深水吊纜非線性垂向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)分析

，，

(重慶交通大學(xué) 航運(yùn)與船舶工程學(xué)院，重慶 400074)

作為海洋油氣資源開發(fā)的重要前提和必要保證之一的水下安裝吊放模塊，隨著作業(yè)水深的增加和吊載質(zhì)量的不斷增大，吊纜自身彈性變形引起的伸縮不可忽視，此時(shí)的吊纜應(yīng)視為彈性體，其運(yùn)動(dòng)響應(yīng)與力學(xué)特性亦已超出線性范圍而呈現(xiàn)非線性特征[1-2]。在深水吊裝過程中，吊纜及吊載在外部擾動(dòng)作用下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值較大，運(yùn)動(dòng)規(guī)律呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性且不易把握，特別是垂向運(yùn)動(dòng)對整個(gè)吊裝過程的效率及安全性影響較大[3-4]。水下纜索的力學(xué)分析總體來講大致可分為靜力分析和動(dòng)力分析，計(jì)算方法從控制方程形式上可以分為靜力法和動(dòng)力法，從數(shù)值計(jì)算方法上可分為解析法、集中質(zhì)量法、線性有限元法和非線性有限元法、彈性波法等[5]。考慮從能量的角度出發(fā)，根據(jù)Hamilton原理對深水吊纜張力傳播特性與非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)特征進(jìn)行分析，以得到不同工況下吊纜及吊載的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)規(guī)律。

1 深水吊纜動(dòng)態(tài)模型的建立

考慮纜張力、幾何構(gòu)型等在吊纜內(nèi)部的傳播特性及吊纜的自身彈性力學(xué)性能，如圖1所示，建立弧坐標(biāo)s，吊纜一端連接母船，另一端與吊載連接，忽略其彎曲、剪切及扭轉(zhuǎn)剛度，用S0表示吊纜未被拉伸時(shí)的幾何形狀，Si表示靜態(tài)平衡位置，Sf表示吊纜動(dòng)態(tài)幾何構(gòu)型[6]。

圖1 吊纜動(dòng)態(tài)幾何構(gòu)型示意

圖1中Ri(s)和Rf(s,t)分別表示吊纜上某一點(diǎn)在靜態(tài)平衡位置和動(dòng)態(tài)曲線上的位移向量，將R(s,t)分別沿法向n、切向τ和副法向b分為3個(gè)分量R1(s,t)、R2(s,t)、R3(s,t)，可得

R(s,t)=R1(s,t)τ+R2(s,t)n+R3(s,t)b

(1)

根據(jù)Hamilton原理，認(rèn)為吊纜的總能量由其自身的應(yīng)變能、動(dòng)能、重力勢能及外力所做的功幾部分組成[7]，則

(2)

(3)

R2,t(s,t)e2+R3,t(s,t)e3

(4)

EAiε2(1+2ei)2]dsi

(5)

(6)

(7)

(8)

由此可得3個(gè)方向吊纜三維非線性運(yùn)動(dòng)方程。

切向運(yùn)動(dòng)方程為

-ρAiR1,tt=[(Pi+EAiε)(1+R1,s-κiR2)],s×

[(Pi+EAiε)(1+R1,s-κiR2)]-

κi(Pi+EAiε)(R2,s-κiR1)-

(ρ-ρw)Aiglt+F1

(9)

法向運(yùn)動(dòng)方程為

-ρAiR2,tt=[(Pi+EAiε)(U2,s-κiR1)],s-

κi(Pi+EAiε)(1+R1,s-κiR2)-

(ρ-ρw)Aigln+F2

(10)

副法向運(yùn)動(dòng)方程為

-ρAiU3,tt=[(Pi+EAiε)U3,s]+F3

(11)

僅考慮影響吊纜非線性特性的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，忽略與副法向的有關(guān)項(xiàng)，則吊纜非線性運(yùn)動(dòng)方程為

(12)

(13)

2 深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)數(shù)值求解

2.1 數(shù)值求解的有限差分法

式(12)、(13)為非線性程度較高的方程，考慮求解速度與求解規(guī)模，采用有限差分方法進(jìn)行求解較為適合。但由于通用的差分格式無法適應(yīng)非線性較高的方程，因此根據(jù)泰勒展開推導(dǎo)得到更為適用的空間差分格式[8-10]如下。

(14)

(15)

與時(shí)間相關(guān)的位移和速度的差分格式為：

式中：U、v、a分別為位移、速度和加速度；α1、α2、β1、β2為積分參數(shù)，分別取0.5、1.0、0.5、1.0。

式(16)中不同節(jié)點(diǎn)處法向和切向的加速度與吊纜非線性運(yùn)動(dòng)方程(12)和(13)中的外部力F之間的關(guān)系，通過定義離散的動(dòng)力學(xué)方程得到。

MAi+1+C|Vi|Vi+KUi=(Fexcit)i

(17)

