非局部相似性去噪算法研究

袁 媛 朱 敏

(華東師范大學(xué)計算機科學(xué)與軟件工程學(xué)院計算中心 上海 200062)

0 引 言

在圖像傳輸、壓縮等過程中會產(chǎn)生圖像噪聲，圖像噪聲會干擾從圖像中準確獲取信息。在當今信息化時代，圖像已經(jīng)成為一種重要的信息載體，然而被噪聲污染過的圖像將影響人們提取信息的準確性。圖像去噪也是諸如圖像特征提取等研究的基礎(chǔ)步驟，所以圖像去噪至今仍然是一個很重要的圖像處理問題。

圖像去噪的目的是要去除被噪聲污染過的圖像中的噪聲，并且把圖像中的原有信息盡可能多地保留下來。通常圖像去噪問題被當成一個逆問題來處理，給定一張噪聲圖像，通過去噪算法去除圖像噪聲恢復(fù)未被噪聲污染過的圖像x。噪聲圖像可用表達式：y=x+v來表示。由于現(xiàn)實中的噪聲能夠近似表示為高斯噪聲，因此通常v表示均值為0標準差為σ的高斯噪聲。本文的研究也考慮v為高斯噪聲的情況。

通過大量的研究，研究者們提出了許多圖像去噪算法。主要包括以下幾大類：圖像濾波算法[1]、全變分方法[2]、基于小波的方法[3]、稀疏表示方法[4]，以及基于非局部相似性的方法[5-10]等。

基于非局部相似性(一個圖像塊在不同的位置有相似塊的特性)的方法近年來受到研究者們的關(guān)注。這一方法原理最早在2005年被BuadesAntoni等[7]提出用于圖像去噪，并且取得了較好的效果。此后，有許多使用非局部相似性原理的基于圖像塊的去噪方法被提出來，如：三維塊匹配算法(BM3D)[8]、加權(quán)核范數(shù)矩陣逼近(WNNM)[6]等。除了BM3D、WNNM等利用已有噪聲圖像的自相似性來去噪之外，研究者們發(fā)現(xiàn)可以用無噪聲圖像來引導(dǎo)噪聲圖像去噪，如PGPD[9]和PCLR[10]。盡管無噪聲圖像和噪聲圖像不一樣，但自然界圖像塊的結(jié)構(gòu)具有相似性，故可以預(yù)先通過算法學(xué)習(xí)無噪聲圖像塊的結(jié)構(gòu)特性，再將算法學(xué)習(xí)到的結(jié)構(gòu)用于引導(dǎo)噪聲圖像去噪。例如，文獻[9-10]通過高斯混合模型來學(xué)習(xí)非局部相似塊組的結(jié)構(gòu)特性。

相比其他去噪算法，上述的非局部相似性算法能夠取得很好的效果，尤其是WNNM算法。然而，該算法主要是通過計算歐氏距離得到的圖像塊之間的相似度。這種方法雖然簡單并且取得了不錯的效果，但是在圖像有噪聲的情況下，噪聲會影響圖像塊之間相似性的計算，可能出現(xiàn)原本不相似的圖像塊之間計算出較高的相似性的情況，這將影響后續(xù)圖像去噪算法的去噪效果。近年來，研究者們致力于研究新非局部相似性算法來提高去噪效果，例如Grewenig等[11]通過將圖像塊旋轉(zhuǎn)特定的角度來得到更多的相似塊并以此來提升去噪效果。也有研究者用梯度值代替像素計算圖像塊之間相似性，但梯度值對噪聲敏感，所以對于后續(xù)處理也不是一個好的分組算法。

綜上所述，目前對于如何降低噪聲在求解圖像塊之間相似度的影響的研究較少。Romano等[12]提出了一種通過提高待去噪圖像信噪比的算法來提升去噪算法的去噪效果。受到這篇文章的啟發(fā)，本文提出了一個有效的算法提升WNNM算法的效果。并且在重構(gòu)圖像之前，本文采用了加權(quán)平均方法來計算每個像素的值，以此得到去噪后的圖像塊，再對圖像進行重構(gòu)。

1 WNNM算法

加權(quán)核范數(shù)最小化方法(WNNM)是由Zhang Lei等提出的。該方法利用無噪聲圖像塊組成的矩陣是低秩的原理來達到去噪效果。處理流程如圖1所示。

