“中國式過馬路”行為隨機尖點突變模型

林徐勛 ，袁鵬程 ，朱佳翔，張春勤

（1.常州大學 商學院，江蘇 常州 213164；2.東南大學 經濟管理學院，南京 210096；3.上海理工大學 管理學院，上海 200093；4.浙江理工大學 建筑工程學院，杭州 310018）

近年來，隨著城市化建設的快速推進，持續增長的出行需求給城市交通帶來了巨大壓力，行人與機動車爭搶道路資源的現象隨處可見，在道路交叉口，行人往往是“湊夠一撮人就走，管它紅燈或綠燈”，這種現象在中國尤為嚴重，因此被冠以“中國式過馬路”的“美稱”。據有關部門統計[1]，2008～2010年，北京市由行人闖紅燈引起的交通事故占行人違規致因事故的30%以上；2006～2010年，行人過街引發交通事故死亡率從7.0人/萬人增加到10.3人/萬人。可見，“中國式過馬路”現象不僅嚴重威脅行人出行安全，并導致通行能力下降、車輛滯留，加劇交通擁堵，造成極大社會損失和不良影響；而由此引發的道路交通安全問題也已成為社會關注的熱點。目前，國內各地對這種現象尚缺乏有效的手段，導致“中國式過馬路”現象常態化。因此，如何更有效地預測和治理“中國式過馬路”行為已成為困擾城市交通管理的難題。

現象上分析，“中國式過馬路”主要有如下特征：①群體行為。當過街人群積累到一定數量時，便以整體隊列的形式強行橫穿馬路。②從眾效應。當一部分人開始率先強行闖紅燈時，周邊等待行人會產生從眾心理，導致許多最初沒有闖燈意識的人也參與到“闖紅燈”的隊列中。③“突變”現象。行人過街行為的產生并不是以一種連續、漸進的方式進行，而是到一定時刻點之后呈現群體“爆發式”特點，具有不穩定性和難預測性，給過往駕駛員造成極大的心理壓力。

目前，雖然對“中國式過馬路”現象已經有過很多的報導，但現有出行行為分析主要集中于通勤行為預測[2-3]、活動-出行選擇[4-6]以及路徑選擇與擁擠收費[7-9]等方面的研究，對“中國式過馬路”行為的理論研究并不多見。少量相關研究主要運用經濟學、心理學及行為分析等方法對過街行為預測、法治與安全意識、出行心理以及過街交通流建模等內容進行探討，主要包括：

（1）網絡設計與交通流建模。Yu等[10]建立了過街行人離散分布條件下過街網絡設計優化模型；Jin等[11]運用交通流模型分析了行人過街行為對道路通行能力和車輛行程延誤所造成的影響；Yang等[12]通過仿真模擬再現了行人過街較高的闖燈概率；Chen等[13]運用元胞自動機模型（CA）模擬了需求隨機和不同初始過街位置下的過街行為。

（2）過街行為建模及影響因素分析。Li等[14]擬合了行人過街等待時間概率分布，顯示不同個體等待時間的顯著差異；Sun等[15]研究過街行人在不同條件下對車輛速度和剎車距離的估算；Li等[16]刻畫了過街風險對行人等待時間的影響；Koh等[17]擬合了行人過街可接受車輛間距隨機分布；Sueur等[18]從風險承受角度探討不同人群過街行為的異同點；Rosenbloom 等[19]驗證了群體行為對個體決策的顯著作用；Brosseau等[20]通過蒙特利爾市的實測數據分析主客觀因素對過街行為的影響，研究結果表明，等待時間超過一定閾值時，大部分行人開始強行過街，表現出過街行為決策的“突變”現象。

