基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型

曹勇 ，李孟剛 ，李剛，常友玲

（東北大學 秦皇島分校1a.經濟學院；1b.管理學院，河北 秦皇島 066004；2.北京交通大學 中國產業安全研究中心，北京 100044）

商業銀行信貸資金的優化配置是金融資產優化配置的一個特定領域，從金融資產優化配置決策所采用的方法看，非線性數學規劃方法被經常采用。不同金融資產優化配置模型的差別，主要在所建立的目標函數或約束條件上具有特色。Alexander等[1]通過最小化投資組合收益率的方差建立了股票投資組合優化模型。Quaranta等[2]通過最小化投資組合的CVaR 值建立了股票投資組合的優化配置模型。劉艷萍等[3]通過最大化貸款組合的效用函數建立了銀行貸款組合的優化配置模型。Brandtner[4]對比研究了最小化CVaR 與最小化組合收益率方差對投資組合優化配置決策的影響。

由于貸款組合的效用函數是一個關于貸款組合期望收益率的增函數和關于收益率方差的減函數，又由于無論是投資組合收益率的方差，還是投資組合的VaR 或CVaR 值都是反映投資組合收益率的波動幅度或分布特征，也就是投資組合的風險，所以計量貸款組合的收益率和風險是構建銀行貸款組合優化配置模型的基礎。Frey等[5]利用Bernoulli混合模型研究了信貸組合VaR 和CVaR 值的計算。Dietsch等[6]采用次序Probit模型和Gamma分布研究了法國中小企業貸款組合的風險計量。Lucas等[7]采用狀態轉換模型探討了經濟擴張和衰退情況下的信用轉移矩陣及其對信貸組合風險的影響。Rosen等[8]研究了信貸組合風險產生的原因及其對風險的邊際貢獻。Tsaig等[9]探討了信用遷移對銀行貸款組合和債券組合價值方差的影響。

上述關于貸款組合風險計量方法的研究為銀行貸款組合優化配置模型的構建奠定了基礎。遲國泰等[10]在貸款組合收益率既定及VaR 約束條件下，通過最小化貸款組合收益率的方差建立銀行貸款組合優化決策模型。郭戰琴等[11]在VaR 約束下，通過最小化貸款組合收益率的方差和最大化貸款組合期望收益率建立貸款組合優化的多目標規劃模型。劉艷萍等[3]在VaR 約束下，通過最大化貸款組合的效用函數建立銀行貸款組合的優化配置模型。洪忠誠等[12]利用信用風險遷移矩陣，通過最小化貸款組合的CVaR 值建立銀行貸款組合的優化模型。

現有貸款組合優化配置模型的研究取得了長足進展，但仍然存在需要進一步深入研究的問題。現有商業銀行信貸組合優化配置模型多是探討銀行信貸資金在公司間的優化配置，這類研究對于商業銀行同時對多家公司進行貸款的決策問題具有重要參考意義，但現有研究很少探討商業銀行信貸資金如何在行業之間進行優化配置。

本文在現有研究基礎上，進一步探討銀行信貸資金在行業間的優化配置問題，從而使商業銀行信貸資金在整體上達到最優。本文的創新與特色在于：以行業內代表性上市公司市值加權的股票價格作為行業平均股價，以市值加權的每股負債作為行業平均每股負債。根據行業平均股價與行業平均每股負債，應用KMV 模型計算行業違約概率，解決了行業違約概率不能直接計算的難題。在應用KMV模型計算行業違約概率的基礎上，利用正態Copula函數計算m個行業2m種違約狀態的聯合違約概率，解決了行業違約狀態的聯合概率因不可直接觀測而難以計量的問題。以對m個行業的貸款權重為優化變量，以銀行整體信貸資金的差異系數最小化為目標函數，建立基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型，求解出每個行業的最優貸款權重，能夠使得銀行整體信貸資金獲取單位收益的風險最小。本文構建的基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型，對于商業銀行信貸資金在行業間的優化配置與風險管理具有重要參考意義。

1 基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型構建原理

1.1 研究目標

商業銀行在貸款發放過程中，既需要在微觀上考慮對哪些公司貸款及貸款比例為多少，能夠使得貸款風險一定時收益最大，或收益一定時風險最小；也需要在宏觀上控制信貸資金在各行業間的配置比例，從而分散貸款的集中度，在保證信貸資金收益率的同時降低風險，使得商業銀行信貸資金在整體上達到最優。

本文構建了基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型，為銀行信貸資金在行業間的優化配置提供決策參考。

1.2 開展研究的難點

（1）行業違約風險難以計量。現有違約風險計量模型，如Logistic、KMV、Credit Risk+、Credit Metrics等模型，均是針對公司或上市公司，其違約風險計量的依據是公司財務指標或上市公司的股票價格與每股負債等。而對于行業而言，既不存在確定的財務指標值，也無對應的股票價格與每股負債。因此，行業違約風險難以計量，而違約風險的計量又是貸款定價與信貸資金優化配置的基礎參數。

（2）行業間違約狀態的聯合概率不可觀測。違約狀態指在m筆貸款到期時，每筆貸款是否如期償付本息的狀況，由于每筆貸款均存在到期違約的可能性，即每筆貸款到期時均存在違約或不違約兩種狀態，故理論上在m筆貸款到期時共有2m種違約狀態。將每一種違約狀態可能發生的概率稱為違約狀態的聯合概率。由于行業間違約狀態的聯合概率實際不可觀測，故違約狀態聯合概率的測算存在困難。

