關(guān)于LTI狀態(tài)空間模型的參數(shù)估計分析

黃媚

摘 要：在信號系統(tǒng)中，線性時不變系統(tǒng)是很重要的組成部分。隨著信號分析理論的不斷完善，參數(shù)估計的相關(guān)研究越來越為人們所重視。為了推動信號系統(tǒng)的發(fā)展，人們正在展開關(guān)于線性時不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計研究。在本文中，我們通過分析研究線性時不變狀態(tài)空間模型的特點，探討了在該空間模型下參數(shù)估計的方法。這些研究對促進線性時不變系統(tǒng)的相關(guān)研究和參數(shù)估計分析的發(fā)展有著重要的意義，有很好的現(xiàn)實價值。

關(guān)鍵詞：線性時不變系統(tǒng)；空間模型；參數(shù)估計

引言

在現(xiàn)代信號與系統(tǒng)的研究中，LTI，即線性時不變系統(tǒng)是一個研究的重點部分。由于線性時不變系統(tǒng)同時滿足疊加原理和時不變的特性，所以可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。因此，線性時不變系統(tǒng)的相關(guān)研究越來越受到人們的重視。

參數(shù)估計是現(xiàn)代數(shù)學(xué)與信號研究中的重要方法。隨著相關(guān)理論的不斷成熟，參數(shù)估計得到了越來越多的應(yīng)用。為了促進線性時不變系統(tǒng)的相關(guān)研究，人們正在嘗試著進行線性時不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計分析研究。

本文擬通過分析線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的特點，研究探討適用于線性時不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計方法。

一、LTI狀態(tài)空間模型的特點

LTI系統(tǒng)又稱為線性時不變系統(tǒng)，由于同時具有線性和是不變兩個特性，LTI在信號分析與信號系統(tǒng)的相關(guān)研究中受到廣泛的關(guān)注。其中最受關(guān)注的是線性時不變系統(tǒng)諸多特點的相關(guān)研究分析。

1.1齊次性

齊次性是線性時不變系統(tǒng)的一項重要屬性。在信號系統(tǒng)中，當(dāng)激勵信號與相應(yīng)信號具有相同的增長屬性時，即可稱為該系統(tǒng)具有齊次性。通過數(shù)學(xué)方法表示，在線性時不變系統(tǒng)中，如果系統(tǒng)激勵信號為a（t），相應(yīng)信號為b（t）時，我們輸入為Aa（t）的激勵信號，則輸出信號必然為Ab（t），其中A為常數(shù)。

1.2疊加性

線性時不變系統(tǒng)是滿足疊加原理的一種系統(tǒng)，即系統(tǒng)激勵信號的線性疊加必然會引起輸出信號的線性疊加。同樣用數(shù)學(xué)方法表示，可以表示為系統(tǒng)激勵信號a1（t）和a2（t）分別對應(yīng)輸出信號b1（t）和b2（t），則當(dāng)激勵信號變?yōu)閍1（t）+a2（t）時，輸出信號則為b1（t）+b2（t）。

1.3線性

線性是線性時不變系統(tǒng)的基本屬性之一。線性變化是數(shù)學(xué)中函數(shù)變化的一項基本內(nèi)容，如果將函數(shù)變化的變化率繪制成曲線圖，變化率為一條直線的即可稱為線性變化。在信號與系統(tǒng)中，線性是系統(tǒng)齊次性和疊加性共同作用后的變化表現(xiàn)。換句話說，線性時不變系統(tǒng)既具有激勵信號與響應(yīng)信號的齊次性，也滿足兩者之間的疊加性，即為線性。

1.4時不變性

時不變性是LTI系統(tǒng)的另一項基本屬性，也是開展線性時不變系統(tǒng)各項研究的重要基礎(chǔ)。在線性時不變系統(tǒng)中，激勵信號所產(chǎn)生的響應(yīng)信號是具有對應(yīng)性的，而不會隨時間變化。在不同時刻，激勵信號所產(chǎn)生的響應(yīng)信號也會有所不同。如果激勵信號出現(xiàn)延遲現(xiàn)象，則對應(yīng)的響應(yīng)信號也會延遲。并且，所產(chǎn)生的波形并不會變化。

1.5微分性與積分性

微分與積分是個統(tǒng)一的概念。自從牛頓和萊布尼茨分別創(chuàng)立了微積分后，微積分在數(shù)學(xué)、物理等方面得到了廣泛的應(yīng)用。信號與系統(tǒng)的相關(guān)研究產(chǎn)生于數(shù)學(xué)，所以也具有很好的微積分性質(zhì)。

