威爾遜定理兩個推論的證明

趙雪嬌　文小波

摘要：本文利用威爾遜定理，用兩種不同的方法證明推論1；對葉壽坤提出的推論2進行修訂、擴充、證明得到推論2。

關鍵詞：威爾遜定理；推論；證明

一、引言

威爾遜定理、歐拉定理、孫子定理和費馬小定理被稱為初等數論的四大定理。其中的威爾遜定理[1]由英國威爾遜提出，1773年法國數學家拉格朗日首次證明該定理。1996年，李明波質疑并推翻了威爾遜定理，他認為當n=1時滿足 為整數，但是n卻不是素數。李明波糾正了威爾遜定理，給出了糾正后的結果并進行證明[2]。現在，一些書籍[3、4、5]把威爾遜定理的充分性和必要性分開來描述，把其充分性稱為威爾遜定理。

Rosen在[3]中提出關于威爾遜定理的一個結論，但沒有給出證明。本文采用兩種不同的方法對該結論進行證明，得到文中推論1。1983年，葉壽坤[6]提出威爾遜定理的一個推論，但該推論存在問題，本文對該推論進行修訂擴充，得到本文的推論2。

二、威爾遜定理及兩個推論的證明

威爾遜定理 若p為素數，則 。

推論1 若p為素數， 且 ，

則 。

證明：方法一 數學歸納法

當 時，由威爾遜定理有 ，結論成立；

假設取k時結論成立，即 ；

取 時，有 ，

因為 ， ，

所以由同余式的性質有 ，故由假設有

方法二 因為 ，

所以

又因為 ，

所以

又因為 ，

所以

以此類推，可得

將上述式子左右兩邊相乘，

有 ，

由威爾遜定理有

1983年，葉壽坤給出威爾遜定理的兩個推論[6]，其中推論2如下：

推論2 p為素數，若存在 ，

使得 ，則

。

推論2中的條件 應修改為 ，并對該推論進行擴

充得到如下推論：

推論2 若p為素數， 且 ，則

（1）若 ，則 ， ；

（2）若 ，則 ， 。

證明：由推論1有 ，則

（1）若 ，則 ，

因為 ，

兩邊同時對模p有 ；

（3）若 ，則 ，

因為 ，

兩邊同時對模p有 。

三、結論

本文利用威爾遜定理，對推論1進行證明，對推論2進行修訂擴充得到推論2，并利用推論1對它進行證明。

參考文獻：

[1]杜德利. 數論基礎[M]. 周忠良譯. 上海科學技術出版社， 1980： 48.

[2]李明波， 董洪毅. 對威爾遜定理的質疑[A]. 李長江， 趙春秀編. 當代學術研究[C]. 沈陽出版社， 2003： 216.

[3]Kenneth H. Rosen. Elementary Number Theory and Its Applications（Sixth Edition）[M]. 機械工業出版社， 2010： 217.

[4]潘承洞，潘承彪. 初等數論[M]（第二版）.北京大學出社，2003：149—150.

[5]馮志剛. 初等數論[M]. 上海科技教育出版社， 2009： 59.

[6]葉壽坤. 威爾遜定理的兩個推論及證明. 龍巖師專學報， 1983年8月11卷3期： 73.

項目來源：四川民族學院一般科研項目

項目編號：XYZB14006

作者簡介：趙雪嬌，1987年11月，女，漢，四川雅安，四川民族學院，助教，理學碩士，信息安全與密碼學。