（3）銀行信貸資金收益率波動的分布特征難以確定。在上述不同的違約狀態下，銀行信貸資金的收益率是變化的，如果能夠確定信貸資金收益率的分布特征，則可據以計算銀行信貸資金收益率的方差、VaR 或CVaR 值等，進而可構建銀行貸款資金優化配置模型。但是由于行業間違約狀態的聯合概率不可直接觀測，故銀行信貸資金收益率的期望及其方差難以計算，亦即銀行信貸資金收益率的分布特征難以確定。

1.3 解決難點的思路

（1）行業違約風險計量的思路。將行業視為行業內代表性上市公司的加總，以行業內代表性上市公司市值加權的股票價格作為行業平均股價，以市值加權的每股負債作為行業平均每股負債。根據行業平均股價與行業平均每股負債數據，應用KMV模型計算行業違約概率，解決行業違約風險難以計量的問題。

（2）行業間違約狀態聯合概率測算的思路。將商業銀行對m個行業的貸款在到期時區分為2m種違約狀態。例如銀行對A 和B兩個行業貸款，則在貸款到期時，有2m=22=4種違約狀態，分別為：A、B行業均不違約、A 行業違約而B行業不違約、A 行業不違約但B行業違約、A、B行業均違約。在上述應用KMV模型計算行業違約概率的基礎上，再應用正態Copula函數計算各違約狀態的聯合概率，從而解決行業間違約狀態聯合概率不可直接觀測的問題。

（3）銀行信貸資金收益率分布特征確定的思路。將行業違約概率與貸款違約損失率的乘積作為對該行業貸款的信用風險溢價。在銀行貸款基準利率的基礎上再加上行業貸款信用風險溢價，作為對該行業貸款的貸款利率。在貸款到期時，如行業不違約，則對該行業貸款的收益率為貸款利率；如違約，則貸款的收益率為負且其值等于違約損失率。根據2m種違約狀態下整體信貸資金的收益率及各違約狀態的聯合概率，確定銀行整體信貸資金收益率波動的分布特征，從而解決銀行整體信貸資金收益率分布特征難以確定的問題。

在上述解決難點思路的基礎上，構建基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型，方法為：根據2m種違約狀態下整體信貸資金的收益率及各違約狀態的聯合概率，計算銀行整體信貸資金收益率的期望及其方差，進一步計算銀行整體信貸資金的差異系數，即信貸資金獲取單位收益所承擔的風險。將銀行全部信貸資金視為單位1，以對m個行業的貸款權重為優化變量，以銀行整體信貸資金的差異系數最小化為目標函數，建立基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型，為商業銀行信貸資金在行業間的優化配置提供決策參考。

基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型構建原理如圖1所示。

圖1 基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型構建原理圖

2 基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型

2.1 行業平均股價與平均每股負債的計算

2.1.1 行業平均股價的計算假設某行業有n家代表性上市公司。記Pi為第i個代表性上市公司的股票價格，Qi為第i個代表性上市公司的股票數量，w i為第i個上市公司的市值在n家代表性上市公司總市值中所占的權重（i=1，2，…，n），則有

根據行業內n家代表性上市公司的股票價格P i及以市值計算的權重w i，可計算得到行業平均股票價格。記P為該行業的平均股票價格，則有

式（2）的經濟學含義：行業的平均股票價格等于行業內代表性上市公司的股票價格與其根據市值計算的權重的乘積之和。

2.1.2 行業平均每股負債的計算 記STDi為行業內第i家代表性上市公司的每股短期負債，STD為該行業的平均每股短期負債，則有

式（3）的經濟學含義：行業平均每股短期負債等于行業內代表性上市公司的每股短期負債與其根據市值計算的權重的乘積之和。

類似地，記LTDi為行業內第i家上市公司的每股長期負債，LTD 為該行業的平均每股長期負債，則有

式（4）的經濟學含義：行業平均每股長期負債等于行業內代表性上市公司的每股長期負債與其根據市值計算的權重的乘積之和。

2.2 行業平均每股資產價值及資產收益波動率的計算

2.2.1 行業平均每股收益波動率的計算 行業平均每股收益率是指根據行業平均股票價格計算的每股收益率。記Pt為某行業在t時期的平均股票價格，rt為該行業在t時期的平均每股收益率，則有[13]

式（5）的經濟學含義：t時期的行業平均每股收益率r t等于t時期的行業平均股價P t取自然對數后的1階差分。

記T為考察的行業平均每股收益率的期間數為該期間行業平均每股收益率的均值，σS為某行業平均每股收益波動率，則有[14]

式（6）的經濟學含義：行業平均每股收益波動率σS為行業平均每股收益率r t的標準差。

計算行業平均每股收益波動率的作用是通過行業平均股票價格和行業平均每股收益波動率計算行業平均每股資產價值及每股資產收益波動率。

2.2.2 計算行業平均每股資產價值及資產收益波動率的聯立方程 由于上市公司財務報表中資產價值核算的是公司資產的歷史成本，并不能準確地反映公司資產的市場價值。為解決該問題，KMV 模型通過上市公司的股票價格及股票收益波動率來測算公司的資產價值及資產收益波動率。其測算原理是將上市公司股票價值視為以公司資產價值為標的資產，以公司負債為執行價格的看漲期權價值，從而構建計算上市公司每股資產價值及資產收益波動率的聯立方程[13]。