（3）過街行人心理分析。Zhou等[21-22]運用計劃行為理論驗證過街行人的“從眾”心理；Rosenbloom 等[23]研究兒童過街行為，得到與文獻[21-22]中類似的結論；Harvard等[24]探討人行橫道的設置對行人過街安全心理的正面作用；Liu等[25]及Lipovac等[26]分析行人過街闖燈行為過程中的風險承受心理；Faria等[27]通過實際觀測數據分析過街行為的群體性影響，并闡述了過街行人面對密集車流量時“進退兩難”的心理狀態。

現有研究從多方面對行人過街現象進行了一定的分析，但多數研究主要依賴定性分析與數據挖掘，缺少對“中國式過馬路”行為決策內在機理的深層剖析；其次，現有研究主要從“連續變化”的視角分析行人過街決策的改變，缺少對實際過街行為中“突變”現象的理論探討；另外，現有研究主要著眼于靜態均衡視角下的過街行為，較少考慮“中國式過馬路”行為的動態演化以及演化過程中隨機擾動的作用規律。因此，存在進一步深入的空間。

近年來，演化博弈被越來越多地運用到各類行為決策研究中，涉及環境污染治理[28]、技術合作創新[29]和企業制度提升[30-34]等眾多領域。演化博弈考慮不完全信息條件下博弈參與方有限理性的特點，以動態均衡視角解析博弈參與方相互作用關系，不僅能夠得到博弈的最終結果，還能計算博弈過程的演化軌跡，全面反映博弈決策行為的實時變化特征。本文運用演化博弈思想解析“中國式過馬路”行為決策過程；在其基礎上加入高斯白噪聲隨機擾動過程，分析隨機擾動作用下模型的突變類型和解析性質；進一步，運用隨機尖點突變理論探討過街行為中策略選擇的突變現象；最后，通過算例探討隨機擾動對過街行為的影響作用，尋找突變臨界面與相關因素的關系。研究結果為行人過街策略的預測和違章過街行為的治理提供了新的思路。

1 “中國式過馬路”博弈決策行為分析

以“中國式過馬路”現象中具有闖燈傾向的行人為研究對象，通常可以觀察到兩個階段：首先有為數不多的一群先行者開始強行過街；隨后一大部分人群開始跟隨加入過街隊伍，逐漸形成強大的闖紅燈群體，拉開“中國式過馬路”的序幕。根據上述現象歸納出本文所建博弈模型的3個假設條件：

（1）效用。過街行人效用與闖紅燈而縮短的通行時間成正比，與交警懲治力度成反比。

（2）決策。行人具有兩種選擇策略：①選擇先行帶隊闖紅燈（簡稱“先行”）；②觀察到他人的先行闖燈行為后跟隨加入（簡稱“跟隨”）。

（3）懲治。交警負責懲治，但是由于警力有限，交警以一定概率對先行闖紅燈者進行懲治處罰。

綜上所述，得到“中國式過馬路”的單期博弈收益矩陣，如表1所示。

表1 單期博弈收益矩陣

其中：A為先行闖紅燈者的收益；B為經過一段時間后跟隨闖紅燈者的收益；Q為交警處罰造成的行人效用損失；P1為博弈雙方均選擇先行闖紅燈（策略①）而受到交警懲治的概率；P2為博弈雙方選擇不同策略闖紅燈時先行者受到交警懲治的概率。

根據上文所給的3個假設條件不難得到上述參數的關系，即A＞B＞0，Q＞0，P2＞P1＞0。

設x（t）表示在時刻t選擇先行闖紅燈（策略①）的行人比例，則0≤x（t）≤1；根據演化博弈的思想[34]，每個行人在博弈中選擇先行策略（策略①）以及跟隨策略（策略②）的期望收益分別為：

根據式（1）、（2），可得群體收益為

由此得到動態演化博弈方程：

化簡得如下關系：

2 “中國式過馬路”行為隨機尖點突變模型

演化博弈方程式（1）～（5）體現了行人在不同環境下行為決策的動態演化過程，以“確定性系統”的視角來分析行人過街決策，但決策過程通常受到各類隨機因素的干擾，包括行人本身的心理、性格、情緒，以及過往出行經驗；還包括外部環境的不確定性，例如天氣、交通事故、自然環境等。這些隨機因素難以被捕捉和量化，但會改變最終的決策結果。因此，不能被輕易忽略。為了反映這種不確定性干擾，參照相關研究的做法[35-38]，本文在式（5）的基礎上引入高斯白噪聲擾動，得到如下關系：

