基于抗差嶺估計的相機標定方法

王俊威，西 勤，馮其強，郭迎剛，王永強

(1.信息工程大學，河南 鄭州 450001; 2.中測國檢(北京)測繪儀器檢測中心，北京 100039)

近年來，隨著數碼成像技術的快速發展，數碼相機得到廣泛應用，很多數字工業攝影測量系統都以普通數碼相機作為影像傳感器來獲取數據。數碼相機雖然具有體積小、重量輕、使用方便等優點，但也存在畸變差較大、內方位元素不穩定等缺陷，因此，數碼相機在被應用于攝影測量前需要先對其進行標定[1]。

相機標定的目的是為了恢復每張像片光束的正確形狀，以保證像點、投影中心和對應的物方點在同一條直線上。標定的實質就是確定拍攝像片時相機的外方位元素和內方位元素。十參數畸變模型能較好地補償各種可預見的畸變差，是目前數字工業攝影測量中應用最廣泛的相機畸變模型[2]。但相機畸變模型中各畸變參數之間、畸變參數與攝站參數之間存在近似的線性關系，即過度參數化現象[3]。

針對相機參數間相關性問題，于英提出基于嶺估計的相機標定方法[4]，提高相機參數求解精度。但此方法沒有抵抗粗差的效果，而攝影測量中粗差與偶然誤差、系統誤差是同時存在的[5]，粗差產生的原因主要有同名像點匹配出錯、超過隨機范圍的偶然誤差等。抗差等價權能通過逐次迭代平差結果來平衡觀測值之間的比重[6]，使含粗差的觀測值的權減小或降為零，進而減弱粗差的影響或剔除粗差。結合抗差估計和嶺估計，本文提出基于抗差嶺估計的相機標定方法，不僅可以有效地解決標定模型結構中的參數相關性問題，而且可以有效地抵制觀測粗差的影響，進一步提高相機標定結果。

1 相機標定模型

1.1 十參數畸變模型

相機標定的重點內容是內方位元素和畸變參數。內方位元素是確定相機鏡頭中心相對于影像位置關系的參數，包括像主點相對于像片幾何位置(x0,y0)和相機主距f。畸變參數包括：徑向畸變、偏心畸變和像平面畸變。

十參數畸變模型表示為

.

(1)

1.2 相機標定模型

利用十參數模型作為附加參數，則含畸變改正值的共線條件方程為

.

(2)

式中:(ai,bi,ci)(i=1,2,3)為由外方位角元素組成的旋轉矩陣各元素;(X,Y,Z)為物方點坐標;(XS,YS,ZS)為外方位元素的線元素。

線性化后的誤差方程可寫為

V=A1X1+A2X2+A3X3-L,P.

(3)

式中:X1,X2,X3分別為物方點坐標、攝站參數和相機參數改正值;A1,A2,A3分別為誤差方程的系數;L為常數向量;P為單位權矩陣。

2 抗差嶺估計

2.1 抗差嶺估計的基本原理

抗差嶺估計是抗差估計和嶺估計的組合[7]。抗差估計(又稱穩健估計)的基本思想是將最小二乘估計的權以等價權代替，使所估計的未知參數盡可能減免粗差的影響或抗拒異常值的干擾，從而獲得可靠有效的參數估值。嶺估計則是在最小二乘估計法方程系數陣的對角線上增加一個合適的正數，生成新的法方程系數陣，通過改善原來系數陣的相關程度來提高所求結果的精度和穩定性[8]。

將誤差方程(3)改寫成

,P.

(4)

根據抗差嶺估計原理，參數的抗差嶺估計解為

.

(5)

(6)

(7)

式中：k0為保權臨界值，此處取k0=2[9]。

，i=0,1,…,n-1.

(8)

式中:vi為觀測值殘差；mvi為vi的中誤差。

mvi由式(9)計算為

.

(9)

式中：σ0為單位權中誤差；Ai為矩陣A的第i行，即第i個誤差方程的系數向量。

.

(10)

2.2 法方程病態的判斷

法方程是否病態一般根據其系數陣的條件數來判斷，法方程系數陣的條件數按式(11)計算,為

.