本文將行業視為行業內代表性上市公司的加總，因此，將行業平均股票價格替代KMV 模型中的上市公司股票價格，將行業平均每股負債替代KMV 模型中的公司每股負債，應用KMV 模型的原理和方法，測算行業違約概率，從而解決行業違約概率不可觀測的難題。

記S為行業平均股票價格，σS為行業平均每股收益波動率，V為行業平均每股資產價值，σV為行業平均每股資產收益波動率，D為行業平均每股負債，rf為無風險利率，N（·）為標準正態分布的累積概率分布函數，則有[13]

式中：

式（7）為Black-Scholes期權定價公式，其經濟學含義為：行業平均股票價格S等于行業平均每股資產價值與以d1為參數的標準正態累積概率的乘積VN（d1）減去行業平均每股負債D與以d2為參數的標準正態累積概率乘積DN（d2）以無風險利率rf折現后的差。

為求解式（7）中V及σV這兩個未知變量，KMV模型引入股票收益波動率σS與資產收益波動率σV，兩者之間存在如下函數關系[13]：

式（8）中各符號的含義同前。式（7）、（8）聯立構成非線性方程組，解此非線性方程組可計算得到行業平均每股資產價值及每股資產收益波動率。

2.2.3 求解聯立方程的算法 利用Newton迭代法可求解式（7）、（8）聯立構成的非線性方程組，為此構造函數分別為[14]：

求解行業平均每股資產價值V與每股資產收益波動率σV的迭代公式為[14]

式中：V0為行業平均每股資產價值的給定初值；σV0為每股資產收益波動率的給定初值。應用式（11）多次迭代可計算行業平均每股資產價值V及每股資產收益波動率σV。迭代停止的條件是相鄰兩次迭代結果的誤差足夠小，如小于10-5。

利用Newton迭代算法求解式（7）、（8）聯立構成的非線性方程組，計算得到行業平均每股資產價值V及每股資產收益波動率σV，為進一步采用KMV 模型計算行業違約概率奠定了基礎。

2.3 基于KMV 模型與正態Copula函數的行業違約狀態聯合概率的計算

2.3.1 基于KMV 模型的行業違約概率測算

KMV 模型根據上市公司資產價值、公司負債和公司資產收益波動率計算公司違約距離，再通過違約距離計算公司違約概率[13]。

本文將行業平均每股資產價值替代KMV 模型中的上市公司每股資產價值，將行業平均每股負債替代公司每股負債，將行業資產收益波動率替代上市公司資產收益波動率，再利用KMV 模型的方法計算行業違約概率。

記STD 為行業平均每股短期負債，LTD 為行業平均每股長期負債，D為行業違約臨界點，KMV模型將違約臨界點D設定為短期負債STD 加γ倍的長期負債LTD[13]，即

式（12）的經濟學含義：行業違約臨界點D等于行業平均每股短期負債STD 加上行業平均每股長期負債LTD 乘以折扣系數γ值后的和。

根據穆迪KMV 公司的統計數據，當公司資產價值低于其短期負債加0.5倍的長期負債時，公司違約最為頻繁，故取γ=0.5[13]。由于本文將行業視為行業內代表性上市公司的加總，故對行業違約臨界點的測算也取γ=0.5。

記V為行業平均每股資產價值，σV為行業平均每股資產收益波動率，DD為行業違約距離。根據KMV 模型，行業違約距離[13]

式（13）的經濟學含義：行業違約距離DD等于行業平均每股資產價值V減去行業違約臨界點D的差，再除以行業平均每股資產價值V與行業平均每股資產收益波動率σV之積的商。

在假定行業平均每股資產價值V服從正態分布的條件下，行業違約概率為[13]

式中，N（·）為標準正態分布的累計概率分布函數。

式（14）的經濟學含義：行業違約概率PD等于以負的行業違約距離DD為參數的標準正態分布的累計概率。查標準正態累積概率分布表，可得到給定參數-DD的概率值。由式（14）可知，DD與PD呈反向變化關系，DD越大，PD越小。

根據行業平均每股資產價值、行業平均每股負債和行業每股資產收益波動率計算行業違約距離，再通過行業違約距離計算行業違約概率，解決了行業違約概率不可觀測的問題。

2.3.2 行業違約距離之間相關系數矩陣的計算 在所考察的某段時期內取T個時間點，在每個時間點上，應用式（13）計算m個行業的違約距離。

記DD kt為第k個行業在第t個時點上的違約距離，DD jt為第j個行業在第t個時點上的違約距離，其中，k=1，2，…，m，j=1，2，…，m，t=1，2，…，T。記ρkj為第k、j個行業違約距離的相關系數，則有