式中：w（t）表示布朗運動；dw（t）表示通常意義上的高斯白噪聲；δ（x）為擴散系數，反映t時刻的擾動強度。

這樣，x（t）便從原來的固定變量轉變為隨機變量，通過多種可能的演化軌跡集合顯示行人決策行為的隨機性；記x（t）的概率密度函數為

式中：t為時間變量；s為自變量；x0為演化起始點；F（s，t）為x（t）的累積概率函數。令

則式（6）可寫為如下隨機突變模型表達式：

式中，H（x，r）為系統勢函數，反映x（t）與模型控制變量的映射關系。其中：x（t）為系統狀態向量；r=（P1，P2，Q，B）為系統控制向量；dw（t）與δ（x）含義同式（5）。

進一步，根據Cobb等[37]關于隨機過程意義上的“隨機均衡”研究，當t→+∞時，式（6）所示f（s，t，x0）一致收斂，其極限函數滿足如下關系：

式中，K為標準化常數，保證G（y）在狀態空間中的積分為1。簡單起見，令δ（x）為常數，記為δ，則式（10）可進一步化簡為

對于交通管理部門而言，對過街行為決策過程的了解是制定相關管理政策的前提和基礎，本文運用隨機尖點突變理論刻畫行為決策中的“突變”現象，分析隨機擾動對均衡結果的影響，對比不同狀態下出行者對相關政策的敏感度。為隨機條件下行人過街管理提供決策依據。首先，根據上文的理論分析，可以得到如下結論：

定理1當式（6）所示“中國式過馬路”隨機演化動力學方程滿足條件P2Q-P1Q-B≠0時，其極限函數符合“尖點突變”特征。

證明根據式（11）可知，

不難推知，

將式（8）代入式（13），可得

再對y作平移變換，因為P2Q-P1Q-B≠0，令

式中：u、v為系統控制變量；z為系統的狀態變量；根據尖點突變的形式[35-38]可知，式（18）所示演化收斂函數符合標準的尖點突變模型。 證畢

根據定理1的論述可知，考慮了隨機效用的影響后，當行人過街決策行為演化過程滿足一定條件時，行人最終的博弈結果會發生“突變”，即先行闖燈比例從某個穩定狀態突然變化至另一穩定狀態的顯著非連續變化。進一步，討論突變發生時刻的控制參數臨界集合，即突變發生時，控制參數所滿足的條件，得到如下結論：

定理2“中國式過馬路”演化博弈過程中，當滿足如下兩個條件時，過街決策行為將發生“突變”現象：①式（6）所示“中國式過馬路”隨機演化動力學方程滿足P2Q-P1Q-B≠0；②控制參數滿足A-P2Q=0或A-P1Q-B=0

證明根據條件①可知，式（15）成立，根據突變理論可知，突變狀態發生的臨界面即式（18）所示曲面在（u，v）方向的投影，根據空間解析幾何原理可知，式（18）所示突變發生時的臨界面滿足如下兩個條件：

將式（11）代入式（19），得：

式中，u、v含義同式（17）。將式（20）化簡得

將式（17）代入式（21），化簡得

因為a≠0且b=a-c，所以式（21）等價于c=0或a+c=0。根據式（16）中a、b、c含義可知，“突變”發生的臨界面的表達式為：

因此，當演化過程中參數連續變化并在該曲面某點臨域內穿過曲面時，過街行人行為決策發生巨大變化，行人開始群體性強行過街，引發“突變”現象的產生。

3 “中國式過馬路”行為決策隨機均衡與突變現象分析

根據定理1可知，式（6）所示行人過街隨機演化系統滿足尖點突變的形式，為了更直觀地體現考慮隨機效用影響下，“中國式過馬路”過街行人的動態突變行為并探討合理的管治措施，本文針對所建隨機演化博弈模型進行數值仿真，考慮如下幾方面的影響作用。

