不等式問題中圖象的“妙用”

謝興旭

(福建省石獅市第一中學 362700)

高中階段，不等式問題是一個要點，也是一個難點．尤其在一些分段或含參的不等式問題中常常涉及到相對復雜的分類討論，需要學生有較強的分類整合能力，其求解過程往往相對抽象，步驟繁雜．同時，由于過程的復雜和繁鎖，這類問題還會耗費大量的解題時間．因此，如果沒有一種比較合理、簡潔、高效的解題方法，在考試中，這類問題不僅會占用學生大量的答題時間，還會頻繁的造成學生失分．特別是在選擇題、填空題中，經常讓人感覺得不償失．

圖象具有形象直觀的優點．以圖象作為輔助解答代數問題，可以讓整個解答過程直觀化、明朗化、簡潔化．因此，在一些不等式問題中，如果我們能夠合理、充分的發揮圖象的輔助功能，將起到事半功倍的效果．

解析這是一個分段函數與不等式的綜合問題．常見解法為：

另解較容易畫出f(x)的圖象，結合圖象可得

顯然，結合函數的圖象后，整個解題過程減少了討論的步驟，變得簡潔高效．同時，借助于圖象的直觀形象，讓分類標準的制定顯得明了易懂．

解析這仍然是一個分段函數與不等式的綜合問題，并且帶有參數．同例1一樣，該問題也可以用分類討論的方法去解決，由于帶有參數，其解答過程會更加繁瑣，這里我們就不再展開了．下面我們借助圖象來解決這個問題．

令y1=f(x),y2=f(x-2)，則y2=f(x-2)的圖象可看作在y1=f(x)圖象的基礎上向右平移2個單位得到．要使不等式f(x-2)-f(x)>0在函數f(x)的定義域上恒成立，只需保證y2=f(x-2)的圖象總是位于y1=f(x)圖象的上方．

當a≥0時，由圖可知不符要求；

這種解法充分體現了圖象的優點，整個解答過程一目了然，簡潔、實用、省時．在避開抽象的分類整合以及繁瑣的代數運算的同時，還大大提升了答題的準確率．

例3 若關于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一個負數解，則實數a的取值范圍是____.

解析這是一個含絕對值、含參的不等式問題．常規的解題思路為先去絕對值，將其轉化為含參的一元二次不等式，然后結合二次函數的圖象進行討論分析，列出符合題目要求所需滿足的條件，最后求出實數a的取值范圍．整個過程需進行多次的分類整合，既抽象又繁雜．該解法在實際操作中并不可取．

我們來看看下面的解法：

令y1=2-x2，y2=|x-a|，要使關于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一個負數解，只需確保當x<0時，y1=2-x2總有部分圖象在y2=|x-a|圖象的上方．下面，在同一坐標系下，作出y1=2-x2和y=|x|的圖象，只需將y=|x|的圖象沿x軸進行平移即可得到y2=|x-a|圖象．

(1)當a=0時，y2=|x-a|圖象與y=|x|圖象重合，符合要求；

(2)當a>0時，將y=|x|圖象向右平移|a|個單位，其臨界位置為y2=|x-a|圖象過點A(2,0)，此時a=2，所以當0

上述解法，雖仍需進行分類整合，但是相較與純代數的解法，結合圖象后，分類標準的制定、分類討論的步驟、最后結果的得出從難度上都有大幅度的降低，整個解答過程具體而又形象．

通過上述三個實例，我們可以發現在圖象介入不等式之后，可以讓不等式擺脫源于代數的一些抽象思維和繁雜計算，從而讓不等式問題直觀化、形象化、明朗化、簡潔化、高效化,從多方面降低了學生的答題難度，節約了學生的答題時間，提高了學生的答題準確率．因此，將不等式問題同圖象進行有機的融合不失為一種有效、巧妙的解題方法．