兩端固支屈曲梁準零剛度隔振器的微振動隔振性能分析

王云峰， 李 博， 王利桐

(天津航天機電設備研究所 天津市微低重力環境模擬技術重點實驗室，天津 300458)

航天器微振動通常是指在空間微低重力環境下由航天器上活動部件工作產生的一種幅值較低(微米級)、帶寬位于1～1 kHz的振動或擾動[1]。產生微振動的活動部件有控制力矩陀螺(Control Moment Gyro, CMG)、太陽翼驅動機構(Solar Array Drive Assembly Mechanism, SADAM)以及動量輪(Momentum Wheel Assembly, MWA)等[2]，由于空間環境阻尼較小，整星抖動會長時間持續存在，影響相機等高精度敏感設備正常工作。因此，減少微振動向相機有效載荷的傳遞，對提高相機成像質量具有重要意義。

準零剛度系統一般是通過正剛度和負剛度系統并聯來實現，典型的準零剛度系統結構型式是使用線性豎向彈簧和斜向彈簧并聯[5-9]，其他實現準零剛度的途徑還有：利用空氣彈簧[10]、碟形彈簧[11]、凸輪-彈簧機構[12]、電磁鐵[13]、歐拉屈曲梁等。其中歐拉屈曲梁準零剛度系統通過使用歐拉屈曲梁提供負剛度，與正剛度彈簧并聯，具有較好的低頻隔振性能。

文獻[14]中屈曲梁兩端通過鉸接與負載和基座相連，由于鉸接中存在間隙，不利于微振動隔振[15]，Platus[16]利用兩端固支屈曲梁建立豎向準零剛度隔振系統，有效避免鉸接間隙的影響，但未對固支屈曲梁結構參數對隔振性能的影響展開深入分析。Benjamin等[17]將兩端固支屈曲梁準零剛度隔振器用于振動和沖擊隔離研究，取得明顯的隔振和隔沖效果，但文中屈曲梁負剛度中忽略了高階項的影響，并且未從理論上對系統的整體動力學特性進行分析。

本文以微振動隔振為目標，研究使用兩端固支屈曲梁準零剛度隔振系統進行微振動隔振，首先分析兩端固支屈曲梁負剛度的產生機理，其次，通過理論計算，分析屈曲梁和線性彈簧并聯的準零剛度特性，考慮不同阻尼和擾動幅值系統傳遞率的影響，最后，通過仿真對系統的隔振性能進行了驗證。

1 兩端固支屈曲梁負剛度模型

預壓梁結構屈曲形式包括線性屈曲和非線性屈曲兩種，在橫向大位移、大變形條件下，梁結構在兩個穩態之間跳轉會發生非線性屈曲，表現出復雜的動力學行為[18]。在橫向小位移條件下，梁結構在兩個穩態之間的跳轉可近似為一階模態屈曲，在橫向力作用下，屈曲梁的跳轉過程如圖1所示。

圖1 橫向力作用下屈曲梁一階模態跳轉

如圖2所示，為得到屈曲梁的負剛度模型，令兩端固支梁的右固定端從位置a移到位置b，在軸向產生預緊力P，在x方向產生位移ux。在梁中點處施加一個y向力F，中心位置在y向產生位移uy。

圖2 預壓屈曲梁受力簡圖

變形后梁的撓曲線滿足兩端固支梁的一階模態振型

(1)

則屈曲梁撓曲線的長為[19]

(2)

令梁原長為l0，即l0=lc+ux，則梁軸向壓縮產生的勢能為

(3)

梁彎曲變形產生的勢能為

(4)

梁變形產生的全部勢能與施加的力F之間滿足

(5)

得到系統剛度為

(6)

梁的軸向剛度為

(7)

(8)

(9)

圖3 不同值對應屈曲梁剛度值曲線

在豎向并聯一個剛度為k1的線性彈簧后，如圖4所示，豎向力與梁中點位移變為

(10)

對uy求導并無量綱化處理后，得到剛度為

(11)

(12)