3.1 紅燈時間對系統隨機演化的擾動作用分析

令B=15，Q=90，P1=0.375，P2=0.75，δ（x）=0.3；設紅燈時間A從40逐漸增加到90，得到隨機演化過程如圖1所示。圖1（a）、（b）分別為確定條件與隨機擾動的演化過程（圖1（a）介于0和1）。從演化路徑來看，確定條件下的演化路徑趨勢明顯，呈單調變化趨勢；而隨機擾動條件下演化路徑呈明顯上下波動趨勢；特別注意A=60時，確定條件下的演化曲線迅速趨向于0（圖1（b）），而受到隨機擾動后迅速趨近1，并一直以1為期望值作小區域平穩波動（圖1（a））。可見，隨機擾動能夠改變過街行為演化的最終結果。

圖1 紅燈時間變化下的行人過街狀態演化示意圖

其次，觀察紅燈時間變化影響下行人過街行為的“突變”現象，如圖1（a）隨機演化曲線所示。當紅燈時間A從40變化至60時，先行闖燈行人比例一直在0附近波動；而A取值大于60時，演化軌跡從原來0 的鄰域突然躍遷到1，中間沒有任何過渡。把這種過街行為表現出的“跳躍性”變化稱為“結構性突變”，而這種突變是由于博弈過程的內在機理受到隨機擾動而引起的，是隨機演化的最終結果。說明在實際交通環境下，行人博弈存在“臨界邊界”，一旦越過這個邊界，行為選擇就會發生顯著變化，表現出“突變”現象。

進一步，從理論上分析“突變”現象的內在機理。根據定理1計算得圖2（a）所示系統三維演化圖，圖2（b）表示突變曲面在控制變量u-v平面的投影邊界，點1～5依次對應紅燈時間A在不同取值下的控制變量二維值；根據定理2計算得到點1、2位于突變邊界線上，點3～5位于突變平面內部。可見，當參數A發生變化時，控制變量v從突變邊界轉移到平面內部，狀態變量z從三維曲面的上葉沿著邊界突變到下葉，行人過街行為突變現象隨之發生。

圖2 紅燈時間動態變化下的過街行為突變示意圖

最后，根據式（11）計算得到圖3所示紅燈時間動態變化下行人先行闖燈比例極限概率密度函數。可見，在紅燈時間逐漸增大的過程中，極限概率密度函數也發生了明顯的“突變”現象。當A=40時，極限概率密度函數呈明顯的“左尾”，表明行人以較高概率選擇遵守交通規則；而當A=90時，極限概率密度函數出現了明顯的“右尾”，表明行人以較高概率選擇先行闖燈。因此，圖2～3所示系統演化過程均與圖1（b）所示系統狀態動態演化圖所表現出的突變現象吻合，驗證了突變現象的正確性。

圖3 紅燈時間動態變化下的極限概率密度函數圖

根據上述分析可得如下結論：隨機效用的影響能夠對行人過街行為產生顯著擾動作用；行人更傾向于選擇先行闖燈；另外，紅燈時間超過一定階段時，行為發生突變，所有行人以較高比例選擇先行闖燈，說明行人等待時間存在“上限”。當超過該上限時，過街行人行為發生明顯“突變”，開始選擇先行闖燈，這也與實際道路系統中觀察到的情形一致[20]。

3.2 跟隨闖燈收益變化對系統隨機演化的擾動作用分析

令A=60，δ（x）=0.2，B從30變化至55；過街行為隨機演化過程如圖4所示。圖4所示為考慮隨機擾動前后行人過街演化狀態對比圖，雖然演化的路徑存在較大差異，但演化的最終穩定點并無顯著變化；并未表現出明顯的“突變”現象，說明過街行人對跟隨闖燈收益參數變化并不敏感。

