基于概率密度演化法的隔震結構隨機地震響應與可靠度分析

顧鎮媛， 王曙光， 杜東升， 劉偉慶

(1.南通大學 建筑工程學院，江蘇 南通 226019；2.南京工業大學 土木工程學院，南京 211816)

在實際工程中，地震動激勵具有很強的隨機性，結構輸入的隨機必然導致響應的隨機。在計算與分析過程中，隔震結構在隨機強震作用下的非線性受力狀態是不可忽略的，有必要對其隨機動力響應和動力可靠度進行全面的了解和掌握[1]。

李杰等[2-3]以概率守恒原理的隨機事件描述與解耦的物理方程為基礎，建立了廣義概率密度演化方程，逐步發展并完善概率密度演化分析的理論。廣義和經典的概率密度演化方程對于線性與非線性結構的分析均適用，同時廣義概率密度演化方程從隨機動力系統的物理本質出發，解決了經典概率密度演化方程維數多、難解耦、難求解等問題，為非線性結構的隨機振動分析做出了重大的貢獻。因此，采用廣義概率密度演化方程對隔震結構這一強非線性的系統進行隨機地震響應分析，為隔震結構的隨機振動研究與精細化分析提供了新的思路。在結構可靠度[4-6]的計算過程中，應用最為廣泛的是基于跨越過程理論的方法。但由于要對跨越事件的性質進行假定，使得基于跨越過程理論計算的結構動力可靠度的分析精度又難以確保。Chen等[7-8]在概率密度演化理論的基礎上，施加吸收邊界條件，提出了結構隨機響應的動力可靠度分析的方法，即在得到反應量的極大值分布之后，在給定的安全區域內直接積分得到隔震結構響應極值的概率分布函數，通過響應限值，在概率分布函數曲線上獲得隔震結構的動力可靠度。

本文將隔震結構簡化為兩質點計算模型，運用Bouc-Wen模型[9]和剛度退化的Bouc-Wen模型分別描述隔震層與上部樓層的滯變特性，建立結構隨機響應的概率密度演化方程。以8 度設防烈度的隔震結構為例，充分考慮地震動的隨機特征，采用基于物理的工程場地地震動模型合成人工地震動，研究結構參數的隨機性對隨機地震激勵下結構位移響應與可靠度分布的影響。

1 隔震結構力學模型

光滑滯變恢復力過程可以用微分方程來描述，其中Bouc-Wen模型的表達式為

(1)

式中:A為控制滯變位移z初始剛度的參數；β,γ為控制滯變曲線豐滿程度的參數；n為控制骨架曲線的參數。

剛度退化的Bouc-Wen模型為

(2)

式中:δν和δη分別為控制強度、剛度退化的非負常數;δA為控制強度、剛度同時退化的非負常數;α為第二剛度系數;k為初始彈性剛度。

隔震結構隔震層與上部結構的滯變特性可以采用上述Bouc-Wen模型和剛度退化的Bouc-Wen模型來分別模擬，且其運動方程為

(3)

在狀態空間中，隔震結構的運動方程可寫成為

(4)

式中：向量{X(t)}與向量{E}分別為

(5)

由于隔震層與上部結構的滯變恢復力模型不同，矩陣f[X(t)]分別對應

f[X(t)]=

(6)

f[X(t)]=

(7)

狀態方程式(4)是一階常微分方程，可以運用四階龍格庫塔方法迭代求解隔震結構的響應。

對于高寬比較小、布置規則對稱的隔震結構，其上部結構受高階振型影響較小，在地震作用下性態表現以水平平動振型為主，故可將隔震結構簡化為上部結構與隔震層串聯而成的兩質點計算模型[10]，如圖1所示。

圖1 隔震結構的兩質點計算模型

Fig.1 The two masses calculating model of the isolated structure

圖1中:Mb和Ms,Kb和Ks,Cb和Cs分別為隔震層與上部結構的等效質量、等效水平剛度與等效阻尼;xb和xs分別為隔震層與上部結構的相對層間位移。隔震結構上部的等效質量Ms和等效水平剛度Ks可表示為

(8)

