巧用函數奇偶性解決函數零點問題

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級中學 210044)

例1 (2017江蘇南京二模)12．若函數f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零點，則滿足條件的實數m組成的集合為____．

分析零點問題的常用思路來嘗試處理一下.思路一：令f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8=0，由題意方程只有唯一解，但該方程解的問題無法處理；思路二：用導數法研究f(x)的單調性最值以及圖象，結合函數圖象解決問題，但困難在于導函數的零點無法順利求出，問題還是無法順利解決；思路三：轉化為兩個函數的圖象交點有且只有一個，但是由于兩個函數都含有參數，圖象還是不太容易畫出，問題還是不好解決.事實上，如果我們再仔細審題，回到函數的核心性質上，就會使問題迎刃而解.解決該題的關鍵在于發現該函數是一個偶函數而偶函數的零點如果不是零的話一定是成對出現的.偶函數f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零點意味著它有唯一的零點0.由f(0)=0求出m的值再加以檢驗即可得到最后的答案.

解析因為f(-x)=x2-mcos(-x)+m2+3m-8=f(x)，所以f(x)為偶函數.

又因為f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零點,所以f(0)=0 即m2+2m-8=0.解得m=2或m=-4.

當m=-4時，f(x)=x2+4cosx-4

當m=2時，f(x)=x2-2cosx+2=x2+2(1-cosx).顯然當x>0時，f(x)>0,有偶函數的性質可知f(x)有且只有一個零點0，符合題意.

綜上,m的取值集合為{2}.

例2 已知函數f(x)=2x2+m的圖象與函數g(x)=ln|x|的圖象有四個交點，則實數m的取值范圍是____.

解析因為函數f(x)=2x2+m和g(x)=ln|x|都是偶函數，它們的圖象都是關于y軸對稱的，因此在y軸右側這兩個函數的圖象交點應該是兩個.

所以問題轉化為：當x>0時，方程2x2+m=lnx有兩個解.即：m=lnx-2x2

問題進一步轉化為：已知直線y=m與曲線h(x)=lnx-2x2有兩個交點，求m的取值范圍.

用導數法易求得函數h(x)=lnx-2x2的極值和單調區間，畫出示意圖由示意圖可知：

當m∈(-,時，直線y=m與曲線h(x)=lnx-2x2有兩個交點,即當x>0時，方程2x2+m=lnx有兩個解.

結合偶函數性質可得：函數f(x)=2x2+m和g(x)=ln|x|有四個交點

例3 (2009·山東)已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x-4)=-f(x),且在區間[0,2]上是增函數,若方程f(x)=m(m>0)在區間[-8,8]上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=____.

解析f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x).

由此可得函數圖象關于直線x=2對稱.

由f(x-4)=-f(x)可知函數是以8為周期的周期函數,所以函數圖象也關于直線x=-6對稱.不妨設：x1

所以：x1+x2+x3+x4=-8.

思考題1 (2016高考新課標Ⅰ改編)函數f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]有____個零點．

解析函數f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]上是偶函數，其圖象關于y軸對稱，故先考慮其在[0,2]上有幾個零點．∵f(0)<0,f(1)<0,f(2)=8-e2>0,∴f(x)在[0,2]上有零點．設g(x)=f′(x)=4x-ex．

∵g(0)<0,g(1)>0,g(2)>0,∴g(x)在[0,2]上有零點．又由g′(x)=0，可得4-ex=0，設其解為x1，易知x1∈(1,2)且g(x1)>0,∴g(x)在[0,2]上有唯一零點，設為x0且x0∈(0,1)．從而當00，即f′(x)>0.故x∈(0,x0)時，f(x)為單調遞減函數；當x∈(x0,2)時，f(x)為單調遞增函數．

又f(0)<0,f(1)<0,∴f(x0)<0,∴f(x)在[0,2]上有唯一零點．由函數圖象的對稱性可知f(x)在[0,2]上有兩個零點．

2．已知函數f(x)是定義在(-,0)∪(0,+)上的偶函數，當x>0時，則函數g(x)=4f(x)-1的零點個數為( ).

A． 4 B．6 C．8 D．10

(2)周期性函數作圖時，若函數圖象不連續，則要注意每個周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖象中要準確標出，便于數形結合.

(3)巧妙利用f(x)的奇偶性，可以簡化解題步驟．例如本題中求交點個數時，只需分析正半軸的情況，而負半軸可用對稱性解決．

思考題2 (2018江蘇淮安盱眙中學高三第一次學情調研)已知函數f(x)=2x2+m的圖象與函數g(x)=ln|x|的圖象有四個交點，則實數m的取值范圍為____．

方法點睛本題主要考查函數圖象的交點、函數的零點、方程的根，屬于難題．函數圖象的交點、函數的零點、方程的根往往是“知一求二”，解答時要先判斷哪個好求解就轉化為哪個，判斷函數y=f(x)零點個數的常用方法：(1) 直接法：令f(x)=0,則方程實根的個數就是函數零點的個；(2) 零點存在性定理法：判斷函數在區間[a,b]上是連續不斷的曲線，且f(a)f(b)<0,再結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性) 可確定函數的零點個數；(3) 數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，在一個區間上單調的函數在該區間內至多只有一個零點，在確定函數零點的唯一性時往往要利用函數的單調性，確定函數零點所在區間主要利用函數零點存在定理，有時可結合函數的圖象輔助解題．