應用式（15）可計算出任意兩個行業違約距離之間的相關系數，從而得到m個行業違約距離之間的相關系數矩陣，并記R=[ρkj]m×m為m個行業違約距離的相關系數矩陣。

2.3.3 基于正態Copula函數的行業違約狀態聯合概率的計算 由于對每一個行業的貸款在到期時均有違約和不違約兩種狀態，故對m個行業貸款的違約狀態共有2m種。

對于單個行業的違約概率可用式（12）～（14）中的KMV 模型計算。

由于KMV 模型采用正態分布完成從違約距離到違約概率的計算（見式（14）），故本文采用正態Copula函數計算m個行業2m種違約狀態的聯合概率。

用s=1，2，…，2m分別標記m個行業的2m種違約狀態；記JPDs為第s種違約狀態的聯合概率，則違約狀態聯合概率為[15]

式中：R=[ρkj]m×m為m個行業違約距離的相關系數矩陣；ΦR（·）為以相關系數矩陣R為參數的m維正態分布的聯合概率分布函數；Φ-1（·）為1維標準正態分布函數的逆函數。

由式（14）可知，-DD=Φ-1（PD），故式（16）可變形為

調用Matlab 軟件中的多元正態分布函數mvncdf（）可方便地計算出第s種違約狀態的聯合違約概率JPDs。

計算m個行業違約狀態聯合概率的作用是為進一步計算對m個行業貸款的貸款組合收益率均值和方差奠定基礎。

2.4 基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型

2.4.1 基于信用風險溢價的行業貸款利率的計算 記rk為銀行對第k個行業的貸款利率，rb為商業銀行貸款的基準利率，PD k為第k個行業根據KMV 模型計算的行業違約概率，LGD 為銀行貸款的違約損失率，則有

式中：右端第1項為銀行貸款的基準利率rb；第2項為第k個行業的違約概率PD k乘以銀行貸款的違約損失率LGD，稱為銀行對第k個行業貸款的信用風險溢價CS k。

式（18）的經濟學含義：對第k個行業貸款的利率等于銀行貸款的基準利率加上對第k個行業貸款的信用風險溢價。根據式（18）確定行業貸款利率的好處是能夠使行業違約風險導致的期望損失在貸款利率中得到補償。

2.4.2 貸款組合收益率均值、方差與差異系數的計算 設銀行同時對m個行業貸款，記rk為銀行對第k個行業貸款的利率，由式（18）計算得到。將銀行整體信貸資金設為1，并設w k為銀行對第k個行業貸款的權重，顯然，有約束成立。

為簡單起見，假設對m個行業貸款的到期日相同，且期限均為1年。用示性函數I（s，k）表示在第s種違約狀態下第k個行業是否違約，如果在第s種違約狀態下第k個行業違約，則I（s，k）=1；否則，I（s，k）=0。其中，s=1，2，…，2m，k=1，2，…，m。

記rps為銀行整體信貸資金在第s種違約狀態下的收益率，則有

如果在第s種違約狀態下，第k個行業不違約，則I（s，k）=0，且1-I（s，k）=11，即式（19）右端大括號中起作用的項變為rk，即銀行對第k個行業的貸款到期時獲得r k的收益率。

如果在第s種違約狀態下，第k個行業違約，則I（s，k）=1，且1-I（s，k）=0，即式（19）右端大括號中起作用的項變為-LGD，即銀行對第k個行業的貸款到期時損失LGD。

綜上所述，式（19）的經濟學含義為：在第s種違約狀態下，銀行整體信貸資金的收益率r ps等于對m個行業貸款的收益率rk或損失率-LGD的加權和。

記E（rp）為銀行整體信貸資金在2m種違約狀態下的期望收益率，JPDs為第s種違約狀態的聯合概率（見式（17）），則有

式（20）的經濟學含義為：銀行整體信貸資金的期望收益率E（rp）等于2m種違約狀態的聯合概率JPDs與該違約狀態下銀行整體信貸資金收益率r ps的乘積和。

記var（rp）為銀行整體信貸資金收益率的方差，則由統計學中方差的計算公式易得

從而，銀行整體信貸資金收益率的標準差為

記θ為銀行整體信貸資金收益率的差異系數，由差異系數的定義[3]，有

式（23）的經濟學含義：銀行整體信貸資金的差異系數θ等于銀行整體信貸資金收益率的標準差std（rp）除以銀行整體信貸資金的期望收益率E（rp）。銀行整體信貸資金的差異系數θ反映了銀行通過對m個行業發放貸款，獲得單位收益率所承擔的風險大小。差異系數越大，說明銀行獲得單位收益率所承擔的風險也越大。

2.4.3 基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型 當商業銀行整體信貸資金中對各行業的貸款權重w k變化時，銀行整體信貸資金的期望收益率E（rp）及其標準差std（rp）、銀行整體信貸資金的差異系數θ也相應變化。

以銀行整體信貸資金中對m個行業的貸款權重w k為決策變量；以最小化銀行整體信貸資金的差異系數θ為目標函數；以銀行整體信貸資金的期望收益率E（rp）大于或等于目標收益率ro、貸款權重大于或等于0、且貸款權重之和等于1為約束條件，構建銀行信貸資金行業間優化配置模型：

目標函數式（24）通過最小化商業銀行整體信貸資金的差異系數θ，能夠使銀行整體信貸資金獲取單位收益率所承擔的風險達到最小。約束條件式（25）使銀行整體信貸資金的期望收益率大于或等于目標收益率；式（26）使銀行信貸資金全部貸放出去；式（27）使銀行對任一行業的貸款為非負值。