圖4 跟隨者收益變化下的行人過街狀態演化示意圖

根據定理2可知，B=37.5時達到突變的臨界狀態（如點2所示），但并未表現出明顯的突變現象。圖5（b）所示的極限概率密度函數變化平穩，可以推斷，當B發生變化時，點1、2并不處于三維演化曲面的上下葉，而是位于之間的突變曲面上。因此，變化平穩，未出現明顯的“突變”現象，也說明本例中過街行人對跟隨闖燈收益的敏感性不高。

3.3 懲治措施對系統隨機演化的擾動作用分析

懲治措施是當前交管部門采取應對“中國式過馬路”現象的常見手段，令B=15，A=60；令懲治措施負效用Q從85逐漸增加到150，得到隨機演化過程如圖6所示。首先考慮效用隨機擾動對演化過程和結果的影響，圖6表示未考慮/考慮隨機因素影響下的行人過街狀態演化示意圖。當Q=85，90時，圖6（a）顯示，在所有情況下過街行人先行闖燈比例最終收斂至0；而圖6（b）顯示，布朗差隨機效用影響下，行人選擇先行闖燈。可見，隨機效用能夠在一定條件下對行人過街選擇行為產生顯著影響；也表示在懲治措施參數變化過程中行人選擇行為發生了“突變現象”。進一步對上述突變行為進行理論分析，圖7展示了懲治措施變化下的先行闖燈行為突變內在機理。與上文的分析類似，將式（18）中突變曲面投影到u-v控制平面上，計算突變邊界投影線，如圖7（a）所示。根據定理2可知，Q=85～90時，系統靠近突變邊界線（如點1、2所示），此時，行人過街行為發生突變。最后，考察極限概率密度軌跡，與圖3類似，圖8所示極限概率密度函數圖對不同參數取值的變化過程也表現出了從“右尾”到“左尾”的變化，也驗證了突變現象與模型機理的正確性。

圖5 跟隨者收益變化下的極限概率密度函數圖

根據上述分析可得如下結論：在考慮隨機效用影響下，出行者對懲治措施的敏感性變弱，應增加懲治力度才能對“中國式過馬路”行為產生約束；另外，懲治措施只要跨越過街行為博弈突變的“臨界面”，便可收到良好的效果。

圖6 懲治措施變化下的行人過街狀態演化示意圖

圖7 懲治措施變化下過街行為突變示意圖

圖8 懲治措施動態變化下的極限概率密度函數圖

4 結語

本文將“中國式過馬路”現象中過街行為分為先行闖紅燈和跟隨闖紅燈兩類策略；運用博弈思想建立了行人過街動態演化模型，在此基礎上引入布朗運動差刻畫隨機擾動對過街博弈行為的影響；借助隨機尖點突變理論探討動態過街行為中策略選擇的突變性問題，進一步從理論層面論述了過街行為突變現象產生的原因、臨界條件和突變過程。最后，通過數值仿真探討隨機擾動對過街行為的影響作用，刻畫隨機擾動下系統動態演化軌跡曲線特性，給出了相應交通管理策略。研究結果表明：①博弈過程中隨機擾動在一定條件下對過街行為的演化模式、過程和最終結果均存在顯著影響。②過街行人紅燈等待時間存在一定“上限”，在隨機擾動影響下，出行者對該“上限”的敏感性提高，行為易發生“突變”。因此，在設置行人過街時間時應考慮盡量不超過該“上限”值。③在隨機擾動影響下，出行者對懲治措施的敏感性變弱。因此，應增加懲治力度才能對“中國式過馬路”行為產生約束。另外，懲治措施不需要制定的過高，只要跨越過街行為的“突變邊界”，便可有效制止“中國式過馬路”不良行為。