一道高考題求解的多個思維方向

崔佰華

(黑龍江省阿城一中 150300)

含有附加條件的代數式的取值范圍問題，是高考中典型題目，這類題目側重考查學生思維的靈活性、廣闊性，能夠很好地檢驗學生運用所學知識解決問題的能力.本文就2011年浙江省的一道考題，探索出多種新穎而具特色的解題思路，供賞析.

題目設x、y為實數，若x2+y2+xy=1，則x+x的最大值是____.

思路1 由題設式及目標式，聯想到x+y與xy之間的不等關系，從已知式中導出關于x+y的不等式，并解這個不等式.

將已知式配成(x+y)2-xy=1，即xy=(x+y)2-1.

思路2 導出關于x+y、xy的表達式，構造一元二次方程，用判別式求解.記P=x+y，由已知式有(x+y)2-xy=1，得xy=P2-1.

可見x、y是一元二次方程u2-Pu+(P2-1)=0的兩個實根，故知Δ=P2-4(P2-1)≥0，化為3P2≤4.

思路3 先將x+y平方，化為關于x、y的二次齊次分式，再用基本不等式.

(1) 當x、y中一個為零，另一個不為零時，則P2=1；

思路5 配方成平方和的形式，直接用三角代換.

思路6 引入等差中項，用公差范圍求解.

思路7 記P=(x+y)2，導出含參數P的一元二次方程，用判別式求解.

由P=(x+y)2?P(x2+y2+xy)=x2+y2+2xy，化得(P-1)x2+(P-2)xy+(P-1)y2=0.這是一個關于x、y

(1) 當P=1時，可得到x=0,y=±1.