概率：用數學的新視角來認識世界

浦敘德（特級教師）

義務教育階段的數學課程內容主要是“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四大板塊.其中，前三個板塊是以“顯性數學知識”為主；第四板塊以“運用應用知識”為主.小學里我們只是了解了最簡單事件發生的可能性的大小.“概率”概念及其相關知識是初中三大顯性知識板塊中最后一個呈現的內容.本章“認識概率”是初中階段學習概率的起始章，它為我們用數學的眼光認識世界提供了一個新的視角.

本章主要由“8.1確定事件與隨機事件”“8.2可能性的大小”與“8.3頻率與概率”三節內容組成.從知識逐步“生長”的角度看，這三節內容之間構成了一個遞升的關系.所以，要學好本章內容，我們只需依次理清如下三個要點：

一、“隨機事件”介于“不可能事件”與“必然事件”之間

事件有確定事件與不確定事件之分.確定事件又分為不可能事件與必然事件.不確定事件就是隨機事件.如“太陽西升東落”就是不可能事件，不管如何，它發生的可能性為0；“太陽東升西落”就是必然事件，不管如何，它發生的可能性為100%；“明天會下雨”就是隨機事件，它發生的可能性有大有小.所以，針對一個事件，我們首先要學會判斷它屬于哪類事件.如果對事件按照發生的可能性從小到大進行排序，那么依次為不可能事件、隨機事件、必然事件.換句話說，隨機事件居于不可能事件與必然事件這兩類確定事件之間.

【例1】下列事件是必然事件的是（ ）.

A.某種彩票中獎率是1%，則買這種彩票100張一定會中獎

B.一組數據1，2，4，5的平均數是4

C.三角形的內角和等于180°

D.若a是實數，則 ||a＞0

【解析】在一定條件下，事先能肯定它一定會發生的事件叫做必然事件.在四個選項中：A、D是事先無法肯定的，為隨機事件；B是事先能肯定一定不會發生的，為不可能事件；只有C是必然事件.所以，答案選C.

二、“隨機事件”發生的可能性有大有小，可以用“可能性的大小”來衡量

隨機事件是在一定條件下，事前無法確定會不會發生的事件.它不是不可能發生，也不是必然發生.那么，如何來刻畫隨機事件呢？可以用隨機事件發生的可能性的大小來刻畫.如對于“用寫有1、1、2的三張簽來給人抽簽”這個事件，你抽到的可能是“1”，也可能是“2”，但你抽到“1”的可能性比抽到“2”的可能性大.

【例2】請你談談對下面三個事件發生的可能性的認識.事件1：拋一枚硬幣，正面朝上的可能性；事件2：拋一個每個面上分別標有1、2、3、4、5、6的正方體骰子，標有1的面朝上的可能性；事件3：正面分別是2、3、4的三張撲克牌反面朝上，抽到正面是2的可能性.小明是這樣說的：它們都是隨機事件，它們發生的可能性無法確定.小紅是這樣說的：既然大家都是隨機事件，它們發生的可能性是一樣的.你認為呢？

【解析】首先，小明、小紅都認識到這三個事件都是隨機事件，他們在這一點上是正確的.其次，上述隨機事件發生的可能性既不是無法確定，也不是一樣大.再次，隨機事件發生的可能性有大有小，可以用可能性的大小來判斷.就事件1而言，拋后硬幣正面朝上的可能性與反面朝上的可能性是一樣的.所以，正面朝上的可能性是.就事件2而言，拋后骰子上標有1、2、3、4、5、6的面朝上的可能性也是一樣的.所以，標有1的面朝上的可能性是就事件3而言，同理可得，抽到正面是2的可能性是.綜上，這三個隨機事件發生的可能性有大有小.硬幣正面朝上的可能性最大.其次是抽到正面是2的可能性.標有1的面朝上的可能性最小.

三、用頻率的大小（頻率的穩定性）估計概率

“隨機事件發生的概率”就是這個事件發生的可能性大小的數值.概率是由隨機事件自身決定的，是隨機事件自身的屬性，它反映了這個隨機事件發生的可能性大小.雖然有時我們不能直接確定一個事件發生的概率是多少，但它發生的概率值卻真實存在著.有時我們可以用“頻率”來估計“概率”，找到這個確定的值.這個值就是該事件發生的概率.

【例3】小芳擲一枚質地均勻的硬幣10次.有7次正面向上.當她擲第11次時，正面向上的概率為______.

【解析】首先，我們要搞清“頻率”與“概率”這兩者的區別與聯系.對于一個隨機事件而言，事件發生的概率是一個確定值，與試驗的次數無關.而試驗中的頻率是不確定的.當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定；當試驗次數增大時，頻率會逐漸穩定在某一個值上.這個穩定的值就是概率.擲一枚質地均勻的硬幣時，前10次中有7次正面朝上.此時，正面朝上的頻率為0.7.第11次擲之前，誰也不知道結果是正面朝上還是反面朝上.但隨著試驗次數的不斷增加，我們會發現，正面朝上的頻率會逐步接近0.5.而這個0.5正是“擲硬幣正面朝上”事件的概率.所以，不管第幾次擲硬幣，正面朝上的概率始終等于0.5.

總之，事前可以肯定一定不發生或一定發生的事件是確定事件，對這類事件的研究比較簡單.而事前不可預言結果的事件是隨機事件，對這類事件的研究相對比較復雜.研究隨機事件的最大意義就是：雖然事先不能確定一個事件發生的最終結果，但可以通過對“概率大小”的研究，知道它發生的可能性的大小.如果我們把“方程”看作“未知中的已知”，那么“概率”就可以看作“不確定中的確定”.概率會為我們對某件事情的合理安排、決策提供有力的數據支撐.