(11)

式中：N為法方程系數陣；λmax,λmin分別為N的最大、最小特征值。

一般認為當condN<100時，法方程病態程度很小；當100≤condN≤1 000時，法方程中等程度病態；當condN>1 000時，法方程嚴重病態[4]。

2.3 嶺參數的選擇

引進嶺估計的目的是減小均方根誤差，而嶺參數k的確定方法有很多，常用的方法主要有嶺跡法和雙h公式法[11]。由于嶺跡法缺乏嚴格的理論依據，k值的確定具有主觀隨意性，本文選擇雙h公式法確定k值。其算式為

(12)

若取G=I，h1=t，h2=0，則式(13)變為

(13)

式中，t為未知參數的個數。

3 基于抗差嶺估計相機標定的流程

抗差嶺估計需要待求未知參數的初始值來進行迭代求解，內方位元素的初始值除焦距f取21 mm外，其余都取為零。用MetronIn-DPM[12]軟件處理像片來獲得外方位元素的初值。在獲得內、外方位元素的初始值后，計算法方程系數陣并判斷其是否為病態。如果是病態，則采用抗差嶺估計的方法；如果不是病態，則采用抗差估計的方法。相機標定流程如圖1所示。

圖1 抗差嶺估計相機標定流程

圖2 實驗器材

4 實驗及分析

4.1 相機標定對比實驗

在尺寸為80 cm×70 cm的矩形木板平面上均勻布設30個直徑為6 mm的攝影測量回光反射標志和9個編碼標志，以此作為實驗標定板，如圖2所示。用Nikon D810相機在距離標定板約2 m處的不同位置對標定板拍攝3張照片。再用美國GSI公司的量測型INCA3相機對標定板拍攝， VSTARS攝影測量系統進行處理。由于V-STARS系統配合INCA3的測量精度可達5 um+5 um/m[13]，即2 m范圍內的測量精度達到0.015 mm，因此可以將V-STARS處理得到的標志點坐標作為真值。均勻選擇15個標志點作為控制點，利用抗差嶺估計法對Nikon D810相機進行標定解算，剩余15個點用作檢驗。實驗中，計算的首次迭代時法方程系數陣的條件數遠遠超過1 000，故屬于嚴重病態。

分別采用最小二乘估計平差(LS)、嶺估計平差(RE)和抗差嶺估計平差(RR)計算Nikon D810相機的內外方位元素。所得外方位元素結果如表1所示，內方位元素結果如表2所示(經計算3種方法求得各參數的答解精度為同一量級)。

分別采用上述3種標定結果，對剩余的15個標志點Zi(i=1,2,3…15)用空間前方交會求得其物方三維坐標，并與VSTARS攝影測量系統測得的三維坐標進行公共點轉換，所得坐標差值如表3所示。

從表3中的數據可以看出，基于嶺估計的相機標定效果和基于抗差嶺估計的相機標定效果明顯優于基于最小二乘估計的相機標定效果，說明嶺估計和抗差嶺估計均能改善法方程系數陣的病態問題。基于抗差嶺估計的標定效果略好于基于嶺估計的標定效果，原因是抗差嶺估計可以抵制觀測值中粗差的影響，而嶺估計沒有抗差性。

表1 相機外方位元素標定結果

表2 相機內方位元素標定結果

表3 公共點轉換坐標差值 mm

4.2 模擬粗差實驗

為了進一步檢驗相機標定模型受到觀測異常時，基于抗差嶺估計的相機標定的效果，在上述實驗中選取3個像點觀測值，分別加上5倍、10倍和15倍的單位權中誤差后，再分別用最小二乘平差(LS)、嶺估計平差(RE)和抗差嶺估計平差(RR)3種方法進行標定解算，重復上述實驗步驟，所得公共點轉換的結果如表4所示。

從表4中的數據可以看出，在觀測值中加入粗差后，用最小二乘平差和嶺估計平差相對于加粗差前的標定效果明顯變差(0.234對比0.215，0.108對比0.090)，而用抗差嶺估計的標定效果基本不變(0.080對比0.085)。實驗中發現，當增大加入的粗差后，最小二乘平差和嶺估計平差的標定效果波動較大，說明受粗差影響較大；而抗差嶺估計的標定效果基本穩定不變，說明受粗差影響較小。

對MetronIn-DPM軟件處理得到的外方位元素初值進行不同程度的加減，得到3組不同的外方位元素初值。采用本文提出的基于抗差嶺估計方法進行相機標定，均收斂到相同結果，說明本文提出的標定方法對參數初始值不敏感。

表4 公共點轉換坐標差值 mm

5 結束語

本文提出基于抗差嶺估計的相機標定方法，通過與基于最小二乘的標定方法和基于嶺估計的標定方法的對比實驗表明：基于抗差嶺估計的相機標定方法能有效解決相機標定過程中的參數相關性問題，且有效抵制觀測粗差的影響，使解算的參數結果更優。