圖1 WNNM處理流程圖

首先加權(quán)核范數(shù)算法(WNNM)將圖像劃分成像素重疊的圖像塊，并求出每個圖像塊的非局部相似塊。求相似塊的方法有很多，如K均值方法、模糊聚類、張量方法等。加權(quán)核范數(shù)算法(WNNM)通過計算塊Pi與塊Pj之間的歐氏距離衡量兩個塊之間的相似度DPiPj：

(1)

其次，計算出圖像塊Pi和窗口范圍wSize內(nèi)圖像塊Pj之間的歐氏距離，將距離從小到大排序，前k個相似塊組成矩陣。利用無噪聲圖像的相似塊矩陣是低秩矩陣這一特性來去噪。低秩矩陣最小化可以用來求矩陣的解，得到目標函數(shù)：

(2)

然而，式(2)是非凸函數(shù)，求解過程是一個NP問題，需要對目標函數(shù)進行凸優(yōu)化再求解。Candes和Recht證明了NNM(標準核范數(shù)最小化)是rank(Xi)的凸優(yōu)化[11]，可以通過求解NNM問題得到目標函數(shù)的最優(yōu)解，因此式(2)等價于：

(3)

式中：λ是一個正數(shù)，‖Xi‖*是核范數(shù)，噪聲圖像塊組Yi的奇異值分解為Yi=USV,對異值進行軟閾值收縮，得到目標函數(shù)的解：

Xi=USλ(∑)V

(4)

無噪聲圖像塊組合而成的矩陣是低秩矩陣，奇異值代表了矩陣變換的方向，前s個奇異值和占據(jù)了矩陣奇異值之和的99%，故前s個奇異值是矩陣變換的主要方向。而式(4)使用同一個λ值對奇異值進行軟閾值收縮，這樣得到無噪聲圖像并沒有考慮奇異值的這個性質(zhì)，導(dǎo)致圖像細節(jié)過度平滑變得模糊。為了解決這個問題Zhang Lei等提出的加權(quán)核范數(shù)最小化方法(WNNM)使用不同的λ值對奇異值進行軟閾值收縮得到低秩矩陣。因為圖像信息能量主要聚集在數(shù)值大的奇異值上，要保留圖像信息，所以數(shù)值大的奇異值對應(yīng)更小的λ值，數(shù)值小的奇異值通常是噪聲，需要過濾掉，目標函數(shù)如下:

(5)

(6)

(7)

代入式(5)求出解便可得到去噪后的圖像塊。

最后將圖像塊重構(gòu)得到結(jié)果，可以采用迭代使得去噪效果更佳，當去噪后的圖像的PSNR值不再有提升的時候，停止迭代，按照實驗結(jié)果迭代次數(shù)的取值一般為8～14。

2 改進的WNNM方法

加權(quán)核范數(shù)算法(WNNM)已經(jīng)取得了不錯的去噪效果，然而這個方法還存在一些缺陷。

1) 基于噪聲圖像求圖像塊之間的相似度，有錯分的可能性。把原本不相似的塊分到一組會影響后續(xù)圖像去噪算法的效果。給定一張大小為N×N的圖像y,Pi和Pj是圖像塊，由上一節(jié)可知WNNM用式(1)度量兩個圖像塊Pi和Pj的之間的相似度，在噪聲的情況下Pi=xi+vi,Pj=xj+vj。其中xi和xj是Pi和Pj的無噪聲圖像，vi和vj是噪聲，所以式(1)展開得到：

2×(xim-xjm)×(vim-vjm)

(8)

表1 無噪聲相似塊和有噪聲相似塊去噪信噪比

(a) C.man(b) Lenna

(c) House圖2 對比圖片

從表1中可以看出，由噪聲圖像塊計算得到相似性塊組去噪效果比利用無噪聲圖像得到相似塊組的情況差。

2) 將圖像塊重構(gòu)成無噪聲圖像塊時，只通過求像素的平均值求圖像塊每個像素的值，然而不同圖像塊在圖像塊重構(gòu)時所占權(quán)重應(yīng)該不一樣。

在利用自相似性對圖像塊進行分組時，一個塊可能屬于多個不同相似塊組。因而對于每個噪聲圖像塊會得到多個不同的去噪結(jié)果。WNNM算法對塊中每個像素求平均值得到最終去噪后的圖像塊，而事實上每個相似塊矩陣去噪后的效果不一樣。理論上，相似塊之間的相似性越大，矩陣秩便越低，去噪效果更佳。如果對每個像素直接求平均來得到去噪圖像，則可能會將細節(jié)平滑，所以，去噪后的圖像塊應(yīng)是多個不同結(jié)果的加權(quán)平均值：