式中：假設上部結構的基本振型φ1i和自振周期T1均已求得，mi為各樓層質量；ki為各樓層水平剛度。

2 概率密度演化方程與可靠度理論

對應于n個自由度的隔震結構，其隨機動力系統可表示為

式中：X為系統的層間位移響應指標；Θ為隨機變量系統，記(X,Θ)的聯合概率密度函數為pXΘ(x,θ,t)，根據概率守恒原理

(10)

求解式(10)并積分即可給出X的概率密度函數

(11)

式中：ΩΘ為Θ的分布區域。

根據首次超越破壞準則，結構的動力可靠度可以表示為隨機事件的概率P{·}

R=P{X(τ)∈Ωs,τ∈[0,T]}

(12)

式中：Ωs為安全區域。如果是對稱的雙邊安全界限，式(12)可改寫成

R=P{Xa≤xb}

(13)

式中：xb為界限值，而Xa定義為結構動力系統響應絕對值|X(τ)|在區間[0,T]內的最大值

(14)

若已知Xa的概率密度函數pXa(xa)，可得到結構的動力可靠度

(15)

構造一個τ虛擬時間參數的虛擬隨機過程Z(τ)，顯然，Xa為Z(τ)在τ=1時的截口隨機變量，即

Xa=Z(τ)·τ=W(Θ,T)·τ=Z(τ)|τ=1

(16)

則(Z,Θ)的聯合概率密度函數pZΘ(z,θ,τ)滿足概率密度演化方程

(17)

對應的初始條件為

pZΘ(z,θ,τ)|τ=0=δ(z)pΘ(θ)

(18)

求解偏微分方程式(17)與式(18)，可以給出聯合概率密度函數pZΘ(z,θ,τ)，進而給出Z(τ)的概率密度函數

(19)

由式(12)可知

pXa(xa)=pZ(z,τ)|z=xa,τ=1

(20)

將式(19)代入式(15)，即可求出隔震結構的可靠度

(21)

隔震結構的各層間位移按照結構失效模式間的邏輯關系，可視為串聯結構關系，假定層間位移失效非關聯，可得到隔震結構的體系可靠度為

PS=Pu·Pb

(22)

(23)

式中：PS為隔震結構的體系可靠度；Pu為上部結構的可靠度；Pb為隔震層的可靠度；Pj為結構第j樓層的可靠度。

3 兩質點模型參數化分析

以隔震結構兩質點模型為例，隔震層的質量Mb與剛度Kb分別為330×103kg和30×103kN/m；上部結構的質量Ms和剛度Ks分別為2 480×103kg和425×103kN/m。考慮地震動的隨機性，選取基底輸入傅式譜值Sg、場地圓頻率ω0以及場地等價阻尼比ξg作為隨機變量，三個參數都服從對數正態分布，其均值(μ)與變異系數(υ)信息[11]見表1。

表1隨機地震動模型參數的均值與變異系數

Tab.1Theparametersofmeanandvariationcoefficientofrandomseismicmodel

場地類別ⅠⅡⅢⅣμυμυμυμυSg0.220.500.250.500.290.500.350.50ω0180.40150.40120.4290.42ξg0.650.300.700.300.800.350.850.35

采用數論選點方法[12]選取202個離散代表點，并根據基于物理的工程場地地震動模型[13]和基于Fourier譜的地震動合成方法[14]，合成202條人工地震動。考慮隨機地震動非平穩特性，均勻的調制函數可采用

(24)

式中:t1=0.8 s;t2=20 s;c=0.35 s-1。

根據Baber等對隔震結構兩質點模型的恢復力模型參數取值，Bouc-Wen模型：A=n=1，β=γ=0.5，αb=0.1；考慮剛度退化的Bouc-Wen模型：A=n=1，β=γ=0.5，δA=δυ=0，δη=0.2，α=0.4。

假定抗震設防烈度為8度(0.40g)，場地土為Ⅱ類，利用上述生成的202條合成地震波，利用概率密度演化方法(Probability Density Evolution Method,PDEM)和Monte Carlo方法(MCM)對隔震結構簡化兩質點模型進行8度罕遇地震下的響應分析。圖2和圖3分別為隔震層和上部結構位移的均值(Mean)、方差(Std. D)曲線。從圖中可以看出采用概率密度演化方法求得的隔震結構響應的均值和方差與采用Monte Carlo方法求得的結果非常接近，說明采用概率密度演化方法是合理的。

