基于面積和重心預測精度的IOWA算子的模糊變權組合預測模型

張宇菲，陳華友

（安徽大學 數學科學學院，合肥 230601）

0 引言

在現實生活中，很多問題的預測具有模糊性，比如在進行氣溫預測時，可以將一天中的最低和最高溫度分別作為左端點和右端點，將一天中的平均溫度作為中點，這樣用三角模糊數就可以較全面地概括一天溫度的變化。因此，探討模糊信息的組合預測方法具有重要的理論和實際意義。文獻[1-6]給出了三角模糊數的基本定義和一些單項預測方法，文獻[7]給出了兩種模糊組合預測方法。本文在此背景下，將三角模糊數轉化為面積指標和重心指標兩個指標[8]，并將誘導有序加權平均算子和相關系數的概念引入三角模糊數的組合預測中，構建了基于IOWA算子和相關系數的模糊變權組合預測模型，并通過實例分析說明提出預測方法的有效性和合理性，并對參數進行了靈敏度分析。

1 基本概念

定義1[1]：記 a=(aL，aM，aU)，其中 aL和 aU分別為 a 所支撐的上界和下界，aM為a的中值，并且有0≤aL≤aM≤aU，則稱a為一個三角模糊數。三角模糊數的隸屬函數可表示為：

關于三角模糊數，有如下一些運算法則。設 a=(aL，aM，aU)，b=(bL，bM，bU) ，則有：

其中L=(l1，l2…ln)T是與IOWAL有關的加權向量，滿足

（1）加法運算：a⊕b=(aL+bL，aM+bM，aU+bU)

定義2[2]：設為 n 個二維數組，令：中按照從大到小的順序排列的第i大的數的下標，則稱函數IOWAL是由u1，u2…un所產生的n維誘導有序加權算術平均算子，簡稱為IOWA算子，ui稱為ai的誘導值。

2 基于IOWA算子和相關系數的模糊組合預測模型的構建

2.1 序列的轉換

對三角模糊數進行組合預測，若直接對三角模糊數的三個界值點分別建模進行預測，這樣就違背了三角模糊數發展趨勢的一個整體性以及相對位置順序的錯亂導致預測失效的現象[7]，本文按照三角模糊數序列轉換的思想，通過引入隸屬函數的覆蓋面積和重心的概念，從整體性角度出發，將實際三角模糊數序列和各個單項預測方法的三角模糊預測序列轉換成為對應的隸屬函數的覆蓋面積序列和重心序列。為此引入如下概念：

三角模糊數的面積指標可以衡量大部分單項預測方法預測值與實際值之間的誤差，但是當第i種與第 j種單項預測方法三角模糊數預測值的面積相等時，其在面積指標下與實際值之間的誤差相等，從而其基于面積指標的預測精度也就相同，然而，實際上這是兩個不同的三角模糊數預測值，如圖1所示。

圖1第t時刻的實際值與第i種方法和第 j種方法的預測值

從圖1可以看出，第i種與第 j種單項預測方法預測的三角模糊數預測值對應的面積Sit和面積Sjt相等，但第i種單項預測方法預測值明顯優于第 j種單項預測方法，因此，基于面積指標的預測精度尚不能完全刻畫三角模糊數的預測精度，為此引入重心指標的概念。

定義7：令：

2.2 利用轉化后的序列構建模型

由定義5和定義8可以分別得到第t時刻的m種單項預測方法基于面積指標和重心指標的預測精度序列面取在面積指標下預測

定義10：令：精度和在重心指標下預測精度的平均值。

由定義10可以得到組合預測的三角模糊序列，再將

基于IOWA算子的組合預測是根據各時刻各單項預測方法預測精度的大小不同而賦予不同的權系數，預測精度越大，則單項預測方法賦予的權系數就越大，為了確定權系數，下面引入相關系數的概念。

定義11：設：

則稱Rs為組合預測值序列與實際值序列之間基于面積指標的相關系數，Rg為組合預測值序列與實際值序列之間基于重心指標的相關系數。其中：

顯然Rs和Rg都屬于[0,1]區間，基于面積指標和重心指標的組合預測值序列與實際值序列之間的相關系數越大，則對應的模糊組合預測值就越好。

定義12：令：

系：

由式（10）和式（14），則有：

L=(l1，l2， …，lm)T，則有：

將式（16）代入到式（15）中，并考慮到雙重求和符號的可交換性，則有：

同理，由式（9）和式（13），有

則式（11）可改寫為如下形式：

顯然，Rs和Rg都是關于權向量L=(l1， l2，…，lm)T的函數，要使三角模糊組合預測值與實際值之間更為接近，則需要分別極大化基于面積指標的相關系數Rs和基于重心指標的相關系數Rg，這實際上是一個多目標規劃問題：

