粗糙集理論綜述

袁紅杰　陸永耕　程松遼　賈竹青

摘 要：粗糙集理論是一種新的分析和處理不精確、不一致、不完整信息與知識的數學工具，為智能信息處理提供了有效的處理技術，近年來，被廣泛應用于專家系統、圖像處理、模式識別、決策分析等領域。文中介紹了關于粗糙集的基本理論，并對其在各領域的應用情況進行了綜述。

關鍵詞：粗糙集理論；不確定性；知識約簡

0 引言

粗糙集理論由波蘭華沙理工大學Z.Pawlak教授于1982年首先提出，通過結合邏輯學和哲學中對不精確、模糊的定義，針對知識和知識系統提出了知識簡約、知識依賴、知識表達系統等概念，并在此基礎上形成了完整的理論體系——粗糙集理論。粗糙集理論把知識看作關于論域的劃分，認為知識是有粒度的，而知識的不精確性是由知識的粒度過大引起的。從 1992年至今，每年都要以粗糙集為主題召開國際會議，近兩年，召開的關于粗糙集的會議有2015年國際粗糙集聯合會議和2016年第十六屆中國粗糙集與軟計算聯合學術會議。粗糙集越來越受到各行業專家和科研人員的重視，隨著對粗糙集理論研究的不斷加深，越來越多的領域開始運用粗糙集解決問題。

（一）.粗糙集理論

1.1 知識與知識系統

將研究對象構成的集合記為U，這是一個非空有限集，稱為論域U，任何子集 ，稱其為U中的一個概念或范疇。把U中任何概念族都稱為關于U的抽象知識，簡稱知識。

R是U上的一個等價關系，由它產生的等價類可記為 ，這些等價類構成的集合 是關于U的一個劃分。若 ，且P≠φ，則∩P也是一種等價關系，稱為P上不可分辨關系，記為ind（P）：

。

1.2 粗糙集與不精確范疇

給定知識庫K=（U，Q），對于每個子集 和一個等價關系 R ind（Q），定義在知識系統U/R下集合X 的下近似為：

上近似表示屬于X的對象組成的最小集合，即X的正域，記為

，而肯定不屬于X的對象組成的集合稱為X的負域，記為

。

在知識系統U/R下集合 X 的上近似為：

上近似是可能屬于X的對象組成的最小集合。集合X的邊界區域為：

邊界區域是根據知識 R，U 中既不能肯定包含于集合 X，又不能肯定包含于集合X的元素構成的集合。

1.3 知識簡約與知識依賴

知識簡約，是在保持知識庫分類能力不變的條件下，刪除其中不相關或不重要的知識。令R為一簇等價關系， ，若ind（R）=ind（R-r），則稱r為R中不必要的，若對于每一個 都為R中必要的，則稱R為獨立的，否則稱R為依賴的。P中所有必要關系組成的集合稱為核，記為core（P）。

定義知識R對知識Q的依賴程度為：

1.4 知識表達系統

在粗糙集理論中，一個知識表達系統可表示為S=（U，R，V，f），為其中U為論域，R為屬性集合，V為屬性值集合，f為一個信息函數，其對象的每個屬性賦予一個信息值。即 。

決策表是一類特殊而重要的知識表達系統。設S=（U，R，V，f）為一個知識表達系統，R=C∪D，C∩D=φ，稱C為條件屬性集，稱D為決策屬性集。具有條件屬性集和決策屬性集的知識系統稱為決策表。

（二）. 粗糙集理論的應用

粗糙集理論具有很強的實用性，目前在各領域已有諸多應用。

2.1 故障診斷

文獻[1]中提出了一種基于粗糙集與證據理論的航空裝備故障診斷方法，利用粗糙集框架實現對故障診斷模型的構造并對冗余信息進行簡約，通過邊界粗糙熵來衡量每個條件對決策的重要程度；文獻[2]利用變精度粗糙集和信息論中互信息增量的特性，針對傾轉旋翼機在過度轉換時的故障進行診斷，利用OMELM對變精度粗糙集屬性簡約進行故障分類。

2.2 圖像處理

粗糙集理論對不精確問題能夠提供較好的解決方法，文獻[3]將粗糙集理論與模糊聚類算法相結合用以解決圖像分割問題。文獻[4]依靠粗糙集對邊界區域近似有較好的解決能力，將粗糙集近似集與粒子群算法相結合來解決圖像分割問題，利用粗糙集理論得到圖像的最優粒度，再通過粒度劃分得到圖像的近似集，從而利用近似集得到便捷的精準刻畫。

2.3 專家系統

粗糙集理論對規則的抽取有較好的應用，因此能夠為專家系統的構造提供理論基礎。文獻[5]利用粗糙集理論獲取知識，建立決策表，并利用可辨識矩陣對決策表進行條件屬性簡約，能夠獲得需要診斷的故障樹。

2.4 模式識別

文獻[6]中關于礦井突水問題，可利用粗糙集對非正態、非線性和高維數據的處理能力，對存在大量不明確對應關系的特征進行簡約，剔除與決策無關的屬性，得到簡約樣本。

2.5 決策分析

粗糙集理論在金融投資預測方面也起到了很大的作用，文獻[7]基于優勢粗糙集建立了證券投資分析模型，能夠有效分析出股票的投資價值。文獻[8]運用多粒度粗糙集為決策問題提供了新的思路，將多粒度粗糙集運用到專家的綜合決策中并證明了研究的有效性。

（三）.結語

在粗糙集理論發展的三十多年間，已取得了許多突破性研究成果，并成功運用到生活的各個方面。粗糙集能夠處理不完整、不精確的大量數據，在實際應用中，將粗糙集與各種不同分類方法相結合，能夠更快、更準確的提取出有用信息是未來研究的熱點之一。

參考文獻：

[1] 孫偉超，李文海，李文峰 . 融合粗糙集與D-S證據理論的航空裝備故障診斷[J]. 北京航空航天大學學報，2015，41（10）：1902-1909.

[2] 陳曉，王新民，黃譽，等. 傾轉旋翼機飛控系統的變精度粗糙集OMELM故障診斷方法[J]. 控制與決策，2015，35（3）：433-440.

[3] 馬文萍，黃媛媛，李豪，等. 基于粗糙集與差分免疫模糊聚類算法的圖像分割 [J]. 軟件學報，2014，25（11）：2675-2689.

[4] 姚龍洋，張清華，胡帥鵬，等. 基于近似集與粒子群的粗糙熵圖像分割方法 [J]. 計算機科學與探索，2016，10（5）：699-708.

[5] 李英順，姜雙雙，佟維妍，等. 基于 RST 及 FTA 的綜合傳動裝置故障診斷專家系統的應用研究[J]. 組合機床與自動化加工技術，2014（4）：60-63.

[6] 王江榮，黃建華，羅資琴，等. 基于粗糙集的 Logistic 回歸模型在礦井突水模式識別中的應用 [J]. 煤田地質與勘探，2015，43（6）：70-74.

[7] 楊博翔.基于優勢粗糙集的證券投資決策研究及應用[J]. 山東農業大學學報（自然科學版），2016，47（5）：785-788.

[8] 郭慶，吳磊. 多粒度背景下直覺模糊信息系統的粗糙集及其決策[J]. 系統工程與電子技術，2016，38（2）：347-351.

作者簡介：

袁紅杰（1994-），碩士研究生，研究方向為故障診斷。