空間欠采樣寬帶線性調(diào)頻信號(hào)二維DOA估計(jì)

馮浩然,

(解放軍電子工程學(xué)院 雷抗系,合肥 230037)

0 概述

線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation,LFM)信號(hào)是一種典型的非平穩(wěn)信號(hào),因具有大帶寬時(shí)寬積的優(yōu)點(diǎn),使其在雷達(dá)、聲吶和通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。如何快速有效地處理寬帶LFM信號(hào)并進(jìn)行高精度的波達(dá)方向(Direction of Arrival,DOA)估計(jì),是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。

目前,較寬的工作帶寬使得傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法難以滿足Nyquist采樣定理的要求,更對(duì)后期數(shù)字處理速度和信息存儲(chǔ)能力提出了較大挑戰(zhàn)。為解決該問(wèn)題,有學(xué)者提出在欠采樣條件下對(duì)信號(hào)進(jìn)行參數(shù)和DOA估計(jì)[1-3]。文獻(xiàn)[4]利用經(jīng)時(shí)延的信號(hào)與原始信號(hào)共軛相乘解線性調(diào)頻的方法,運(yùn)用余數(shù)定理對(duì)多個(gè)LFM信號(hào)進(jìn)行方位解模糊,從而實(shí)現(xiàn)多LFM信號(hào)的高精度DOA估計(jì),但該方法容易受到二次交叉項(xiàng)的干擾,估計(jì)精度存在局限性。文獻(xiàn)[5]基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FRFT),提出在時(shí)空欠采樣條件下對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行分析的方法。由于具有不同時(shí)頻特性的LFM信號(hào)在其對(duì)應(yīng)階次上具有不同的能量聚集特性,運(yùn)用FRFT對(duì)空間寬帶LFM信號(hào)的DOA進(jìn)行相關(guān)研究不會(huì)受到交叉項(xiàng)的干擾,可以提高估計(jì)精度。因此,基于FRFT對(duì)寬帶LFM信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì),具有較高的研究?jī)r(jià)值。

作為通信基站中應(yīng)用廣泛的接收天線[6],均勻圓陣(Uniform Circular Array,UCA)可以進(jìn)行接收信號(hào)的全方位測(cè)向,而其較高的測(cè)量精度并不會(huì)因方位角的改變而產(chǎn)生較大的變化。利用UCA可以同時(shí)對(duì)初始信號(hào)的俯仰角和方位角信息進(jìn)行估計(jì),這是均勻線陣所無(wú)法滿足的[7]。然而,在UCA半徑大于半波長(zhǎng)的情況下,信號(hào)采樣不滿足Nyquist采樣定理要求,容易產(chǎn)生模糊項(xiàng),即此時(shí)無(wú)法高精度估計(jì)出信號(hào)的初始信息,從而導(dǎo)致算法估計(jì)性能下降。

已有文獻(xiàn)多采用非均勻陣列進(jìn)行欠采樣估計(jì)[8-10],為利用UCA在欠采樣條件下實(shí)現(xiàn)對(duì)寬帶LFM信號(hào)的高精度二維DOA估計(jì),本文基于UCA的全向特性和FRFT對(duì)寬帶LFM信號(hào)的能量聚集特性,建立陣元個(gè)數(shù)M>6的UCA陣列模型。經(jīng)過(guò)FRFT變換濾波,利用FRFT譜峰搜索數(shù)據(jù)進(jìn)行二維DOA估計(jì),同時(shí),考慮到信號(hào)欠采樣帶來(lái)的數(shù)據(jù)模糊影響,本文采用整數(shù)搜索法進(jìn)行相位解模糊,在此基礎(chǔ)上,實(shí)現(xiàn)寬帶LFM信號(hào)二維角信息的高精度無(wú)模糊估計(jì)。最后,對(duì)UCA和非均勻L陣2種陣列形式進(jìn)行仿真對(duì)比,以驗(yàn)證本文方法的性能。

