隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)隊(duì)列隊(duì)長(zhǎng)過程非負(fù)下鞅的構(gòu)造

樊亞云，馮晶晶，邢瑞芳

(西安培華學(xué)院 智能科學(xué)與信息工程學(xué)院， 西安 710125)

鞅論[1-4]是概率論中的一個(gè)獨(dú)立分支,是概率論與隨機(jī)過程等方面的基礎(chǔ)。近年來,鞅方法已成為研究隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)隊(duì)列的一個(gè)重要工具。本文在對(duì)具有馬爾可夫到達(dá)無限等待空間的多服務(wù)臺(tái)隨機(jī)流體網(wǎng)絡(luò)隊(duì)列高負(fù)荷極限基礎(chǔ)上，將鞅方法[5-7]引入隨機(jī)流體網(wǎng)絡(luò)隊(duì)列中，在鞅的角度上來分析網(wǎng)絡(luò)隊(duì)列的網(wǎng)輸入過程的高負(fù)荷極限。

1 主要方法

通過研究計(jì)數(shù)過程的相關(guān)鞅及其性質(zhì)來證明模型的高負(fù)荷極限，首先給出非負(fù)下鞅的Doob-meyer分解定理。

定理1[8]如果Y是一個(gè)具有非負(fù)樣本路徑的下鞅，對(duì)每個(gè)t，E[Y(t)]<∞，而Y適應(yīng)過濾F≡{Ft}，存在F-可料過程A，稱為Y的補(bǔ)集或?qū)ε伎闪希珹具有非負(fù)非降的樣本路徑，對(duì)每個(gè)t都有E[A(t)]<∞，M≡Y-A為一個(gè)F-鞅，其中A是唯一的。

極限過程的鞅為其補(bǔ)償計(jì)數(shù)過程。定義一個(gè)隨機(jī)過程N(yùn)≡{N(t):t≥0}，在D中有非降非負(fù)積分值的樣本路徑，且N(0)=0，隨機(jī)過程樣本路徑完全連續(xù)(在一定的規(guī)則下)，同時(shí)Lebesgue可測(cè)，因此補(bǔ)集A可以表示為一個(gè)積分；

其中X≡{X(t):t≥0}是適應(yīng)F-過濾的,當(dāng)補(bǔ)集具有這樣的積分表示時(shí),X是計(jì)數(shù)過程N(yùn)的隨機(jī)密度。

引理1[8]如果N是一個(gè)非突變性單位跳躍計(jì)數(shù)過程，其滿足一個(gè)濾波F，同時(shí)對(duì)所有的t，E[N(t)]<∞。如果N的補(bǔ)集由定理1提供，A為連續(xù)的，則鞅M≡N-A是個(gè)平方積分鞅,具有滿足F平方變差過程：

〈M〉=A， [M]=N

2 模型及高負(fù)荷極限

研究具有k個(gè)服務(wù)臺(tái)，每一個(gè)服務(wù)臺(tái)都是具有無限等待空間的單一服務(wù)，外部到達(dá)的顧客在服務(wù)臺(tái)進(jìn)行服務(wù)，服務(wù)完成后按照一定的速率離去，每個(gè)服務(wù)臺(tái)的顧客以馬爾可夫的方式轉(zhuǎn)移到另一個(gè)服務(wù)臺(tái)或者直接離開流體網(wǎng)絡(luò),同時(shí)注意服務(wù)臺(tái)在對(duì)隊(duì)列的服務(wù)過程中有一定的服務(wù)干擾，當(dāng)服務(wù)受到干擾，則服務(wù)停止，當(dāng)干擾結(jié)束后服務(wù)繼續(xù)，一直延伸到下一次干擾開始。

模型的基本隨機(jī)元素指定如下：

A≡(A1,A2,…,Ak)表示在k個(gè)服務(wù)臺(tái)的隨機(jī)輸入過程(到達(dá)過程)；

S≡(S1,S2,…,Sj)在第一個(gè)忙時(shí)單元中j服務(wù)臺(tái)服務(wù)完人數(shù)的累積(服務(wù)過程)；

r≡(r1,r2,…,rk)表示k個(gè)服務(wù)臺(tái)確定性的輸出率(服務(wù)完成)；

R≡R(i,j)表示隊(duì)列中第i個(gè)服務(wù)臺(tái)服務(wù)完轉(zhuǎn)移到第j個(gè)服務(wù)臺(tái)人數(shù)的累積(總轉(zhuǎn)移人數(shù))；

顧客的路徑用示性向量來決定；{χi, j(n):n≥1}，1≤i≤k和1≤j≤k，

χi, j(n)=1表示第n個(gè)顧客從第i個(gè)隊(duì)列中服務(wù)完轉(zhuǎn)移到j(luò)隊(duì)列；

χi, j(n)=0，表示第n個(gè)顧客在第i隊(duì)列進(jìn)行服務(wù)完后離開網(wǎng)絡(luò)。

對(duì)每一對(duì)(i,j)，使

(1)

