探討機械設計制造中創新設計方法

摘 要：在非線性優化問題中，一般假定設計變量為連續量。在許多情況下，這是一個有效的假設。然而，通常的整數變量離散變量出現在工程設計。這些類型的變量的例子是齒輪的齒數，一個齒輪模塊的價值，規格冷軋鋼構件，在桁架桿數、軸和其他零件的公稱尺寸，彈簧的圈數，在一個結構中的螺絲或鉚釘數量，離散和連續變量的整數變量隨著添加的優化問題越來越復雜。由于這種情況經常發生在工程設計中，解決這類問題的有效方法在優化機械設計中有著重要的應用。概念設計優化問題可以用一種稱為“0-1變量”的整數變量（通常稱為“二進制”變量）來解決，該變量可以取零或一個值，顧名思義。每當有一個選擇，從一個列表的替代品，零個變量可以用來選擇最好的選擇。關于零變量使用的更多細節將在后面討論。

關鍵詞：機械設計；非線性優化；二進制；創新

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.14.033

1 已有方法的優缺點

在線性最優化領域，已經發展了求解整數和離散問題的方法。然而，在非線性優化問題中，沒有這樣的平行可繪制。最初的方法是假設所有變量都是連續的，然后將結果上下轉換為最接近的整數或離散值。然而，這種方法常常導致不正確的結果。在非線性混合離散整數連續編程領域，Gisvold 和 Moe于1972年開發了一種通過修改的罰函數方法的非線性混合整數規劃問題的方法。在這里，離散的要求作為明確的約束和目標函數構造懲罰偏離離散值。該方法的難點在于罰參數難以設定先驗值，所得解依賴于初始罰參數的選取。

混合離散規劃問題，Cha 和 Mayne于1988提出了一個很有前途的耦合的序列二次規劃法（SQP）具有局部搜索策略的方法。連續SQP算法在最優解附近快速地進行搜索，而基于目標梯度信息的局部搜索則是該領域內的最佳離散解。Fox和Bonnie Liebman于1981年用“復雜”的算法來求解整數/離散規劃問題。對十五個問題的數值試驗表明，該方法比離散罰算法和連續最小舍入算法有更好的結果。然而，這種方法的缺點是收斂性不確定，即使收斂，也不能保證解是全局最優點。

2 零變量決策樹

零變量在設計變量的決策樹是一個不錯的選擇。通過這種方法，我們可以研究不同的定性替代方案。例如，這些變量可以用來決定從一個替代材料列表中確定某一特定組件所需的材料。101個變量被分配到每一個備選方案中，對應于所選材料的變量被賦予一個“1”的值，而另一個被賦值為“0”，這些零個變量必須和一個變量相加，這樣只有一個變量能達到一個變量的值。在數學上，涉及零個變量x的最優化問題可以用公式表。需要注意，在嚴格的數學意義上，獲得的解決方案可能不是“最優”，因為最優性還沒有被證明。可以說，所得到的結果是用這種停止方法使用的最好的結果。將該方法與其他方法所得結果進行比較，初始懲罰參數的選取與最終結果相比沒有影響。

3 增廣拉格朗日乘子法

最佳的增廣拉格朗日乘子法可能得到更好的結果。百分比錯誤已減至幾乎為零。圓柱形壓力容器兩端由半球形封頭覆蓋。總成本，包括材料成本，成型和焊接成本，是盡量減少。設計變量為TS和TH，殼和頭的厚度，R和L，圓柱截面的內半徑和長度。變量是0和l是連續的。

基于增廣拉格朗日乘子法的主要優點之一是，啟動懲罰值大大降低。此前，產生的結果是非常依賴于初始罰參數值，這是一個重大的缺點，因為每個從刑罰價值導致了不同的結果。例如，在輪系設計問題中，所使用的值是：（0.01，0.001，0.005，0.0001，0.0005，0.00001）。選擇初始懲罰參數的唯一標準是，它應該被選擇為一個低值并且逐漸增加。這樣做的原因是，當我們增加起始懲罰參數值時，增強的目標函數將有更多的“凸點”。當這些“碰撞”的大小由于懲罰參數的較大值而增加時，搜索趨向于“下降”到最近的局部極小值。由于搜索很難從局部極小值中提取出來，搜索往往陷入這一點，使得真正的離散優化的位置非常困難。增加罰參數的乘法系數應取1和2之間。這將確保懲罰參數逐漸增加。如果乘法因子太高，上述凸塊的大小以非常快的速度增加，因此到達離散最優變得非常困難。此外，在某些情況下，如果乘法因子過高，則搜索收斂到局部最優。這是因為同樣的原因，為什么起始懲罰值不應該很高。即使初始懲罰值很小，如果乘法因子非常高，凸塊的大小以極大的速度增長，使得搜索陷入局部最優。在案例研究中，乘法系數的取值應該介于1和2之間。在常見的工程設計優化問題中，約束往往差別很大。因此，一些約束占主導地位。優化過程中將所有約束乘以相同的懲罰參數會導致數值病態。除了一個案例研究問題外，所有這些都被觀察到。因此，必須限制這些。約束的比例因子作為目標函數的梯度與起始點約束的梯度之比。這個簡單的步驟在很大程度上改善了問題的收斂性。

4 小結

用增廣拉格朗日乘子法求解混合離散整數連續優化問題的方法是非常有效和準確的。甚至可以將問題精確地解決。增強拉格朗日乘子法中的迭代需要很小的存儲空間，因為沒有什么需要存儲在內存中以供以后使用。增廣拉格朗日乘子法結合零階搜索被認為是非常快的尋找方法。

由于采用有限差分技術來逼近導數，一階搜索法在離散最優解的求解上存在相當大的問題。然而，在一些較小的問題中，導數被解析地發現，所以一階方法是非常有用的或這些問題。對于大尺寸問題，導數的分析測定通常是不可行的，因此不推薦一階方法。零階的搜索方法，成功找到解決所有的案例研究。焊接梁問題是一個很好的例子，它可以用來解決單變量概念設計優化問題。

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作者簡介：申永紅（1974-），男，山西洪洞人，本科，講師，研究方向：機械設計與制造。