基于小波自適應閾值濾波的VMD降噪方法*

2018-08-14 00:11:02唐圣學付滔張雪輝

電測與儀表 2018年9期

唐圣學，付滔，張雪輝

(河北工業大學電氣工程學院，天津 300130)

0 引言

非穩態信號中細節部分蘊含著大量有用信息，在進行降噪處理時希望保留這部分有用的細節信息。傅里葉變換降噪方法不能很好地刻畫非線性信號的局部細節信息，不適合處理非線性非平穩信號降噪；小波變換在時頻域內都有較強的信號局部特征表征能力，但閾值及閾值函數選取會影響降噪效果。

近年來，基于模態分解的非線性非平穩信號降噪方法得到了快速發展，如經驗模態EMD降噪、局部均值LMD降噪以及其改進方法降噪等。EMD[1-2]分解方法能將信號按局部時間的特征尺度自適應地將信號從高頻到低頻順序分解成一組尺度不同的固有模態函數，用于降噪時通常采用舍棄EMD分解的高頻IMF分量、由低頻IMF分量重構達到降噪效果，但可能會失去高頻IMF分量含有的有用信息。LMD分解降噪原理與EMD類似，且對噪聲敏感[3-5]。為了提高EMD降噪效果，文獻[6]提出了基于Savitaky-Golay濾波器的一種改進的EMD-SG降噪方法。

2013年，Dragomiretskiy[1]等人提出了變分模式分解(Variational Mode Decomposition，VMD)[2-3]的自適應分解方法，解決了EMD 和LMD在遞歸模式分解過程中的模態混疊、對頻率相近的分量無法正確分離、受采樣頻率影響等缺點。由于VMD解決了EMD和LMD在遞歸模式分解過程中的模態混疊、對頻率相近的分量無法正確分離、受采樣頻率影響等缺點。

提出一種基于VMD和自適應小波閾值函數降噪方法，該方法結合了小波自適應閾值技術和VMD分解技術，能對多類信號進行有效的降噪。通過數值實驗表明：該方法對非平穩降噪具有良好的降噪效果，且適應性廣。

1 變分模式分解

1.1 VMD基本原理

與EMD分解相同，VMD算法也將信號分解為本征模態IMF分量；不同之處在于VMD在分解過程中避免了EMD的循環篩分剝離獲取IMF分量的處理方式，而是將信號分解獲取IMF過程轉化為變分求解過程，即分解問題轉移變分框架內處理，通過搜尋約束變分模型最優解實現信號自適應分解獲取IMF分量[7-10]。VMD原理簡述如下：

假設原始信號f分解成k個IMF分量，則對應的約束變分模型為：

(1)

式中uk為第k個模態分量；ωk為模態分量的中心頻率，k=1,2,3…,K。為了求解上述約束變分問題的最優解，將約束性變分問題轉變為非約束性變分問題。引入二次懲罰因子α和Lagrange乘法算子λ(t)，得到增廣的Lagrange表達式為：

(2)

VMD分解算法具體過程如圖1所示。

圖1 VMD的具體實現[4]Fig.1 Concrete implementation of VMD algorithm

利用交替方向乘子法(ADMM)迭代搜索上述擴展的拉格朗日函數的鞍點，即式約束變分模型的最優解，所有模態分量uk為：

(3)

(4)

1.2 VMD分解實例

含噪聲的多頻信號x(t)如下：

(5)

式中η代表噪聲信號，設信噪比SNR=5 dB，信號時間為1 s，采樣頻率1 kHz。圖2給出多頻信號x(t)及其分解結果。

圖2 多頻信號分解Fig.2 Decomposition of multi-frequency signal

由圖2可見，VMD分解后IMF分量按照頻率由低向高依次遞增，IMF分量頻率單一，分解效果好；同時，高頻IMF分量中噪聲含量大，VMD分解后噪聲主要集中在高頻段。對各個分量進行FFT變換，得到如圖3所示的IMF分量頻譜。由圖3可見，u3分量頻譜帶寬內集中了信號的大部分噪聲能量。

圖3 VMD各分量邊際譜Fig.3 VMD marginal spectrum of each component

2 基于VMD與自適應小波閾值函數降噪原理

如果能降低高頻IMF分量中噪聲，在通過與低頻分量重構，就可以減低原始信號噪聲，這即是文中的降噪原理。小波變換具有表征信號的時頻特性，能很好降低信號噪聲。文中選用小波變換降低高頻IMF分量中的噪聲。

小波降噪過程分為三步[11]：(1)對含噪聲的信號進行小波變換；(2)保留最大尺度下的低通濾波分量，對其他尺度分量進行降噪處理，即根據設定閾值函數和閾值對其進行自適應處理；(3)對處理后的小波系數進行小波逆變換，獲得降噪后的估計信號。

小波降噪效果好壞的關鍵是選擇合適的閾值函數與最佳閾值[12]。目前，硬閾值和軟閾值是常見的兩種閾值函數。硬閾值函數因在閾值處函數不連續，容易造成缺乏像原始信號的光滑性；軟閾值函數雖連續性較好，但存在恒定的偏差。文中采用文獻[13]提出的一種自適應閾值函數，既能降低噪聲又保留了信號原有的奇異性，選用的自適應閾值函數為：

(6)

式中th為閾值；m為可調參數，可取大于1的連續實數。m決定了函數η(·)形狀、性質。當m接近于1時，類似于軟閾值函數；當m>10時，類似于硬閾值函數。

在閾值獲取方面，該文獻提出的方法存在一些問題，文中閾值基于數據SURE無偏估計自適應獲得。

基于自適應小波閾值的VMD降噪方法如圖4所示。先對原始信號進行VMD分解得到模態分量，然后對含噪聲分量大的高頻模態分量進行小波自適應閾值濾波，最后將濾波后高頻模態分量和低頻模態分量重構即得降噪后的信號。需要指出的是：對于高頻分量是否需要降噪處理，可由各模態歸一化自相關函數判斷。

圖4 文中降噪流程Fig.4 De-noising process in this paper

3 仿真實例

為了說明所提出方法的降噪效果，下面選用3個典型的含噪聲信號進行降噪數值仿真，3個信號分別為多成分信號、Doppler信號和調制信號，降噪效果評價指標為信噪比(SNR)、和均方根誤差(RMSE)。

3.1 多頻信號

針對式的含噪聲的多頻信號，圖5給出了降噪后的重構波形，同時還給出了采用傳統EMD方法降噪波形、EMD-SG方法降噪波形、EMD-WT方法降噪波形、小波方法和文獻方法波形。降噪性能指標如表1所示。上述其他5種降噪方法中，EMD方法采用舍棄部分高頻IMF分量的傳統EMD去噪方法；EMD-SG方法過程可參考文獻[6]和EMD_WT方法可參考文獻[7]；小波方法采用symN小波系，分解層數為5，閾值選取基于MinMax極大極小值規則處理。