式中：M為包括附加質(zhì)量在內(nèi)的單位長度纜索質(zhì)量；A為加速度；V為速度；U為位移；Fexcit為外部激勵(lì)。

2.2 深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)分析

2.2.1 深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)計(jì)算及驗(yàn)證

文獻(xiàn)[11]對水下吊裝系統(tǒng)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，應(yīng)用等效截?cái)嘣囼?yàn)的方法，采用縮尺比λ=4，通過改變吊纜的負(fù)載狀態(tài)模擬4 500 m和3 000 m作業(yè)水深，分析吊纜在吊纜上端激勵(lì)周期為3.0、3.5、4.0、4.5、5.0、5.5、6.0、6.5、7.0、7.5、8.0 s時(shí)纜張力的變化。

計(jì)算參數(shù)參照文獻(xiàn)[11],彈性模量E為6.0×109Pa，吊纜密度ρ為3.7 t/m3，吊纜直徑d為0.032 7 m，通過編程求解方程(12)和(13)，分別計(jì)算4 500 m和3 000 m時(shí)不同上端激勵(lì)周期時(shí)吊纜的最大張力值，與試驗(yàn)值進(jìn)行對比，計(jì)算結(jié)果見圖2、3。

圖2 3 000 m時(shí)不同激勵(lì)周期時(shí)吊纜張力值比較

圖3 4 500 m時(shí)不同激勵(lì)周期時(shí)吊纜張力值比較

由圖2、3可以看出，無論是4 500 m還是3 000 m水深，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值的變化趨勢相同，特別是在周期低于6 s時(shí)，誤差較小，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值吻合較好。當(dāng)上端激勵(lì)周期超過6 s時(shí)，2種水深情況下計(jì)算值都比試驗(yàn)值偏小，究其原因?yàn)槲墨I(xiàn)采取等效截?cái)喾椒ㄟM(jìn)行試驗(yàn)，吊纜的長度為12 m，此時(shí)吊纜仍處于線性范圍內(nèi)；但由于計(jì)算時(shí)計(jì)及了吊纜的伸縮特性，使得吊纜在上端長周期激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)滯后而引起吊纜張力的增大，因此采用本文計(jì)算方法是準(zhǔn)確可靠的，可以作為求解吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的工具。

2.2.2 深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)分析

以4 500 m纜長為例，吊纜不同位置處最大纜張力的部分計(jì)算結(jié)果見圖4，圖中T表示上端激勵(lì)的周期，橫坐標(biāo)代表吊纜長度，縱坐標(biāo)表示仿真時(shí)間，垂向坐標(biāo)表示不同時(shí)刻、不同纜長的纜張力的大小。

圖4 上端激勵(lì)周期變化時(shí)4 500 m吊纜不同位置處的纜張力

根據(jù)前述分析結(jié)果，動(dòng)態(tài)纜張力與動(dòng)態(tài)應(yīng)變呈線性關(guān)系，而線性應(yīng)變與吊纜的變形位移直接相關(guān)，因此,在計(jì)算纜張力時(shí)，當(dāng)?shù)趵|的位移為負(fù)值時(shí),認(rèn)為此時(shí)吊纜的張力為零，即纜張力不可能出現(xiàn)負(fù)值，該假設(shè)與實(shí)際情況相符。由圖4可以看出，吊纜中出現(xiàn)最大纜張力的位置不是上端激勵(lì)的直接作用點(diǎn)，即工作母船吊點(diǎn)處，而是靠近上端激勵(lì)作用點(diǎn)的位置。由圖中纜張力的變化可以看出，纜張力的傳播呈現(xiàn)明顯的波動(dòng)現(xiàn)象，隨著吊纜長度的增加，波動(dòng)的幅值逐漸減小，原因?yàn)榈趵|長度的增加使得相同上端激勵(lì)引起的線應(yīng)變逐漸減小。隨著上端激勵(lì)周期的逐漸增大，相同時(shí)間內(nèi)纜張力的波動(dòng)周期也相應(yīng)變大，纜張力為零的時(shí)間也逐漸增大，這就意味著吊纜處于松弛狀態(tài)的時(shí)間也逐漸增加。與此同時(shí)，隨著上端激勵(lì)周期的增加，纜張力的波動(dòng)曲線變得相對平滑，一個(gè)周期內(nèi)的變化劇烈程度減小，同一時(shí)刻不同位置處纜張力的變化過渡也逐漸變緩。出現(xiàn)這種情況的原因跟前述類似，也是由于上端激勵(lì)作用周期較小時(shí)，吊纜中的張力變化速度較快，可能在瞬間達(dá)到某一個(gè)峰值，纜中出現(xiàn)“突變載荷”，上端激勵(lì)周期的增加會(huì)減緩“突變效應(yīng)”的程度。

深水吊纜非線性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的一個(gè)重要考察要素為位移在吊纜中的傳播特性，由于文獻(xiàn)[11]試驗(yàn)中的吊纜上端激勵(lì)僅作用在垂向，同一平面內(nèi)橫向不受力，即認(rèn)為吊纜的橫向位移為零，繼而對4 500 m吊纜垂向位移沿纜長的傳播特性進(jìn)行計(jì)算，部分結(jié)果見圖5，圖中除垂坐標(biāo)表示吊纜的垂向位移外，其他表述與圖3相同。