式（24）～（27）可使用Matlab軟件的優化工具箱或Excel軟件的規劃求解等多種軟件求解。通過求解式（24）～（27），可得到對每個行業貸款的最優權重，為商業銀行信貸資金在行業間的優化配置提供決策參考。

3 基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型算例

3.1 樣本選取

選取機械設備業、建筑業、金屬非金屬業、運輸倉儲業和批發零售業5個行業作為樣本行業，每個樣本行業均選取4家代表性樣本公司，共20家樣本公司，如表1所示。

3.2 行業平均股價與平均每股負債的計算

3.2.1 行業平均股價的計算 20家樣本上市公司2011年的股票周收盤價格如表2所示。表2 中樣本上市公司股票周收盤價格來自Wind資訊金融終端。鑒于篇幅，表2僅列出了部分樣本上市公司股票的部分周收盤價格。

表1 樣本行業與樣本公司名稱

表2 上市公司股票周收盤價格

根據上市公司市值計算的樣本公司在行業中的權重如表3所示。以表3 許繼電器平均股價14.586 1 元/股為例，說明樣本公司平均股價的計算過程。將表2許繼電器51個周的周收盤價格取平均值，可計算得到許繼電器平均股價為14.586 1元/股。表3第3列其他數據的計算類推，不贅述。

表3 根據上市公司市值計算的樣本公司權重

以表3 許繼電器在機械設備業中的權重等于0.063 0為例，說明樣本公司在行業中所占權重的計算過程。將表3機械設備業4家樣本公司的平均股價及其股本總數代入式（1），可計算得到許繼電器在機械設備業中的權重等于0.063 0。表3第5列其他數據的計算類推。

根據行業內代表性上市公司的股價及其權重，可計算得到行業平均股價、及行業平均每股收益率，計算結果如表4所示。

表4 行業平均股價及行業平均每股收益率

以表4中機械設備業在2011年1月7日的平均周收盤股價10.365 3元/股為例，說明行業平均股價的計算過程。將表2中許繼電器、云內動力、特變電工和中國北車的周收盤價格，及表3中上述4家上市公司的公司權重代入式（2），可計算得到機械設備業在2011 年1 月7 日的平均周收盤股價為10.365 3元/股。表4第3～7列的行業平均股價的計算過程類推。

由于每股收益率的計算需要用到本期及上一期的股票價格，故第1周2011年1月7日對應的每股收益率沒有計算，即表4第1行第8～12列的數據為空。

以表4中機械設備業在2011年1月14日的平均每股收益率-0.033 4為例，說明行業平均每股收益率的計算過程。將表4 中機械設備業在2011年1月14日和2011年1月7日的周收盤價格代入式（5），可計算得到機械設備業的平均每股收益率為-0.033 4。表4第8～12列的行業平均每股收益率的計算過程類推。

3.2.2 行業平均每股負債的計算20家樣本上市公司的每股短期負債與每股長期負債數據如表5所示。表5中第3、4列的數據來自Wind資訊金融終端。以表5中許繼電器違約臨界點D=9.696 0元/股為例，說明上市公司違約臨界點的計算過程。將表5中許繼電器每股短期負債、每股長期負債及參數γ=0.5[13]代入式（12），計算得到許繼電器違約臨界點D=9.696 0元/股。表5第5列其他數據的計算類推。

表5 樣本上市公司的每股負債

3.3 行業平均每股資產價值及資產收益波動率的計算

3.3.1 行業平均每股收益波動率的計算根據行業平均股價S、行業平均每股收益波動率σS求解式（7）、（8），可計算得到行業每股資產價值V及行業資產收益波動率σV，計算結果如表6所示。

以表6 中機械設備業加權股價的均值為8.484 5元/股為例，說明行業加權股價均值的計算過程。對表4 中機械設備業51 個周的加權股價取平均值，得到機械設備業加權股價的均值為8.484 5元/股。

表6 樣本行業違約距離與違約概率

以表6 中機械設備業股票收益波動率σS=0.272 1為例，說明行業股票收益波動率的計算過程。將表4中機械設備業股票收益率及其均值、時期數T=50代入式（6），可計算得到機械設備業股票收益波動率σS=0.272 1。

以表6 中機械設備業違約臨界點D=7.350 5元/股為例，說明行業違約臨界點的計算過程。將表5中機械設備業代表性上市公司許繼電器、云內動力、特變電工和中國北車的違約臨界點分別與表3中上述4家上市公司的權重相乘，然后相加，計算得到機械設備業違約臨界點D=7.350 5元/股。

3.3.2 行業平均每股資產價值及資產收益波動率的計算通過求解由式（7）、（8）構成的聯立方程組，計算得到行業每股資產價值和資產收益波動率。

由于表6第6、7列的數據通過求解聯立方程組同時得到，故一并說明其計算過程。以列機械設備業每股資產價值V=15.632 0元/股、資產收益波動率σV=0.147 7為例，說明行業每股資產價值和資產收益波動率的計算過程。

將表6中機械設備業的加權股價均值、股票收益波動率、違約臨界點及無風險利率rf=0.028 0[16]分別代入式（7）、（8），利用式（9）～（11）所示的Newton迭代法，計算得到機械設備業每股資產價值V=15.632 0元/股、資產收益波動率σV=0.147 7。上述求解過程可利用Matlab軟件求解非線性方程組的fsolve函數實現。