在線性時不變系統(tǒng)中，我們一般根據(jù)系統(tǒng)激勵信號與系統(tǒng)響應(yīng)信號之間的對稱關(guān)系稱為系統(tǒng)的微分性與積分性。具體的應(yīng)用主要集中在系統(tǒng)信號的計算中。由于微分性和積分性涉及到的數(shù)學(xué)概念比較復(fù)雜，我們在此不進行舉例說明。

總體來說，線性時不變系統(tǒng)同時具有齊次性、疊加性、線性、時不變性、微分性和積分性六大特點。而這六個特點為參數(shù)估計方法的應(yīng)用打下了堅實的基礎(chǔ)。

二、參數(shù)估計的方法研究

參數(shù)估計是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中廣泛應(yīng)用的一種研究方法，屬于統(tǒng)計推斷的一種。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，參數(shù)估計主要是為了解決數(shù)學(xué)系統(tǒng)估計量和估計量精度的問題。由于參數(shù)估計的應(yīng)用方法與線性時不變系統(tǒng)契合度很高，所以目前也被廣泛應(yīng)用到線性時不變系統(tǒng)的研究中。

2.1似然估計

似然估計是參數(shù)估計在線性時不變狀態(tài)空間模型下應(yīng)用最為廣泛的一種研究方法。似然估計方法也被稱為最大似然估計法，是19世紀(jì)中期提出的一種參數(shù)估計方法。經(jīng)過多年的發(fā)展研究，似然估計法的應(yīng)用已經(jīng)相當(dāng)成熟，成為當(dāng)今應(yīng)用最為廣泛的一種參數(shù)估計方法。

似然估計法的基本步驟是通過樣本抽取和計算，利用總體分布的規(guī)律推導(dǎo)相關(guān)參數(shù)。具體應(yīng)用中，似然估計法要應(yīng)用到似然函數(shù)，在對似然函數(shù)經(jīng)過數(shù)學(xué)處理后（一般是指對似然函數(shù)采取對數(shù)處理，并經(jīng)過數(shù)學(xué)運算整理），再利用微積分的理念求解似然函數(shù)。

前文我們提到，線性時不變系統(tǒng)有很好的微分性與積分性。因此，利用似然估計法對線性時不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)進行估計備受人們重視。特別是似然估計法在應(yīng)用上已經(jīng)發(fā)展得比較成熟，對于線性時不變狀態(tài)空間模型的參數(shù)估計精度的提高有很大的幫助。

2.2矩法估計

在線性時不變狀態(tài)空間模型下參數(shù)估計應(yīng)用最為廣泛的另一種方法是矩法估計。矩法估計與似然估計法相同，需要從樣本中抽取與計算一定數(shù)據(jù)，才能進行參數(shù)的估計運算。不同的是，矩法估計采用的是矩陣計算方法，重點應(yīng)用到的數(shù)字特征是中心矩和原點矩。因此，矩法估計的計算精度要比其它參數(shù)估計方法低一些。要想提高參數(shù)估計精度，必須采用大容量的樣本。計算成本會成倍增加。

不過計算機系統(tǒng)的應(yīng)用和發(fā)展，為上述問題的解決提供了新的途徑。憑借著計算機系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理能力，人們可以很方便地實現(xiàn)大容量樣本的矩法估計。而這樣，矩法估計的使用方便、應(yīng)用面廣的優(yōu)勢便體現(xiàn)了出來。

線性時不變系統(tǒng)的線性和時不變性，具有很強的邏輯性，與計算機系統(tǒng)的邏輯運算法有很大的相似點。因此，現(xiàn)階段線性時不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計越來越多地應(yīng)用到矩法估計。通過計算機系統(tǒng)建立線性時不變狀態(tài)空間模型，再利用計算機實現(xiàn)高精度的參數(shù)估計已經(jīng)成為了現(xiàn)實。我們相信，未來的矩法估計會在線性時不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計中發(fā)揮出更大的作用。

綜上所述，從線性時不變系統(tǒng)的特點方面考慮，參數(shù)估計中的似然估計法和矩法估計是目前應(yīng)用最為廣泛的兩種參數(shù)估計方法。而從發(fā)展的角度來看，矩法估計有著更好的發(fā)展前景。

結(jié)束語

線性時不變系統(tǒng)作為信號與系統(tǒng)研究應(yīng)用中重要的組成部分，其相關(guān)的應(yīng)用研究受到了人們的廣泛重視。為了解決線性時不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計，我們分析了線性時不變系統(tǒng)的六個特點，并從這兩個特點出發(fā)，對目前應(yīng)用最為廣泛的似然估計法和矩法估計進行了相關(guān)研究，并對兩者未來的發(fā)展進行了總結(jié)。這些研究對促進信號與系統(tǒng)的發(fā)展有著很好的幫助。

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