮主結構阻尼得到)的方差，Isolation-TID(undamper)為原結構無阻尼時附加TID且取最優參數解析值的方差，optimum-Isolation-TID(undamper)為原結構附加TID且取最優參數為數值解(考慮主結構阻尼得到)的方差。

(a) ub=0.02

(b) ub=0.05

(c) ub=0.10

4 多自由度結構的減震效果分析

TID減震效果的發揮與其相連兩端響應有關，對于規則均一的多自由度結構，Lazar等指出，TID在底層可以獲得最好的減震效果，鑒于此，在本節中將對結構底層附加TID的普通多自由度結構進行分析，并重點分析附加TID隔震結構減震效果。

4.1 多自由度結構TID最優參數

安裝TID的多自由度結構如圖5，運動方程為

(16)

式中：Γ0=[1,0,…,0]T為TID按安裝的指示向量；TID其余參數含義同式(2)。{x}=[x1,x2,…,xn]T為主結構響應量；I=[1,1,…,1]T單位量；M=diag([m1,m2,…mn])為主結構的質量矩陣，其相應的剛度矩陣

圖5 底部安裝TID多自由結構

阻尼矩陣C按瑞雷阻尼選取?？紤]到普通結構一階振型起主要控制作用，本文取一階振型來推導多自由度結構的TID最優參數。令{x}={φ1}q，其中{φ1}為一階振型，q為廣義位移，代入式(16)，并忽略主結構阻尼影響，易得傳遞函數

(17)

類似于單自由度結構的推導，地震激勵為平穩白噪聲過程，雙邊譜密度值為S0，其相應廣義位移方差為

(18)

(19)

(20)

利用式(19)與式(20)即可得到主結構無阻尼的最小位移方差

(21)

若只考慮一階振型，主結構無阻尼時頂層位移方差為

(22)

4.2 隔震結構TID分析

安裝TID的隔震結構如圖6所示，其運動方程為類似于式(16)?？紤]到本文的結構模型為非經典阻尼體系，不適合采用振型疊加法，建議采用復模態法計算，令

(23)

圖6 隔震TID多自由結構

那么特征矢量方程表達為

[Meλ+Ke]Φ=0

(24)

(25)

(26)

(27)

相應地結構響應均方差為

(28)

同樣地，絕對加速度方方差也可求得。

某10層建筑結構，阻尼比0.05，無控時采用瑞雷阻尼計算。每層質量為1.0×106kg，層剛度為2.5×109N/m，基本周期為0.841 s。若采用隔震控制方案，其中隔震層質量為1.2×106kg，隔震層剛度為7.075×107，隔震層及以上簡化為單質點的隔震周期為2.5 s：① 純隔震方案(Isolation)，隔震層阻尼比為0.15；② 隔震TID方案(Isolation-TID)，隔震層阻尼比為0.1，按隔

(a) 頂層位移功率譜

(b) 頂層絕對加速度功率譜

震后控制一階振型進行TID設計；③ 隔震頂層TMD方案(Isolation-TMD)，隔震層阻尼比為0.1，按隔震后控制一階振型進行TMD設計。隨機分析時利用文獻[21]的數據，譜密度S0=4.65×10-4m2/rad·s3，其余參數為ωg=15.0 rad/s，ξg=0.6，ωk=1.5 rad/s，ξk=0.6。仿真分析選擇兩條地震波：El Centro地震波及Taft地震波，按8度基本設防烈度設計，取加速度幅值為0.2g。其中輸入隨機地震功率譜模型為

假定TID與TMD的質量比都為0.1。由圖7繪出的結構響應功率譜易知，對于上述三種控制方案，無論是頂層位移還是頂層絕對加速度，相應的高頻處都有不同程度的減小，但在低頻區域都有放大作用，特別是位移的放大較為明顯，這與隔震層剛度變小有關。相對于純隔震結構，安裝有TID與TMD的頂層絕對加速度反應在隔震后的基頻附近的峰值削弱明顯；對位移的作用在基頻率附近也比較明顯，但左側附近有略有放大，不過最大峰值小于未控，產生這種情況與所采用優化目標、激勵形式等有關。從方差的角度看，如表2所示，盡管Isolation-TID與Isolation-TMD隔震層阻尼比為0.1，但其減震效果仍然比純隔震(Isolation阻尼比為0.15)效果好；Isolation-TID對頂層位移和隔震層位移方差的控制效果好于Isolation-TMD，但其對頂層絕對加速度控制效果略差些；由于隔震結構隔震層系數γ較大，同質量比的TID與TMD可獲得相近的減震效果，但對于普通結構TID效果仍不及TMD。