3.4 基于KMV 模型與正態Copula函數的行業違約狀態聯合概率的計算

3.4.1 基于KMV 模型的行業違約概率測算以表6中機械設備業違約距離DD=3.587 4為例，說明行業違約距離的計算過程。將表6中機械設備業的每股資產價值、資產收益波動率及違約臨界點代入式（13），計算得到機械設備業違約距離DD=3.587 4。

以表6中機械設備業違約概率PD=0.000 167為例，說明行業違約概率的計算過程。將表6中機械設備業違約距離代入式（14），計算得到PD=0.000 167。

3.4.2 行業違約距離之間相關系數矩陣的計算應用正態Copula函數計算m個行業2m種違約狀態的聯合概率時，需用到m個行業違約距離之間的相關系數矩陣，為此，本文計算了5 個樣本行業2011年4個季度的違約距離。計算結果如表7所示。

表7各列數據的計算過程與表6相應列數據的計算過程類似，只是計算的時間區間由年度變為季度。因此，表7各列數據的計算過程不贅述。

根據表7中5 個樣本行業4 個季度的違約距離，利用式（15）可計算出違約距離的相關系數矩陣。但直接計算出的行業違約距離相關系數矩陣近似為奇異矩陣，不能直接應用于正態Copula函數計算m個行業2m種違約狀態的聯合概率。本文根據行業4 個季度的違約距離，首先計算出行業違約距離的均值與方差，然后根據行業違約距離的均值和方差并利用正態分布，每個行業隨機生成20個違約距離，再應用式（15）計算違約距離的相關系數矩陣，可解決直接計算相關系數矩陣近似為奇異矩陣的問題。

鑒于篇幅，每個樣本行業隨機生成的20個違約距離略。5個樣本行業違約距離之間的相關系數矩陣如表8所示。表8 所示的相關系數矩陣可利用Excel軟件的correl（）函數方便得到。

根據樣本行業的違約距離及違約距離之間的相關系數矩陣，利用正態Copula函數可計算得到各違約狀態的聯合概率，結果如表9所示。

表7 樣本行業季度違約距離

表8 行業違約距離的相關系數矩陣

表9 樣本行業的違約狀態及其聯合概率

3.4.3 樣本行業的違約狀態本文算例中共有5個樣本行業，由于在貸款到期時，每個行業均存在違約或非違約兩種可能的狀態，故樣本行業的違約狀態共有25=32種，其中，“0”表示非違約，“1”表示違約。

表9第1行第2～6列表示在第1種違約狀態下，5個樣本行業的違約狀況，由于表9 第1 行第2～6列的數據均為“0”，表示在第1種違約狀態下，5個樣本行業均不違約。表9第2行第2～6列為第2種違約狀態下，5個樣本行業的違約狀況，由于表9第2行第2列的數字為“1”，表示在第2種違約狀態下，機械設備在貸款到期時違約；而表9第2行第3～6列的數字為“0”，表示其他4個樣本行業非違約，即在貸款到期時正常還本付息。

表9其他各行第2～6列表示在對應違約狀態下，5個樣本行業是否違約的“0”“1”標識的含義類推。特別地，在第32種違約狀態下，表9第32行第2～6列數字均為“1”，表示在第32種違約狀態下，5個樣本行業均違約。限于篇幅，表9中僅列出了部分違約狀態下各樣本行業是否違約的標識。

3.4.4 各違約狀態下樣本行業的違約距離當某行業貸款到期時，根據KMV 模型，其違約概率PD=N（-DD），即式（14），其中，N（·）為標準正態分布的累積概率分布函數。因此，該行業違約概率對應的違約距離為-DD；相應地，該行業不違約的概率為1-PD，由標準正態分布累積概率分布函數的性質，有1-PD=1-N（-DD）=N（DD）。因此，該行業非違約概率對應的違約距離為DD。

表9第1行第7～11列表示在第1種違約狀態下，5個樣本行業違約概率或非違約概率對應的違約距離。由表9第1行第2～6列數據知，在第1種違約狀態下，5個樣本行業均不違約，故表9第1行第7～11列數據分別為5個樣本行業非違約概率對應的違約距離DD i，而5個樣本行業非違約概率對應的違約距離DD i來自于表6第1～5行第8列數據。

表9第2行第7～11列表示在第2種違約狀態下，5個樣本行業違約概率或非違約概率對應的違約距離。由表9第2行第2列數據知，在第2種違約狀態下，機械設備業違約，故表9第2行第7列數據為機械設備業違約概率對應的違約距離-DD i，而機械設備業違約概率對應的違約距離來自于表6第1行第8列數據取負號。

由表9第2行第3～6列數據可知，在第2種違約狀態下，除機械設備業以外的其余4個樣本行業非違約，故表9 第2 行第8～11 列數據分別為該4個樣本行業非違約概率對應的違約距離DD i，而該4個樣本行業非違約概率對應的違約距離來自于表6第2～5行第8列。

表9其他各行第7～11列數據的含義、來源及其計算過程類推。特別地，在第32種違約狀態下，5個樣本行業均違約。因此，表9第32行第7～11列數據分別為5個樣本行業違約概率對應的違約距離-DD i，而5個樣本行業違約概率對應的違約距離來自于表6第1～5行第8列數據取負號。