1 FRFT與UCA模型

1.1 FRFT的定義

p階FRFT相當(dāng)于信號(hào)的Wigner分布在時(shí)間-頻率平面上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α=pπ/2,如圖1所示。

圖1 FRFT Wigner分布

定義信號(hào)x(t)的p階FRFT為線性積分運(yùn)算:

(1)

其中,p為FRFT的階次,Fp[·]為FRFT的算子符號(hào),Kp(t,u)為FRFT的變換核:

Kp(t,u)=

(2)

FRFT是一種線性變換,不會(huì)受到交叉項(xiàng)的干擾。由于FRFT對(duì)寬帶LFM信號(hào)具有極好的能量聚集特性,使得具有不同時(shí)頻特性的寬帶LFM信號(hào)在其對(duì)應(yīng)階次上集中于一點(diǎn),不存在二次型時(shí)間-頻率分布的選點(diǎn)問(wèn)題,從而能穩(wěn)定、快速地分離寬帶LFM信號(hào)。因此,將FRFT運(yùn)用到陣列信號(hào)處理領(lǐng)域,能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)寬帶LFM信號(hào)初始信息的高精度估計(jì)[11]。

1.2 陣列模型構(gòu)建

圖2所示為天線接收陣列UCA示意圖,其由M個(gè)全向天線構(gòu)成,天線陣元在圓周上呈均勻分布,陣元半徑為r,圓心為接收天線的參考點(diǎn)。

圖2 UCA模型

假設(shè)有Q個(gè)寬帶LFM信號(hào)入射到該天線陣,則第k個(gè)天線陣元的輸出為:

sq(t)=ejπ(2fq0t+μqt2)

(4)

εk=2π(k-1)/M

(6)

2 均勻圓陣DOA估計(jì)算法

以采樣率fs對(duì)第q個(gè)空間LFM信號(hào)sq(t)進(jìn)行欠采樣,得到其離散化值:

sq(n)=ejπ[2fq0(n/fs)+μq(n/fs)2]

(7)

(8)

(9)

Sq(α,m)峰值出現(xiàn)在m=mq0=fq0Nsinαq0/fs,此時(shí),其極大值為:

對(duì)于UCA上第k個(gè)接收陣元,其接收到的第q個(gè)LFM信號(hào)輸出為:

(11)

從式(11)可以看出,第k個(gè)陣元接收到的信號(hào)相對(duì)參考陣元僅多出一個(gè)時(shí)延,并未改變其調(diào)制斜率,只是初始頻率和初始相位發(fā)生了改變[13]。對(duì)sk,q(t)進(jìn)行離散化后作FRFT得到Sk,q(α,m),同樣,Sk,q(α,m)在α=αq0處表現(xiàn)出最佳的能量聚集特性,峰值出現(xiàn)在mk,q=mq0+fsτk,qcosαq0,此時(shí),其極大值為:

Sk,q(αq0,mk,q)=Aq(τk,q)S(αq0,mq0)

(12)

Aq(τk,q)的計(jì)算如下:

對(duì)不同天線陣元接收到的同一寬帶LFM信號(hào)進(jìn)行FRFT,會(huì)在相同的階次出現(xiàn)比較明顯的能量聚集[14-15]。而作為一種線性變換,Q個(gè)LFM信號(hào)在經(jīng)過(guò)FRFT之后會(huì)出現(xiàn)Q個(gè)峰值。因此,可以通過(guò)選擇峰值上的時(shí)頻點(diǎn)來(lái)分離出信號(hào)源中具有不同時(shí)頻特性的LFM信號(hào),從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)模型的簡(jiǎn)化、計(jì)算量和運(yùn)算復(fù)雜度的減小、對(duì)硬件的要求和成本的降低。

對(duì)第k個(gè)天線陣元輸出采樣并進(jìn)行離散FRFT:

其第q個(gè)信號(hào)峰值點(diǎn)(αq0,mk,q)對(duì)應(yīng):