(9)

式中：mj=1-k/(l+1),l為奇異值個數(shù)，k為矩陣的秩，秩越大mj越小，秩越小則mj越大。當k的值和l相等的時候mj=1/(l+1)。表2列出了WNNM算法對像素直接求平均和求加權(quán)平均的去噪效果對比。從表中可看出使用加權(quán)平均方法得到的去噪后圖像峰值信噪比更高，這意味著加權(quán)平均方法效果更好。通常我們會假定每一個圖像塊的噪聲是一樣的，但事實上每塊圖像塊的噪聲是不一樣大的，這將會影響分塊的準確度，不同的相似塊分組得到的去噪效果不一樣。因此使用加權(quán)平均方法得到去噪后的圖像塊更加合理。

表2 平均和加權(quán)平均對比

為了解決上述問題，本文提出一種有效的方法。算法步驟描述如下：

步驟1將噪聲圖像y用WNNM算法進行去噪預(yù)處理，得到圖像ypre，以此增強圖像的信噪比。

步驟2將噪聲圖像y和預(yù)處理過后的圖像ypre分別劃分成像素重疊的圖像塊，并用ypre得到的圖像塊求出每個圖像塊的非局部相似塊。

步驟3將ypre得到的非局部相似塊組視為噪聲圖像y相應(yīng)塊的非局部相似性塊組，用WNNM算法去噪。

步驟5將步驟4得到的圖像重復(fù)K次步驟2-步驟4,其中K按照經(jīng)驗取值在8～14之間。

步驟6得到最終的去噪圖像。

綜上所述，本文提出的方法首先用WNNM將噪聲圖像作預(yù)處理。然后將預(yù)處理得到的圖像分割成圖像塊，求每一塊的相似塊組，將這個相似塊組視為噪聲圖像相似塊分組，再對噪聲圖像進行去噪。提出這個方法的依據(jù)是：

1) 經(jīng)過WNNM算法預(yù)處理的噪聲圖像，噪聲變小了，信噪比有所提升，故因噪聲引起的誤差值部分減小。

2) 預(yù)處理過的圖片是無噪聲圖像的一個近似解，因?qū)嶒災(zāi)康氖腔謴?fù)無噪聲圖像，故實驗時沒有干凈圖像能夠用于分塊，可將預(yù)處理過后的圖像視為近似干凈圖像。

其次，由表2可得出結(jié)論，圖像塊重構(gòu)時使用加權(quán)平均方法得到的去噪效果更好，故本文算法中圖像塊重構(gòu)時使用加權(quán)平均方法求每個像素的值。

最后，將算法迭代K次得到最終的去噪結(jié)果，K的取值為峰值信噪比不再有提升時的迭代次數(shù)。

3 實驗結(jié)果分析

本文利用MATLAB 2012Ra實驗環(huán)境，將本文提出的算法運用到lenna等10張圖片上，并和幾個去噪效果較好的算法進行了比較研究。這些算法包括三維塊匹配算法(BM3D)[8]、加權(quán)核范數(shù)算法(WNNM)[6]、PGPD[9]、PCLR[10]。本文所有用于實驗的圖像大小都是256×256像素，類似于其他算法的仿真實驗，所有圖像的噪聲為方差為0，標準差為的高斯噪聲，不同對應(yīng)的圖像塊大小如表3所示。

表3 不同σ對應(yīng)圖像塊大小

算法的去噪性能用峰值信噪比(PSNR)來衡量，PSNR值越大說明算法去噪效果越好。表4為本文提出的算法和其他算法對于lenna等圖片在不同噪聲情況下進行處理之后得到的峰值信噪比的平均值對比。從表4可以看出，本文提出的算法比現(xiàn)有的其他算法效果都要好，從而驗證了本文提出的算法的有效性。

表4 不同算法去噪后PSNR均值對比

4 結(jié) 語

圖像去噪是圖像處理領(lǐng)域的一個重要問題。本文提出了一個方法來提升加權(quán)核范數(shù)最小化算法(WNNM)的去噪效果。本文對于圖像去噪的貢獻在于，首先，降低了求初始圖像相似塊組的噪聲，從而降低了因噪聲在計算相似性時而產(chǎn)生的誤差。其次，在重構(gòu)無噪聲圖像塊時，不是直接對像素求平均值，而是考慮了圖像塊不同的結(jié)果具有不同的權(quán)重。最后，實驗結(jié)果表明本文提出的算法能夠得到比WNNM更好的信噪比，圖像處理的結(jié)果更好。