圖5 上端激勵(lì)周期變化時(shí)4 500 m吊纜不同位置處的垂向位移

由圖5可見，吊纜不同位置處的垂向位移隨上端激勵(lì)周期的變化規(guī)律與纜張力基本相同，垂向位移的變化呈現(xiàn)波動(dòng)性，且波動(dòng)周期與上端激勵(lì)周期有關(guān)。最大垂向位移也是出現(xiàn)在靠近激勵(lì)點(diǎn)的位置，吊纜垂向位移的幅值隨著上端激勵(lì)周期的增大而增大，當(dāng)上端激勵(lì)周期為8 s時(shí)，吊纜垂向位移的幅值可以達(dá)到3 m。與纜張力變化的不同點(diǎn)在于，雖然垂向位移存在峰值，但其隨纜長的變化并非像纜張力一樣存在突變，且峰值與其他值的差異也比纜張力小，這主要是因?yàn)榻⒌趵|動(dòng)態(tài)模型時(shí)，將吊纜看作是連續(xù)的，因此位移的變化由于吊纜的連續(xù)性而看作是一個(gè)相對緩變的過程，但纜張力則可以瞬間達(dá)到較大值[12]。

在深水吊裝施工作業(yè)過程中，吊載的運(yùn)動(dòng)特性特別是垂向位移的幅值及變化規(guī)律，是影響整個(gè)吊裝作業(yè)能否安全有效實(shí)施的關(guān)鍵所在[13]。吊纜長度為4 500 m時(shí)，吊載處垂向位移在不同上端激勵(lì)周期時(shí)的部分計(jì)算結(jié)果見圖6。

圖6 上端激勵(lì)周期變化時(shí)4 500 m吊纜吊載處垂向位移

通過分析發(fā)現(xiàn)，吊載處垂向位移的響應(yīng)周期要大于上端激勵(lì)周期，隨著激勵(lì)周期的逐漸增大，響應(yīng)周期與激勵(lì)周期的差距呈現(xiàn)增大的趨勢，這是因?yàn)榈趵|過長導(dǎo)致上端激勵(lì)的作用效果不能瞬間到達(dá)吊載處，使得吊載處的響應(yīng)出現(xiàn)滯后現(xiàn)象。滯后現(xiàn)象的出現(xiàn)對纜張力產(chǎn)生較大的影響，上端激勵(lì)開始作用的一個(gè)周期內(nèi)，吊載還未開始響應(yīng)，上端激勵(lì)將進(jìn)入下一個(gè)作用周期，對吊纜的張緊-松弛狀態(tài)產(chǎn)生一定的影響。若吊纜處于張緊狀態(tài)，由于上端激勵(lì)的作用吊纜將繼續(xù)伸長，局部將產(chǎn)生較大的纜張力，此時(shí)可能造成吊纜的斷裂和破壞。同時(shí)還可以看出，隨著激勵(lì)周期的增加，吊載處的位移幅值逐漸增大，最大位移幅值可達(dá)2 m，雖然比吊纜最大位移幅值小，但仍然會(huì)對整個(gè)水下吊裝作用產(chǎn)生極大的影響。

分析還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)趵|長度較大時(shí)，無論是纜張力還是吊纜垂向位移，在整個(gè)吊纜內(nèi)不是均勻分布的，若忽略吊纜的非線性，按照胡克定律計(jì)算吊纜的纜張力和位移將會(huì)產(chǎn)生很大的偏差。且一般情況下不會(huì)斷裂的吊纜，當(dāng)局部纜張力較大或變形過大時(shí)可能出現(xiàn)局部破壞。因此，準(zhǔn)確計(jì)算吊載處的響應(yīng)位移和周期，對于保證吊纜的強(qiáng)度和吊裝作業(yè)的順利實(shí)施至關(guān)重要。

3 結(jié)論

1)采用Hamilton原理對深水吊纜的垂向運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析，為深水吊纜及吊載在外部擾動(dòng)下非線性響應(yīng)規(guī)律的分析提供了一種方法，亦可用于分析吊纜的橫向和縱向運(yùn)動(dòng)。

2)纜張力的傳播呈現(xiàn)明顯的波動(dòng)現(xiàn)象，隨著吊纜長度的增加，波動(dòng)的幅值逐漸減小；隨著上端激勵(lì)周期的增加，纜張力的波動(dòng)曲線變得相對平滑，一個(gè)周期內(nèi)的變化劇烈程度減小，同一時(shí)刻不同位置處纜張力的變化過渡也逐漸變緩，上端激勵(lì)周期的增加會(huì)減緩載荷“突變效應(yīng)”的程度。

3)當(dāng)?shù)趵|長度較大時(shí)，無論是纜張力還是吊纜垂向位移，在整個(gè)吊纜內(nèi)不是均勻分布的，若忽略吊纜的非線性，計(jì)算吊纜的纜張力和位移將會(huì)產(chǎn)生很大的偏差。且一般情況下不會(huì)斷裂的吊纜，當(dāng)局部纜張力較大或變形過大時(shí)可能出現(xiàn)局部破壞。