數列模型在數學文化試題中的應用

周順華

(福建省莆田市莆田第二中學 351100)

教育部考試中心函件《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》要求增加對數學文化的考查，其主要目的是注重傳統(tǒng)文化在現實中的創(chuàng)造性轉化和創(chuàng)新性發(fā)展，從而實現“立德樹人，服務選拔，導向教學”這一高考核心立場.數學文化的具體意義和考查要求在于：

(1)增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導向作用.

(2)能力要求：滲透考查數學思想方法，在內涵方面增加了基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的考查要求，進而實現考查學生的數學核心素養(yǎng)的目的.

近年來全國新課標卷和地方卷的數學文化試題統(tǒng)計如下：

1.2017年全國Ⅰ卷理科第二題、文科第四題(同題)，以中國古代八卦圖為載體考查了幾何概型，題目難度容易；

2.2017年全國Ⅱ卷理科第三題，摘自《算法統(tǒng)宗》，考查了等比數列，題目難度容易；

3.2016年全國Ⅱ卷理科第八題考查了秦九韶算法，理科第十題以圓周率為載體考查了幾何概型，題目難度均為適中；

4.2015年全國Ⅰ卷理科第六題、文科第六題(同題)，摘自《九章算術》，考查了圓錐的相關知識點，題目難度適中；

5.2015年全國Ⅱ卷理科第八題、文科第八題(同題)，摘自《九章算術》，考查了更相減損術，題目難度適中；

6.2015年湖北卷的理科第二題、文科第八題(同題)，摘自《九章算術》，考查了簡單隨機抽樣；理科解答題第19題，摘自《九章算術》，考查了立體幾何，分值較高，難度適中；

7.2014年湖北卷的理科第八題、文科第十題(同題)，摘自《算數書》，以圓周率為載體考查圓錐的相關知識點，難度適中；

8.2013年上海卷理科填空題第十三題，考查了祖暅原理，本題難度較大.

從上述列舉中可發(fā)現湖北卷已多年對數學文化試題進行考查，全國卷從2015年開始涉及.數學文化試題主要以選擇題或填空題的形式考查，難度適中或者容易，主要從《九章算術》、《數書九章》等中國古代數學名著中挖掘素材，常涉及到數列、立體幾何、算法、概率統(tǒng)計、推理與證明等相關章節(jié)的知識點.

而在近幾年的高考卷和各省市質檢卷中，出現很多滲透數學文化背景的數列試題，下列對部分試題進行賞析，以期起到拋磚引玉的作用.

一、源于數學名著，滲透數列知識兼顧考查數學建模能力

例1 (2017年全國課標Ⅱ卷理3) 題意：古代數學名著《算法統(tǒng)宗》有如下問題：高7層的塔，共有381盞燈，從上往下成兩倍增加，問頂層有多少盞燈.

解析轉化成數列問題：共7項的等比數列，公比為2，和為381，求首項的值.

例2 (2011年湖北卷文9理13)題意：《九章算術》“竹九節(jié)”問題：一根竹子共9節(jié)，每節(jié)的容積從上往下成等差數列，已知上面4節(jié)和下面3節(jié)的容積，求第5節(jié)的容積.

解析轉化為數列問題：共9項的等差數列，前四項和為3，后三項和為4，求第五項的值.

規(guī)律總結我國古代數學強調“經世濟用”，注重算理算法，其中很多問題可以轉化為等差、等比數列問題.解決這類問題的關鍵是將古代實際問題轉化為現代數學問題，掌握等差、等比數列的概念、通項公式和前n項和公式.

二、源于數學史料，滲透數學思想兼顧考查邏輯推理能力

例3 (2009年湖北卷文10理10)題意：1，3，6，10，…，這些數可以表示三角形，稱之為三角形數；1，4，9，16，…，這些數可以表示正方形，稱之為正方形數.則選項中289，1024，1225，1378這四個數哪個既是三角形數又是正方形數.

三、源于數學模型，滲透數學方法兼顧考查數據分析能力

例4 (2009年福建卷理15)題意：五位同學循環(huán)報數，兩個規(guī)則：1.第一位和第二位均報1，第三位開始報出的數為前兩位同學所報的數之和；2.如果某位同學報出的數是3的倍數，則需要拍手一次.問：甲同學第一個報數，報到第100個數的時候，甲同學拍了多少次手.

解析由題意可設第n次報數，第n+1次報數，第n+2次報數分別為an，an+1，an+2，所以有an+an+1=an+2，又a1=1,a2=1,由此可得在報到第100個數時，甲同學拍手5次.

中國古代數學名著，涵蓋了數學的方方面面，展示了中國數學史的輝煌.本文主要以數列為載體講述了數學文化試題的考查方向，類似于以其他高中知識為載體的數學文化試題的考查，以“必備知識、關鍵能力、學科素養(yǎng)、核心價值”為考查目標，要求學生掌握分析問題和解決問題的能力.