圖2 隔震層位移均值

圖3 上部結構位移均值

Fig.3 The mean and standard deviation of the superstructure’s displacement

選取場地條件、隔震層的阻尼比ξ，隔震前后的周期比η=Ts/TIS和隔震層屈服力與上部結構總重力的比值屈重比ζ為分析參數(四個參數)，研究抗震設防烈度為8度(0.30g)時結構設計參數隨機性對結構位移響應與可靠度的影響。表2為隔震結構兩質點模型的參數變化范圍。

不同的場地條件對地震動的傳播有放大或縮小的影響，從而影響隔震結構的隨機地震響應。在場地條件變化過程中，其他設計參數保持不變(阻尼比取15%、周期比取0.30、屈重比取3%)。運用概率密度演化理論計算隔震結構兩質點模型的層間位移響應與可靠度。圖4～圖7給出了不同場地條件下，隔震層與上部結構層間位移響應極值的概率密度函數(Probability Density Function,PDF)曲線與概率分布函數(Cumulative Distribution Function,CDF)曲線。

表2 隔震結構參數變化范圍

從圖4和圖6可以看到，Ⅰ類場地條件下，結構層間位移極值的概率密度集中在較小的位移范圍內，隔震層與上部結構層間位移極值分別在159 mm與4.32 mm處的概率最大；Ⅳ類場地條件下，隔震層與上部結構的位移極值分別在241 mm與6.44 mm處的概率最大，其概率密度分布在較廣的位移范圍內。說明隨著場地土變軟，隔震層與上部結構層間位移極值的概率密度分布范圍變廣，出現較大位移的概率增大。從圖5和圖7可看出，Ⅰ類場地下，隔震層與上部結構位移極值的概率分布函數在較小的位移處便達到1.0，而相比之下Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ類場地相應的位移明顯增大。

圖4 不同場地下隔震層位移極值概率密度

Fig.4 Probability densities of isolation story displacement extreme under different sites

圖5 不同場地下隔震層位移極值概率分布

Fig.5 Probability distributions of isolation story displacement extreme under different sites

圖6 不同場地下上部樓層位移極值概率密度

Fig.6 Probability densities of superstructure displacement extreme under different sites

圖7 不同場地上部層位移極值概率分布

Fig.7 Probability distributions of superstructure displacement extreme under different sites

隔震層與上部結構的位移角限值分別取1/550與0.55Dmin，則隔震層位移限值為412.5 mm，上部結構位移限值為20 mm。表3為不同場地下隔震結構的體系可靠度。可以看出，隔震結構在Ⅰ類場地條件下的體系可靠度最高，為0.982 3；在Ⅳ類場地條件下的體系可靠度最低，為0.750 3。

隔震層阻尼比ξ的變化對隔震結構的位移響應有顯著響應。屈重比取3%、周期比取0.30，基于Ⅱ類場地合成8度罕遇人工地震動，ξ的變化范圍為5%～25%。圖8～圖11給出了不同隔震層阻尼比ξ下，隔震層與上部結構的層間位移響應極值的概率密度曲線與概率分布曲線。

表3不同場地條件下的隔震結構體系可靠度(ξ=15%,η=0.30,ζ=3%)

Tab.3 System reliability of the isolated model under

圖8 不同阻尼比隔震層位移極值概率密度

Fig.8 Probability densities of isolation story displacement extreme with variedξ

圖9 不同阻尼比隔震層位移極值概率分布

Fig.9 Probability distributions of isolation story displacement extreme with variedξ

圖10 不同阻尼比上部樓層位移極值概率密度

Fig.10 Probability densities of superstructure displacement extreme with variedξ

圖11 不同阻尼比上部樓層位移極值概率分布

Fig.11 Probability distributions of superstructure displacement extreme with variedξ