表2 響應方差對比

圖8與圖9給出了El Centro與Taft波作用下的結構最大響應與阻尼比的關系，這里的質量均為0.1，所有有控結構隔震層阻尼從0.01～0.15變化。在El Centro地震波作用下，相對于無控結構，Isolation，Isolation-TID與Isolation-TMD頂層絕對加速度得到了很好的控制，但其頂層位移均大于無控制結構，不過隨著阻尼比的增大逐漸趨近于無控制結構。值得注意的，相同阻尼比情況下，Isolation-TID與Isolation-TMD的頂層位移相比Isolation減小較多，但隨著阻尼比增大這種效果會變差，另外對于頂層絕對加速度也有類似現象，而且Isolation-TID效果略差于Isolation-TMD。

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對加速度

在Taft地震波作用下，相對于無控結構，有控結構的頂層絕對加速度得到了很好的控制，而在頂層位移的控制上，Isolation在隔震層阻尼比大于0.08時才出現小于未控的現象，而Isolation-TID與Isolation-TMD均小于未控的頂層位移。類似于El Centro地震波作用，相同阻尼比下Isolation-TID與Isolation-TMD的頂層位移相比Isolation減小較多，隨著阻尼比增大這種效果也會變差，頂層絕對加速度方面也相似；總體而言Isolation-TID效果略微好于Isolation-TMD。以上地震激勵的響應分析再次表明，同樣條件下安裝有TID或TMD的隔震結構在隔震層阻尼比小，比純隔震結構的減震效果更顯著，而且在大阻尼比的情況下仍然表現更好，但這種趨勢隨著阻尼比的增大會變差；那么在實際隔震時，隔震層阻尼比不必取太大，僅需安裝相應的TID裝置即可達到相同甚至更好的減震效果。

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對加速度

Isolation-TID與Isolation-TMD質量比仍取0.1，隔震層阻尼比為0.1，Isolationd隔震層阻尼比0.15，繪出El Centro與Taft波作用下的結構時程響應如圖10與圖11所示，顯然，兩地震波作用下，Isolation-TID與Isolation-TMD對頂層位移的控制效果均好于Isolation，而頂層絕對加速度也有減震效果但相對不明顯。

對于TMD來說，安裝在頂層時，其質量通常小于5%，且安裝所需的要求較高。同樣質量比的情況下，TID減震效果略差于TMD，但考慮到TID具有質量放大效應(TID中的慣容器的放大質量可實現是實際的物理質量的幾百倍)，可以彌補甚至超過TMD減震效果；另外，TID可以制造成類似于黏滯阻尼器的桿狀型結構，相對輕巧，安裝也較為方便，而且在底層就能夠發揮較好的減震效果，可見TID的綜合優勢是十分明顯的。雖然以上分析采用隔震結構作為研究對象，但普通結構在底層或其他樓層安裝TID仍然可以發揮良好的減震效果，其分析和設計方法與此類似。

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對加速度

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對加速度

5 結 論

本文利用慣容器對結構進行減震控制，推導了安裝TID的單自由度結構在白噪聲激勵下的最優阻尼參數和剛度參數解析式，并給出了其相應的減震效果分析以及在多自由度結構中的應用，仿真分析表明：

(1) 最優參數解析式在結構考慮阻尼的情況下仍然有較高的精確性，特別是阻尼比在0.15內誤差較小，而且最優阻尼參數相比于最優剛度參數更精確。

(2) 結構自身的阻尼比較小時，TID的減震效果比較好，結構自身阻尼比增大其減震效果變差，但在較大質量比時效果會有改善。建議阻尼比相對小時使用TID，或取較大的質量比。

(3) 隨機地震激勵下，即使隔震層阻尼比小于普通隔震的阻尼比，安裝有TID或TMD的結構仍具有更好的減震效果，并且在同等阻尼比下，其減震效果更加明顯；另外TID具有質量放大效應，安裝方便，占據空間小，綜合優勢比TMD更為顯著。