中考多解類問題

文/ 王嘉穎

在中考試題中，多解問題是一類常見而重要的問題.這類問題不一定最難，卻容易失分.解決這類問題要多角度、全方位、深層次地思考，找到解題的突破口.

一、絕對值、參數方程、不等式中的多解

例 1 已知|a|=3，|b|=5，且ab＜0，那么a+b的值等于（ ）

A．8． B．-2. C．8或-8. D．2或-2.

解析：已知|a|=3，|b|=5，則a=±3，b=±5，

因ab＜0，即a，b的符號相反，

當a=3時，b=-5，a+b=3-5=-2；

當a=-3時，b=5，a+b=-3+5=2．

選D．

例2若關于x的分式方程無解，則實數m=_____．

解析：分式方程無解，則去分母后所得整式方程無解，或整式方程的解使分式方程的分母等于0，即增根．

方程去分母得7+3（x-1）=mx，

整理，得（m-3）x=4，

當整式方程無解時，m-3=0，即m=3；

當整式方程的解為分式方程的增根時，x=1，

∴m-3=4，即m=7，

∴m的值為3或7．

二、由函數的增減性產生的多解

例 3 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，函數y=kx+b（k≠0）與的圖象相交于點A（2，3），B（-6，-1），則不等式kx+的解集為（ ）

圖1

A.x＜-6. B.-6＜x＜0或x＞2.

C.x＞2. D.x＜-6或0＜x＜2.

例4 已知二次函數y=x2-2mx（m為常數），當-1≤x≤2時，函數值y的最小值為-2，則m的值是（ ）

解析：y=x2-2mx=（x-m）2-m2，

①若m＜-1，當x=-1時，y=1+2m=-2，解得

②若m＞2，當x=2時，y=4-4m=-2，解得（舍去）；

③若-1≤m≤2，當x=m時，y=-m2=-2，解得（舍去）.

∴m的值為或選D．

A.-2或3. B.-2或-3. C.1或-2或3. D.1或-2或-3.

解析：當m=1時，是一次函數，圖象與x軸有且只有一個交點；

當m≠1時，它為二次函數，

解得m=-2或3.

∴m的值為1或-2或3.選C．

三、等腰三角形中，腰、頂角、高的不確定性產生多解

例6在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線BC于點D，若，則△ABC的頂角的度數為______．

解析：①B為底，設AC=BC，

∵AD⊥BC于點

如圖2，AD在△ABC內部時，頂角∠C=30°，

如圖3，AD在△ABC外部時，頂角∠ACB=180°-30°=150°，

圖2

圖3

圖4

②BC為底，如圖4，

∵AD⊥BC于點D，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

∴頂角∠BAC=90°，

綜上所述，等腰△ABC的頂角為30°或150°或90°．

四、在直角三角形中，直角、斜邊的不確定性產生多解

例7已知直角三角形有兩條邊的長分別是3cm，4cm，那么第三條邊的長是（ ）

五、相似三角形中，對應邊、對應角、對應位置的不確定性產生多解

例 8 在△ABC中，AB=6，AC=5，點D在邊AB上，且AD=2，點E在邊AC上，當AE=_____時，以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似．

解析：以A，D，E為頂點的三角形與△ABC有一個公共角∠A，因此，只需∠A的夾邊對應成比例時，兩個三角形相似.

∴AE的長為或

x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點，

令x=0可得y=1，令y=0可得x=-3，

∴ 點A和點B的坐標分別為（-3，0），（0，1），

∵△BOC與△B′O′C′是以點A為位似中心的位似圖形，且相似比為1∶2，

∴ 當點B′在第一象限時，B′的坐標為（3，2）；當點B′在第三象限時，B′的坐標為（-9，-2）．

∴B′的坐標為（-9，-2）或（3，2）．

圖5

六、特殊四邊形中，對邊、鄰邊、高的不確定性產生多解

例10 在菱形ABCD中，AE為BC邊上的高，若AB=5，AE=4，則線段CE的長為______．

解析：當點E在CB的延長線上時，如圖6，

∵AB=5，AE=4，

∴BE=3，CE=BC+BE=8；

當點E在BC邊上時，如圖7，

∵AB=5，AE=4，

∴BE=3，CE=BC-BE=2．

∴CE的長是2或8．

圖6

圖7

七、弦與弦、弧與弧、點與圓、直線與圓的位置關系的不確定性產生多解

例11 已知AB，CD是⊙O的兩條平行弦，AB=6，CD=8，⊙O的半徑為5，則弦AB與CD的距離為（ ）

A.1. B.7. C.4或3. D.7或1.

解析：①當AB和CD在O的同側時，如圖8，

過O作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA，OC，

圖8

圖9

∵AB∥CD，∴OF⊥CD，

在Rt△OAE中，

同理可得OF=3cm，EF=4cm-3cm=1cm；

②當AB和CD在O的兩側時，如圖9，可得OE=4cm，OF=3cm，

則EF=4cm+3cm=7cm.

∴AB與CD的距離是1cm或7cm.選D．

八、圖形位置關系不確定產生多解

圖10

圖11

圖12

例 12 如圖10，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，點M是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當△ABM為直角三角形時，AM的長為_____．

解析：如圖10，當∠AMB=90°時，

∵O是AB的中點，AB=8，∴OM=OB=4，

又∵∠AOC=∠BOM=60°，

∴△BOM是等邊三角形，

∴BM=BO=4，

在Rt△ABM中

如圖11，當∠AMB=90°時，

∵O是AB的中點，AB=8，∴OM=OA=4，

又∵∠AOC=60°，

∴△AOM是等邊三角形，

∴AM=AO=4；

如圖12，當∠ABM=90°時，

∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，

∴MO=2BO=2×4=8，

在Rt△BOM中

在Rt△ABM中

綜上所述，AM的長為或或4．