Ij≡{Ij:1≤j≤k}

其中Ij≡{Ij(t):t≥0}。如果第j服務(wù)為無干擾的則有Ij(t)=1；相反，如果第j服務(wù)為有干擾的則有Ij(t)=0。

定義Uj(t)和Dj(t)表示累積的無干擾時(shí)間及累積的有干擾時(shí)間。定義：

(3)

Dj(t)≡t-Uj(t)，t≥0

(4)

Bj(t)表示第j個(gè)服務(wù)臺(tái)在[0,t]時(shí)刻內(nèi)的累積忙時(shí)，第j個(gè)服務(wù)臺(tái)累積閑時(shí)過程為

Yj(t)≡Uj(t)-Bj(t),t≥0

(5)

則有：

Bj(t)+Yj(t)+Dj(t)=t,t≥0

(6)

定義隊(duì)長(zhǎng)過程：

忙時(shí)過程定義為：

(8)

并且：

Xj(t)≡Zj(0)+ξj(t)+ηj(t)

(11)

diag(μ)為K×K階對(duì)角矩陣。

定理2(反射映射的表示)[8]對(duì)所有的非負(fù)向量λ,μ∈Rk，以及所有的非負(fù)K×K階矩陣P≡(Pi, j)，具有Pt≡Q∈Η，

Z=φ(X)，φ(X)=diag(μ)Y

(12)

其中:Z由式(7)定義；X由式(11)定義；Y由式(5)定義；(φ,φ)為反射映射；相關(guān)的列隨機(jī)矩陣Q≡Pt。有：

或者等價(jià)

Z=X+(I-Q)diag(μ)Y

(14)

以及：

(15)

3 主要結(jié)果

Zn≡Zn(t)≡n-HZn(nt)，t≥0

(16)

定義Nj≡{Nj(t):t≥0}為無干擾時(shí)間的計(jì)數(shù)過程，

Dj為隨機(jī)和，表示的是所有干擾時(shí)間和：

引進(jìn)用于刻畫模型的主要極限定理的一系列的D中的隨機(jī)向量，使得：

An(t)≡n-H(An(nt)-λnnt)，t≥0

Sn(t)≡n-H(Sn(nt)-μnnt)，t≥0

Rn(t)≡n-H(Rn(nt)-Pnnt)，t≥0

(21)

Zn的收斂相關(guān)刻畫為；

Yn(t)≡n-HYn(nt)

(22)

Bn(t)≡n-H(Bn(nt)-nt)，t≥0

(23)

定理3(具有服務(wù)干擾的高負(fù)荷極限) 假設(shè)

(An,Sn,Rn,Dn,Zn(0))?(A,S,R,D,Z(0))，n→∞

(24)

所在的空間為D([0,∞),Rk2+3k,WM1)×Rk，其中：(An,Sn,Rn)由式(21)定義；Dn由式(20)定義；Zn由式(16)定義。具有0≤H<1，

P((A,S,R,D)∈D1)=1

(25)

另外，如果在Rk中存在向量λ和μ和矩陣P，Pt∈Η，在Η中

以及

在D([0,∞),R3k,WM1)則有：

(Zn,Yn,Bn)?(Z,Y,B)

(28)

其中：

證明

考慮對(duì)所有的服務(wù)臺(tái)都是忙碌狀態(tài)的情形，用n-H來刻畫隨機(jī)過程，使得：

(30)

(31)

并且：

鞅方法構(gòu)造：構(gòu)建出一個(gè)具有合適過濾(自然σ-域)的下鞅，再減去它的可料過程補(bǔ)集，利用引理1構(gòu)造出M=[M]-〈M〉為一個(gè)鞅，[M]是M的補(bǔ)集。

下面的過程將被證明是F-鞅：

(33)

要求MA、MS都為平方可積鞅，滿足濾波F≡{Ft:t≥0}，

Ft≡σ(Z(0),An(s),Sμ,k(s),k≥1, 0≤s≤t)t≥0

(34)

要提供上述過程的理論支持，首先要證明下面的引理，其為構(gòu)造鞅刻畫的條件。

引理2 如果E[X(0)]<∞，在適應(yīng)濾波式(34)下，隨機(jī)過程Y定義如下：

(35)

其具有跳躍的計(jì)數(shù)過程，因此對(duì)所有的t≥0，有E[Y(t)]<∞。

證明

應(yīng)用不等式性質(zhì)可得：

兩邊同時(shí)求和：

然后：

證明完畢。

證明應(yīng)用積分定理[10]，在鞅的基礎(chǔ)上考慮有界可料過程的積分，即定義鞅的積分有界變差過程

則有：

其中：

其中cn為式(27)的高負(fù)荷極限。

Xn=Zn(0)+ξn+ηn

(40)

Zn=φQn(Xn)

Yn=diag(μn)φQn(Xn)

(41)

以及：

Bn=-Yn-Dn

(42)

因?yàn)樵贑中子函數(shù)都是非負(fù)嚴(yán)格遞增的，利用復(fù)合映射外加條件在D([0,∞),Rk,SM1)中Xn→X，然后對(duì)式(38)～(42)再利用文獻(xiàn)[8]定理13.2.3、定理14.5.5[8]可得：

證明完畢。