Xk(αq0,mk,q)=Sk,q(αq0,mk,q)+Nk(αq0,mk,q)+

(15)

然而,經(jīng)過(guò)FRFT后,由于具有不同時(shí)頻特性的LFM信號(hào)在第q個(gè)信號(hào)峰值點(diǎn)(αq0,mk,q)處有較小的觀測(cè)值而被視為干擾項(xiàng),則有:

Xk(αq0,mk,q)=Sk,q(αq0,mk,q)+Nk(αq0,mk,q)=

Aq(τk,q)S(αq0,mq0)+Nk(αq0,mk,q)

(16)

選擇FRFT域上所有入射信號(hào)數(shù)據(jù)作為觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,用向量表示UCA所有陣元的空間時(shí)頻輸出:

X=AS+N=[X1X2…XM]T

(17)

A=[A1A2…AQ]

(18)

S=diag{S1(α10,m10),S2(α20,m20),…,SQ(αQ0,mQ0)}

(19)

其中:

Aq=[1Aq(τ2,q) …Aq(τM,q)]T

(20)

Xk=[Xk(α10,mk,1)Xk(α20,mk,2) …Xk(αQ0,mk,Q)]

(21)

空間時(shí)頻輸出X的相關(guān)陣為:

RXX=E[XXH]=AE[SSH]AH+E[NNH]+

AE[SNH]+E[NSH]AH

(22)

由于產(chǎn)生的噪聲是與信號(hào)無(wú)關(guān)的高斯白噪聲,且假設(shè)各天線陣元之間噪聲不相關(guān),可以將式(22)表達(dá)為:

RXX=AE[SSH]AH+σ2I

(23)

對(duì)RXX進(jìn)行特征值分解,有:

其中,ηq(q=1,2,…,Q)是RXX的Q個(gè)大特征值,Vq(q=1,2,…,Q)是大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量,γq(q=1,2,…,Q)是RXX的Q個(gè)小特征值,Uq(q=1,2,…,Q)是小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。

為解決由空間欠采樣帶來(lái)的模糊項(xiàng)影響,采用整數(shù)搜索法進(jìn)行到達(dá)角估計(jì)解模糊。針對(duì)由信號(hào)的Q個(gè)大特征值得到的主特征向量Vq=[Vq,1Vq,2…Vq,M]T,為減小搜索范圍、降低運(yùn)算量,將Vq的相鄰元素進(jìn)行相除求得復(fù)角:

(25)

其中,k=1,2,…,M-1,φq,m∈[-π,π),Cq=(2r/λq)sin (π/M),αq=sinθqcosφq,βq=sinθqsinφq,Kq,k是一個(gè)整數(shù)。

由于sin [φq-(2k-1)π/M]sinθq∈[-1,1],有-Cq-φq,k/2π≤Kq,k≤Cq+φq,k/2π。

令:

其中,round(x)表示最接近x的一個(gè)整數(shù)。搜索所有Kq,1和Kq,2的組合,計(jì)算得出最小的ΔKq,使得Kq,k(k=3,4,…,M-1)為整數(shù),此時(shí)即最佳Kq,1、Kq,2組合,并得到正確的Kq,k(k=3,4,…,M-1)。

構(gòu)造矩陣:

B[αqβq]T=C

(29)

求解方程:

綜上,本文提出的欠采樣環(huán)境下二維DOA估計(jì)方法的步驟為:

1)對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行FRFT,然后進(jìn)行譜峰搜索得到Q個(gè)峰值坐標(biāo)(αq0,μq0)(q=1,2,…,Q)。

2)計(jì)算各陣元接收信號(hào)關(guān)于αq0(q=1,2,…,Q)的FRFT,搜索峰值并構(gòu)造空間時(shí)頻輸出矩陣X。

3)計(jì)算空間時(shí)頻輸出矩陣X的相關(guān)陣RXX并進(jìn)行特征分解。

4)對(duì)由特征分解得到的Q個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量進(jìn)行整數(shù)搜索,得到正確的Kq,k。