限于篇幅，表9中僅列出了部分違約狀態下各樣本行業是否違約對應的違約距離。

3.4.5 基于正態Copula函數的行業違約狀態聯合概率的計算以表9中第1種違約狀態的聯合概率JPDs=0.871 709 為例，說明違約狀態聯合概率JPDs的計算過程。

將表9中5個樣本行業的違約距離DD i、表8中5個樣本行業違約距離的相關系數矩陣代入式（17），可計算得到第1 種違約狀態的聯合概率JPDs=0.871 709。

3.5 基于違約狀態聯合概率的銀行信貸資金行業間優化配置模型應用算例

3.5.1 基于信用風險溢價的行業貸款利率的計算表10所示為根據銀行貸款基準利率及行業信用風險溢價計算出的行業貸款利率。

表10 樣本行業的貸款利率

表10 第3 列為1 年期銀行貸款的基準利率rb=0.065 6[17]，數據來自中國人民銀行網站。第4列為樣本行業的違約概率，數據來自表6第9列。第5列為銀行貸款的違約損失率LGD=0.598 0[18]，數據來自穆迪公司的技術報告。第6列為行業貸款的信用風險溢價CS i，等于表10第4列的行業違約概率PD i乘以第5列的銀行貸款違約損失率LGD。第7列為行業貸款利率ri，等于表10第3列的銀行貸款基準利率rb加上第6列的信用利差或信用風險溢價CSi，如式（18）所示。

3.5.2 銀行整體信貸資金收益率均值、方差與差異系數的計算表11所示為在各違約狀態下，對5個樣本行業貸款的收益率或損失率及整體貸款組合的收益率或損失率。

表11第1列為32種違約狀態的序號，該序號與表9第1列違約狀態的序號相一致。表11第2～6列為各違約狀態下，對5個樣本行業貸款的收益率或損失率。在貸款到期時如行業不違約，則為收益率，其值等于貸款利率ri；如行業違約，則為損失率，其值等于貸款違約損失率LGD。

表11第1 行第2～6列表示在第1 種違約狀態下，5個樣本行業貸款的收益率。由表9 第1 行第2～6列數據可知，在第1種違約狀態下，5個樣本行業均不違約。因此，在第1 種違約狀態下，對5個樣本行業貸款的收益率即為行業貸款利率ri，即表11第1行第2～6列的數據來自表10第7列。

表11 各違約狀態下銀行整體信貸資金的收益率

表11第2行第2～6列表示在第2種違約狀態下，5個樣本行業貸款的收益率或損失率。由表9第2行第2～6列數據可知，在第2種違約狀態下，機械設備業違約，而其余4個樣本行業不違約。因此，在第2種違約狀態下，對機械設備業的貸款收益率為-0.598 0，亦即損失率為0.598 0，如表11第2行第2列所示，該數據來自表10第1行第5列。對其余4個樣本行業貸款的收益率即為該行業的貸款利率，如表11第2行第3～6列所示，數據分別來自表10第2～5行第7列。

表11其他各行第2～6列數據的含義、來源及其計算過程類推。特別地，在第32種違約狀態下，5個樣本行業均違約。因此，對5 個樣本行業貸款的收益率均為-0.598 0，亦即損失率均為0.598 0，如表11第32 行第2～6 列數據所示，數據來自表10第5列。

限于篇幅，表11中僅列出了部分違約狀態下各樣本行業貸款的收益率或損失率。

將銀行整體信貸資金看作單位1，表11 第7列為在5個樣本行業初始貸款權重均為0.200 0的條件下，各違約狀態下銀行整體信貸資金的收益率。5個樣本行業初始貸款權重如表12第3列所示。以表11第1行第7列第1 種違約狀態下，銀行整體信貸資金收益率=0.065 7 為例，說明各違約狀態下銀行整體信貸資金收益率rps的計算過程。

將表11第1行第2～6列5個樣本行業貸款收益率ri分別乘以對5個樣本行業貸款的權重w i，然后相加，可計算得到第1種違約狀態下銀行整體信貸資金的收益率為

將上述計算結果列于表11第1行第7列。表11第7列其他數據的計算過程類推。表11第8列為各違約狀態的聯合概率JPDs，數據來自表9 第12列。

表12所示為將銀行整體信貸資金看作單位1的情況下，5個樣本行業的初始貸款權重與最優貸款權重。

表12 樣本行業的初始貸款權重與最優貸款權重

其中，表12 第3 列的初始貸款權重為主觀設定，但初始權重的設置并不影響最優貸款權重的求解結果。第4 列的最優貸款權重，通過求解式（24）～（27）得到。

根據各違約狀態下銀行整體信貸資金的收益率及各違約狀態的聯合概率，可計算得到銀行整體信貸資金收益率的均值、方差及其差異系數，計算結果如表13所示。

表13 銀行整體信貸資金收益率均值、方差與差異系數

表13第1行第3列表示在5個樣本行業貸款權重均為0.200 0的情況下，銀行整體信貸資金收益率的均值。其計算過程為：將表11中各違約狀態下的銀行整體信貸資金收益率r ps及其聯合概率JPDs代入式（20），可計算得到銀行整體信貸資金收益率的均值E（rp）=0.045 8。