從圖8和圖10可以看出，在隔震層阻尼比ξ的變化過程中，當ξ為5%時在220.5 mm處的概率最大；當ξ為25%時在163.7 mm處的概率最大；且隨著ξ增大，隔震層層間位移極值的概率密度分布范圍變窄內，即出現較大位移的概率逐漸減小。上部結構層間位移極值的概率密度分布范圍隨ξ的增大而變小，但當ξ為5%時在4.50 mm處概率最大，而當ξ為25%時在5.48 mm處概率最大。

從圖9和圖11可以看出，隔震層層間位移極值的概率分布函數隨著ξ的變大越來越偏于安全。上部結構層間位移極值的概率分布函數的變化則較為復雜，在產生較小位移時，ξ越小對應位移的可靠度越高；在產生較大位移時，ξ越大對應位移的可靠度越高。

表4為不同隔震層阻尼比ξ下隔震結構的體系可靠度。當ξ為5%時，隔震結構的體系可靠度最低為

0.891 5，當ξ為25%時，隔震結構的體系可靠度最高為0.984 4。說明增大隔震層阻尼比ξ能顯著控制隔震層層間位移的極值，并且提高隔震結構的體系可靠度，但一味地增大ξ并不經濟，且有可能會使上部結構的可靠度降低。

表4不同阻尼比ξ的隔震結構體系可靠度

Tab.4Systemreliabilityoftheisolatedmodelwithvariedξ

可靠度5%10%15%20%25%隔震層0.893 30.940 20.967 40.978 50.984 4上部結構0.998 00.999 9111體系可靠度0.891 50.940 20.967 40.978 50.984 4

在研究隔震前后等效周期比η的變化對隔震結構位移響應的影響時，其他設計參數保持不變(屈重比取3%、阻尼比取15%，Ⅱ類場地)，η的變化范圍為0.25～0.45。圖12～圖15給出了不同隔震前后周期比η下，隔震層與上部結構的層間位移響應極值的概率密度曲線與概率分布曲線。

圖12 不同周期比隔震層位移極值概率密度

Fig.12 Probability densities of isolation story displacement extreme with variedη

圖13 不同周期比隔震層位移極值概率分布

Fig.13 Probability distributions of isolation story displacement extreme with variedη

圖14 不同周期比上部樓層位移極值概率密度

Fig.14 Probability densities of superstructure displacement extreme with variedη

圖15 不同周期比上部樓層位移極值概率分布

Fig.15 Probability distributions of superstructure displacement extreme with variedη

從圖12和圖14可以看到，在隔震前后周期比η的變化過程中，當η為0.25時，隔震層層間位移極值的概率密度分布在較廣的范圍內，出現較大位移的概率增大且在178.7 mm處的概率最大；當ξ為0.45時，隔震層層間位移極值的概率密度分布在較小的范圍內，出現較大位移的概率減小且在101.2 mm處的概率最大。上部結構層間位移極值的概率密度分布隨η的變化規律與隔震層剛好相反：當η為0.45時，上部結構層間位移極值的概率密度分布最廣，且在13.5 mm處概率最大；而當η為0.25時，上部結構層間位移極值的概率密度分布范圍減小，但在4.71 mm處概率最大。

從圖13和圖15可以看到，隔震層層間位移極值的概率分布函數隨著η的變大越來越偏于安全。上部結構層間位移極值的概率分布函數的變化規律則與隔震層剛好相反，η越小對應位移的可靠度越高。

表5為隔震前后周期比η下隔震結構的體系可靠度。顯然，隔震層與上部結構可靠度變化規律相反。當η為0.35時，隔震結構體系可靠度最高為0.990 3。

隔震層屈重比ζ在隔震結構的設計中也是一個關鍵參數，其變化對隔震結構的位移響應規律尚不了解。在研究過程中，其他設計參數保持不變(周期比取0.30、阻尼比取15%，Ⅱ類場地)。由于上部結構重量不變，通過改變隔震層的屈服力來改變ζ的取值范圍。ζ的變化范圍取為1%～5%。圖16～圖19給出了不同屈重比ζ的變化情況下，隔震層與上部結構的層間位移響應極值的概率密度曲線與概率分布曲線。