為此，本文引入參數α∈[0，1]，將Rs與Rg進行凸組合，使其變成一個單目標規劃問題。則可以建立如下模型：

其中 IT=(1，1，…，1)T為元素全為1的m維向量，參數α體現基于面積指標的相關系數的重要性權重。式（22）的最優化模型可以通過MATLAB的優化工具箱或LINGO軟件進行求解。

3 實例分析

為了證明基于IOWA算子和相關系數的模糊組合預測模型的可行性，下面分別應用三角模糊數基于面積指標的預測誤差平方和（SSSE）、均方誤差（SMSE）和均方百分比誤差（SMSPE）以及基于重心指標的預測誤差平方和（GSSE）、均方誤差（GMSE）和均方百分比誤差（GMSPE）作為衡量其預測結果的指標,其中：

表1 實際三角模糊數序列xt和各單項預測方法預測的三角模糊數序列x1t,x2t,x3t

利用文獻[7]的數據對本文提出的模型進行實例分析，表1給出了實際三角模糊數序列和三種單項預測方法預測的三角模糊數序列的信息。

由式（2）和式（5）將三角模糊數序列轉化為基于面積指標序列和基于重心指標序列后，再分別代入到式（4）、式（7）、式（8）中，得到三角模糊數的預測精度序列，再根據IOWA算子的定義，得到基于預測精度序列誘導的x-index(1t)，x-index(2t)，x-index(3t) ，然后將所得的數據轉化為

面積序列和重心序列后代入模型（22）中，并取α=0.5，則可求得最優權重為：

則三角模糊數的組合預測值如表2所示。

表2 三角模糊數的組合預測值

由式（23）至式（28）計算出三角模糊數基于面積指標和基于重心指標的預測誤差指標，從而說明本文所提出的組合預測方法的可行性。為了方便與單項預測方法進行比較，同時給出各單項預測方法的預測誤差指標，如表3和表4所示。

表3 各預測方法基于面積指標的預測誤差指標

表4 各預測方法基于重心指標的預測誤差指標

由表3和表4可以看出，無論是在面積指標下，還是在重心指標下，本文所提出的三角模糊數的組合預測方法各項誤差指標都低于各單項預測方法的預測誤差指標，這說明本文所提出的三角模糊數的組合預測方法優于各單項預測方法，即本文提出的三角模糊數的組合預測方法是可行的。

4 模型參數α的靈敏度分析

下面對模型中的參數α進行靈敏度分析，參數α表示三角模糊數基于面積指標的相關系數的重要程度，α越大表明三角模糊數的面積指標的相關系數與重心指標的相關系數相比更加重要，即決策者認為面積指標比重心指標更能衡量三角模糊數的實際值與組合預測值之間的相關系數。由式（22）可知最優權重隨著α的變化而變化，為了驗證不同的α對所建立的模型是否都具有可行性，下面取α∈[0，1]，分別計算其對應的最優權重 l1，l2，l3以及各衡量指標，并繪制成圖。

圖2α與最優權重之間的關系

圖3α與預測誤差指標之間的關系

由圖2可以看出隨著α的增加，最優權重呈線性變化，l1隨著α的增加而增加，l2隨著α的增加而減少，l3保持不變始終為0。由圖3可以看出，各項預測誤差指標隨著α的變化沒有大的變化，因此本文中α可以取(0，1)中的任意值。

5 結束語

本文的預測序列是三角模糊數，首先將三角模糊數轉化為面積序列和重心序列，然后分別對面積序列和重心序列建立基于IOWA算子和相關系數的組合預測模型，再將兩者進行凸組合，得到最優組合預測模型，并通過實例分析驗證模型的可行性。通過三角模糊數的組合預測模型的構建，有效地規避了各單項預測方法預測出來的三角模糊數序列所帶來的信息偏差，使得預測值更加精確，有利于決策者更加準確地對問題作出判斷。但本文中是將三角模糊數序列轉化為面積序列和重心序列來進行建模的，在這一過程中是否會導致一些信息的流失還需進一步的探討。