表13第2行第3列為在5個樣本行業貸款權重均為0.200 0的情況下，銀行整體信貸資金收益率的標準差。其計算過程為：將表11中各違約狀態下的銀行整體信貸資金收益率rps及其聯合概率JPDs，以及表13中銀行整體信貸資金收益率的均值E（rp）代入式（21），可計算得到銀行整體信貸資金收益率的方差，對其開平方得到銀行整體信貸資金收益率的標準差std（rp）=0.053 8。

表13中第3行第3列為等權重情況下銀行整體信貸資金的差異系數θ。其計算過程為：將表13中第2行第3列等權重情況下銀行整體信貸資金收益率的標準差std（rp）=0.053 8、第1行第3列等權重情況下銀行整體信貸資金收益率的均值E（rp）=0.045 8代入式（23），計算得到等權重情況下銀行整體信貸資金的差異系數θ=1.173 5，列于表13第3行第3列。

3.5.3 基于違約狀態聯合概率的銀行信貸資金行業間配置最優貸款權重的計算表12給出了銀行信貸資金在行業間優化配置的行業最優貸款權重。為簡單起見，設初始權重均為0.200 0，初始權重的設置并不影響最優貸款權重的求解結果。

根據初始貸款權重計算的各違約狀態下銀行整體信貸資金的收益率r ps列于表11第7列；根據初始貸款權重計算的銀行整體信貸資金的期望收益率E（rp）、銀行整體信貸資金收益率的標準差std（r p）及銀行整體信貸資金的差異系數θ分別列于表13第1～3行第3列。

當貸款權重發生變化時，各違約狀態下銀行整體信貸資金收益率、銀行整體信貸資金收益率的均值和標準差及銀行整體信貸資金的差異系數也相應發生變化。

在各樣本行業貸款權重之和為1，且貸款權重均大于或等于0的約束條件下，總存在一組貸款權重，使得銀行整體信貸資金的差異系數達到最小，即銀行整體信貸資金獲得單位收益率所承擔的風險最小，該組貸款權重即為最優貸款權重。

上述最優貸款權重求解問題實質是一個非線性數學規劃問題（見式（24）～（27））。該非線性數學規劃問題以銀行整體信貸資金中樣本行業的貸款權重為決策變量；以銀行整體信貸資金的期望收益率大于或等于目標收益率、貸款權重大于或等于0、且貸款權重之和等于1為約束條件；以最小化商業銀行整體信貸資金的差異系數θ為目標函數，來確定對各樣本行業的最優貸款權重，從而建立銀行整體信貸資金行業間最優配置決策方案。

上述數學規劃問題可利用Excel軟件中的規劃求解功能方便地得到對各樣本行業的最優貸款權重。

3.5.4 最優權重與等權重下銀行整體信貸資金收益率與風險的比較根據各樣本行業的最優貸款權重，可重新計算各違約狀態下銀行整體信貸資金的收益率，從而進一步計算最優貸款權重下銀行整體信貸資金收益率的均值和標準差，及最優行業貸款權重下銀行整體信貸資金的差異系數。

最優行業貸款權重下銀行整體信貸資金收益率的均值E（r p）、標準差std（rp）及最優貸款組合的差異系數θ分別列于表13第1～3行第4列。其計算過程與初始等權重情況下銀行整體信貸資金收益率均值、標準差及差異系數的計算過程類似，即與表13第1～3行第3列數據的計算過程類似。

比較表13第1行第3、4列數據可知，初始等權重情況下銀行整體信貸資金的平均收益率為0.045 8，而最優行業貸款權重下銀行整體信貸資金的平均收益率為0.054 0，最優行業貸款權重下銀行整體信貸資金的平均收益率高于初始等權重下銀行整體信貸資金的平均收益率。

比較表13第2行第3、4列數據可知，初始等權重情況下銀行整體信貸資金收益率的標準差為0.053 8，而最優行業貸款權重下銀行整體信貸資金收益率的標準差為0.046 6，最優行業貸款權重下銀行整體信貸資金收益率的標準差小于初始等權重下銀行整體信貸資金收益率的標準差，亦即最優行業貸款權重下銀行整體信貸資金的風險低于初始等權重下銀行整體信貸資金的風險。

比較表13第3行第3、4列數據可知，初始等權重情況下銀行整體信貸資金的差異系數為1.173 5，而最優行業貸款權重下銀行整體信貸資金的差異系數為0.863 3，最優行業貸款權重下銀行整體信貸資金的差異系數小于初始等權重下銀行整體信貸資金的差異系數，亦即最優行業貸款權重下銀行整體信貸資金獲得單位收益率所承擔的風險小于初始等權重下銀行整體信貸資金獲得單位收益率所承擔的風險。

4 結語

本文以行業內代表性上市公司市值加權的股票價格作為行業平均股價，以市值加權的每股負債作為行業平均每股負債，根據行業平均股價與行業平均每股負債，應用KMV 模型計算行業違約概率，進而將商業銀行對m個行業的貸款在到期時區分為2m種違約狀態，應用正態Copula函數計算各違約狀態的聯合概率。根據2m種違約狀態下信貸資金的收益率及各違約狀態的聯合概率，計算銀行整體信貸資金的差異系數，即信貸資金獲取單位收益所承擔的風險。以對m個行業的貸款權重為優化變量，以銀行整體信貸資金的差異系數最小化為目標函數，建立了基于違約狀態聯合概率的商業銀行信貸資金行業間優化配置模型，為商業銀行信貸資金在行業間的優化配置提供決策參考。