圖4 屈曲梁-彈簧系統結構圖

2 屈曲梁準零剛度系統動力學模型

為實現超低頻隔振的目的，將屈曲梁負剛度系統與具有正剛度的線性彈簧并聯，構建準零剛度隔振系統，其結構原理圖如圖6所示。

圖6中，線性彈簧剛度為k，系統阻尼系數為c，基礎產生的位移激勵為uh，質量為m的負載產生的位移為uy，令y=uy-uh為負載相對基礎的位移，其中，uh=Hsin(ωt)，利用拉格朗日方法建立系統的動力學模型。

線性彈簧的壓縮勢能為

(13)

質量塊的動能為

(14)

得到拉格朗日函數

L=T-Uc-Ub-Uk

(15)

計算得到無量綱化的系統動力學模型為

(16)

(a) 不同值對應屈曲梁-線性彈簧剛度值曲線

(b)不同值對應屈曲梁-線性彈簧剛度值曲線

圖6 屈曲梁-彈簧準零剛度隔振系統

利用諧波平衡法求解系統的響應，假設式(16)的解為

(17)

將式(17)代入式(16)中，并令方程兩邊的諧波項系數相等，可得

(18)

(19)

(20)

由式(19)計算得到響應幅值后，利用式(18)可求得系統絕對位移傳遞率為

(21)

(22)

則系統響應有界必須滿足

(23)

圖7 不同阻尼下系統響應

當阻尼大于臨界阻尼時，令ξ分別取0.203，0.208，0.211和0.206，得到位移傳遞率如圖8所示。可見阻尼比ξ=0.203時傳遞率曲線較大程度上向右彎曲，表明響應衰減效果較差，系統不穩定區間較大，對系統隔振不利；隨著阻尼比的增加，傳遞率曲線的共振峰明顯減小，同時向下跳躍頻率左移，減小了系統的不穩定區間，ξ=0.216時傳遞率曲線的不穩定區間消失，傳遞率的共振峰值進一步降低。可見，適度增加阻尼比對改善系統不穩定區間和降低傳遞率峰值具有積極的作用。

圖8 不同阻尼對應的位移傳遞率

圖9 不同激勵幅值對應的位移傳遞率

3 隔振系統仿真

在前文屈曲梁隔振準零剛度系統性能分析的基礎上，為綜合驗證系統的隔振能力，在SIMULINK環境下對該系統進行仿真。仿真模型中參數設置如表1所示。

表1 仿真模型參數

SIMULINK模型結構如圖10所示。為得到基礎擾動的正弦掃頻信號，在Matlab工作空間中生成0～10 Hz幅值為0.5 mm的正弦掃頻信號，并對其求微分，得到的的數據被模型中Input_vel模塊從工作空間導入用作地基速度擾動信號，在模型中積分后即為基礎的位移擾動。其中設置采樣間隔0.01 s，采樣時間為500 s。

圖10 SIMULINK仿真模型

仿真得到的基礎擾動與負載位移響應，取前100 s數據對比如圖11(a)所示，可見在掃頻起始階段響應信號有較大的幅值，隨頻率的增加響應的幅值逐漸減小，隔振效果明顯。

由仿真結果可知，屈曲梁準零剛度隔振系統對擾動具有明顯的抑制作用，與線性系統相比尤其對低頻、超低頻的擾動具有良好的隔振效果。

(a) 時域響應-擾動對比

(b) 線性系統與準零剛度系統傳遞率曲線對比

4 結 論

本文以星上微振動隔離為目標，分析了兩端固支屈曲梁準零剛度隔振系統的動力學特性。推導得出了屈曲梁系統的負剛度產生機理，得到了屈曲梁正負剛度并聯系統在靜平衡位置的零剛度條件，并利用諧波平衡法得到兩端固支屈曲梁準零剛度隔振系統的位移響應、傳遞率與擾動頻率之間的關系，最后通過仿真對隔振系統的性能進行了驗證。結果表明，在高頻段兩種隔振系統都能夠得到較好的隔振效果；在線性系統固有頻率位置，線性隔振系統出現位移放大(傳遞率大于1)，而準零剛度隔振系統在此位置隔振效率達到-30 dB；在低頻和超低頻段，屈曲梁準零剛度系統的隔振性能明顯優于線性系統。

本文對兩端固支屈曲梁隔振器進行了理論和仿真分析，在此基礎上，接下來的工作需要通過實驗對其動力學特征和隔振性能作進一步分析和驗證，以推進其工程應用。