表5不同周期比η的隔震結構體系可靠度

Tab.5Systemreliabilityoftheisolatedmodelwithvariedη

可靠度25%30%35%40%45%隔震層0.967 40.990 10.997 30.998 80.999 7上部結構10.999 60.992 90.969 50.869 6體系可靠度0.967 40.989 70.990 30.968 30.869 3

圖16 不同屈重比隔震層位移極值概率密度

Fig.16 Probability densities of isolation story displacement extreme with variedζ

圖17 不同屈重比隔震層位移極值概率分布

Fig.17 Probability distributions of isolation story displacement extreme with variedζ

圖18 不同屈重比上部樓層位移極值概率密度

Fig.18 Probability densities of superstructure displacement extreme with variedζ

圖19 不同屈重比上部樓層位移極值概率分布

Fig.19 Probability distributions of superstructure displacement extreme with variedζ

從圖16和圖18可以看出，當ζ為1%時，隔震層層間位移極值的概率密度分布在較廣的范圍內，出現較大位移的概率增大且在231.9 mm處的概率最大；當ξ為5%時，隔震層層間位移極值的概率密度分布在較小的范圍內，出現較大位移的概率減小且在139.9 mm處的概率最大。上部結構層間位移極值的概率密度分布范圍隨ζ的增大變化不大，當ζ為1%時，上部結構層間位移極值的概率密度分布范圍在較小位移區域，且在4.91 mm處概率最大；而當ζ為5%時，上部結構層間位移極值的概率密度分布范圍在較大位移區域，在6.74 mm處概率最大。

從圖17和圖19可以看到，隔震層層間位移極值的概率分布函數隨著ζ的變大越來越偏于安全。上部結構層間位移極值的概率分布函數的變化規律則與隔震層剛好相反，ζ越小對應位移的可靠度越高。

表6為隔震結構屈重比ζ下隔震結構的體系可靠度。由于上部結構的位移限值較大，而其概率分布變化在較小的位移區域內，所以上部結構的可靠度接近于1.0。當η為5%時，隔震結構體系可靠度最高為0.990 9。

表6不同屈重比ζ的隔震結構體系可靠度

Tab.6Systemreliabilityoftheisolatedmodelwithvariedζ

可靠度1%2%3%4%5%隔震層0.918 30.967 40.978 70.985 20.990 9上部結構11111體系可靠度0.918 30.967 40.978 70.985 20.990 9

4 結 論

本文在概率密度演化理論的基礎上，通過積分得到隔震結構各層層間位移極值的概率分布函數，基于極值分布理論計算了結構的動力可靠度，研究了隔震結構在場地條件、隔震層的阻尼比ξ，隔震前后的周期比η和屈重比ζ這四個不同設計參數下的層間位移響應極值的概率分布規律與整體可靠度，主要得出以下結論：

(1) 盡管輸入地震動峰值相同，但其的頻譜成分對隔震結構的地震響應影響很大。Ⅰ類場地條件下生成的地震動高頻成分較多，隔震層與上部結構層間位移的概率密度分布在較小的位移區域內；隨著土體變軟，生成的地震動長周期成分較多，隔震層與上部結構層間位移極值的概率密度分布在越廣的位移范圍內，出現較大位移的概率增大，其相應的體系可靠度也降低(Ⅳ類場條件下最低)。

(2) 隨著隔震層阻尼比的增大，隔震結構體系可靠度提高，但一味地增大隔震層阻尼比并不經濟，且有可能降低上部結構的可靠度，因此隔震層阻尼比取15%～20%較為合理。

(3) 隔震層層間位移極值的概率分布函數隨著周期比的變大越來越偏于安全，上部結構相應的變化規律則與隔震層剛好相反，周期比越小對應位移的可靠度越高，隔震結構周期比小于0.4時，上部結構位移響應在可控范圍內，隔震結構具有較高的體系可靠度，且周期比在0.30～0.35時隔震結構體系可靠度最高。

(4) 屈重比的增大提高了隔震結構的耗能能力，隨著屈重比的變大，隔震層的可靠度水平在增加。而對上部結構而言，屈重比越小對應位移的可靠度越高。

(5) 基于概率密度演化理論分析隔震結構動力可靠度的方法，可以獲得充分的概率信息，是隔震結構可靠度分析的一種精細化的有效途徑。