求陰影部分面積的七種方法

文/于 濤 胡尊巖

求陰影部分的面積是常見題型.對于不同的面積問題，要選擇與它相適應的解法，才能減少計算量，快速求解.請看下面的例題.

一、直接利用公式法

例1同學們在學校小花園的一角種植了M，P，Q三種花，其所占的種植區域如圖1所示，∠AOE=90°，AB=OB，CB∥OE，AB=4m，則種植M花的面積為（ ）

解析：∵∠AOE=90°，CB∥OE，∴CB⊥OA，

∵AB=OB，AB=4m，

∴OC=OA=8m，∠AOC=60°，∴∠COE=30°，

∴種植M花的面積為選A．

圖1

二、等面積轉化法

例 2 如圖2，AB是⊙O的直徑，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8，則圖中陰影部分的面積是（ ）

解析：連接OE，OF，OC，OD，過O作OM⊥EF于M，反向延長線交CD于N，如圖3.

∵AB∥CD∥EF，∴S△ACD=S△OCD，S△AEF=S△OEF，

所以陰影部分面積等于扇形COD與扇形EOF的和，

∵AB=10，CD=6，EF=8，MO⊥EF，ON⊥CD，

圖2

∴OD=OF=5，FM=ON=4，OM=DN=3，

∴△OFM≌△DON，

∴∠FOM+∠DON=90°，

∴∠EOF+∠COD=180°，

即S陰影=.選A.

圖3

三、對稱轉化法

例3如圖4，⊙A和⊙B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數的圖象上，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

解析：根據雙曲線的中心對稱性，圖中陰影部分面積的和是一個圓的面積.

由于⊙A與x軸和y軸相切，且圓心在雙曲線上，

圖4

設圓的半徑為r，則點A（r，r）在雙曲線上，

所以有r2=1，即r=1，所以圓的面積是π，

故圖中陰影部分的面積是π.

四、平移法

例4如圖5，已知兩個半圓中長為4的弦AB與直徑CD平行，且與小半圓相切，求圖中陰影部分的面積.

解析：移動小半圓至與大半圓的圓心重合的位置，則陰影部分的面積不變，如圖6.

設切點為H，連接OH，OB，

圖5

又AB切小半圓于點H，故OH⊥AB，

故OB2-OH2=BH2=4，

圖6

五、和差法

例 5 如圖7，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交線段BC，AC于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為F，線段FD的延長線與AB的延長線相交于點G.

（1）求證：DF是⊙O的切線；

證明：（1）連接AD，OD，如圖7．

∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，

∵AC=AB，∴點D為線段BC的中點.

∵點O為AB的中點，∴OD為△BAC的中位線，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線．

∵AC=AB，∴△ABC為等邊三角形，∴AB=4．

∵OD∥AC，∴∠DOG=∠BAC=60°，

圖7

六、重疊法

例6如圖8，半圓O的直徑AB=20，將半圓O繞點B順時針旋轉45°得到半圓O′，與AB交于點P.

（1）求AP的長；

（2）求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

解析：∵∠OBA′=45°，O′P=O′B，

∴△O′PB是等腰直角三角形，

圖8

七、整體法

例7如圖9，分別以n邊形的頂點為圓心，以1cm為半徑畫圓，當n=2018時，求圖中陰影部分的面積之和.

解析：每個陰影的面積是以這個多邊形的外角為圓心角的扇形面積，因多邊形的外角和為360°，故可以求出陰影部分的面積和．

∵多邊形的外角和為360°，

∴S1+S2+…+S2018=S圓=π×12=π（cm2）．

圖9