6)根據(jù)式(32)、式(33)得到原始信號(hào)無(wú)模糊的俯仰角、方位角信息。

3 仿真結(jié)果與分析

1)算法精度校驗(yàn)。設(shè)空間均勻圓陣天線陣陣元半徑為最小信號(hào)波長(zhǎng)的5倍,天線由M=16個(gè)全向性陣元天線組成。圖3所示為信噪比為0時(shí),對(duì)俯仰角進(jìn)行0～90°搜索、對(duì)方位角進(jìn)行0～360°搜索的二維DOA估計(jì)結(jié)果。圖4為信噪比以1 dB從-5 dB到5 dB步進(jìn)時(shí)信號(hào)俯仰角和方位角的均方根誤差曲線。

圖3 信噪比為0時(shí)二維DOA估計(jì)結(jié)果

圖4 信噪比對(duì)二維DOA估計(jì)誤差的影響

從圖3可以看出,本文方法能夠在空間欠采樣條件下對(duì)寬帶LFM信號(hào)進(jìn)行二維DOA估計(jì)。從圖4可以看出,文中方法在低信噪比條件下仍有較好的估計(jì)精度,且估計(jì)精度隨信噪比的增加而提高。

2)陣元個(gè)數(shù)對(duì)估計(jì)精度的影響。采用和上述實(shí)驗(yàn)相同的寬帶LFM信號(hào)入射天線陣,建立具有不同陣元個(gè)數(shù)的均勻圓陣天線陣列,天線陣元個(gè)數(shù)依次為7、8、10、12、14、16、18、20,進(jìn)行300次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)。圖5所示是信噪比為0、天線陣元個(gè)數(shù)不同時(shí),2個(gè)接收信號(hào)的俯仰角和方位角估計(jì)值的均方根誤差曲線。從圖5可以看出,隨著均勻圓陣陣元個(gè)數(shù)的增加,信號(hào)俯仰角和方位角估計(jì)值的均方根誤差均呈明顯下降趨勢(shì)。

圖5 陣元個(gè)數(shù)對(duì)二維DOA估計(jì)誤差的影響

3)均勻圓陣與非均勻L陣性能對(duì)比。設(shè)置均勻圓陣陣元個(gè)數(shù)為15,半徑為10.6 cm;非均勻L陣陣元個(gè)數(shù)為15,陣元間距依次為5.3 cm、6.0 cm、6.7 cm、7.4 cm、8.1 cm、8.8 cm、9.5 cm,滿足稀疏陣列設(shè)置,能夠保證整數(shù)搜索法結(jié)果的唯一性。假設(shè)空間信號(hào)被2種陣列接收,圖6所示為2種陣列俯仰角和方位角估計(jì)的均方根誤差對(duì)比曲線。從圖6可以看出,本文方法對(duì)信號(hào)俯仰角和方位角估計(jì)的均方根誤差比非均勻L陣小1個(gè)～2個(gè)數(shù)量級(jí),且在低信噪比情況下,本文方法仍具有較高的估計(jì)精度。

圖6 非均勻L陣和均勻圓陣均方根誤差對(duì)比結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文依據(jù)FRFT對(duì)寬帶LFM信號(hào)的能量聚集特性,將空間寬帶LFM信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分離,將其變換為FRFT域的一系列平穩(wěn)單頻信號(hào),從而構(gòu)建新的空間時(shí)頻分布數(shù)據(jù)模型。對(duì)于由空間欠采樣引起的相位模糊,采用整數(shù)搜索法進(jìn)行多寬帶LFM信號(hào)的無(wú)模糊二維DOA估計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文方法在欠采樣條件下進(jìn)行二維DOA估計(jì),能夠有效降低計(jì)算量和運(yùn)算復(fù)雜度,從而降低硬件成本,減輕數(shù)字處理壓力。下一步考慮將本文算法應(yīng)用于相干寬帶LFM信號(hào)的無(wú)模糊DOA估計(jì),并建立精度更高的天線陣列模型。