關(guān)于圓錐曲線單元教學(xué)的若干思考

張俊剛

（太原市第二十中學(xué)校，山西 太原）

前段時(shí)間，筆者參加了市教科研中心組織的“升華杯”說課競(jìng)賽，競(jìng)賽課題是人教版選修1-1“圓錐曲線單元教學(xué)指導(dǎo)”。賽后，各位評(píng)委老師對(duì)此給出了較高的評(píng)價(jià)，同時(shí)也提出了一些問題，筆者聽取了建議和意見后，感受頗深，故重新整理內(nèi)容，愿與同行交流。

一、內(nèi)容分析

1.選修1-1中的“圓錐曲線與方程”和必修2中的“直線與方程”“圓與方程”以及系列4中的選修4-4“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”一起構(gòu)成了經(jīng)典的平面解析幾何內(nèi)容的主干，它是直線與方程、圓與方程內(nèi)容的延伸，也為后面學(xué)習(xí)坐標(biāo)系與各種方程做好了準(zhǔn)備。所以，它在解析幾何中起著承上啟下的作用。

2.本章內(nèi)容包含三種圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的內(nèi)容要求“理解”，雙曲線與拋物線的內(nèi)容要求“了解”。

3.教學(xué)重點(diǎn)是圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)，橢圓的離心率，雙曲線的漸近線。

二、學(xué)情分析

1.在選修2中學(xué)生已學(xué)會(huì)建立直線、圓這兩種平面上最簡(jiǎn)單的圖形的方程，并且通過研究它們的方程，研究它們的相關(guān)性質(zhì)及其位置關(guān)系滲透了坐標(biāo)法思想，現(xiàn)在延續(xù)坐標(biāo)法的思想學(xué)習(xí)圓錐曲線可能容易切入。另外在必修1、必修4學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，學(xué)生也積累了研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，這也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線打下了基礎(chǔ)。

2.從知識(shí)方面講，認(rèn)識(shí)圓錐曲線方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)，橢圓的曲線的離心率，雙漸近線；從方法方面講，由于圓錐曲線為二元二次方程，幾何性質(zhì)較為豐富，學(xué)生可能在運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理的過程中會(huì)有所困難。另外在解決問題的過程中，究竟是側(cè)重于從形切入，還是從數(shù)切入，可能出現(xiàn)判斷模糊的情況，即數(shù)形結(jié)合出現(xiàn)障礙。

三、教學(xué)策略

1.關(guān)于圓錐曲線定義教學(xué)的思考

三種圓錐曲線定義教學(xué)都可以引導(dǎo)學(xué)生通過經(jīng)歷動(dòng)腦，動(dòng)手作圖的過程，探究形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件，展現(xiàn)曲線的典型的幾何特征，在此基礎(chǔ)上，給出具有這種幾何特征的軌跡的正式名稱。同時(shí)充分發(fā)揮教材習(xí)題的功能，幫助學(xué)生把握?qǐng)A錐曲線定義的本質(zhì)，例如，課本42頁習(xí)題2.17：

如圖一，圓O的半徑為定長R，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，如線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

再如課本42頁習(xí)題2.11：

圖一

如果點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？為什么？

2.關(guān)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程的教學(xué)思考

如果僅僅為了獲得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生活動(dòng)也可以結(jié)束，但是我們看看以下課本中的兩例題。

課本35課頁：

例3.如圖二，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）。直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-，求點(diǎn)M的軌跡方程。

課本41頁：

例 6.如圖三：點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和它到直線l：x=的距離的比是常數(shù)求點(diǎn)M的軌跡。

這兩例題讓學(xué)生體會(huì)到橢圓幾何特征的各種表現(xiàn)形式，但這與前面所學(xué)的定義之間是否有內(nèi)在聯(lián)系？這三種幾何特征是否可以統(tǒng)一呢？帶著這些疑問回顧前面橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)過程的片段：

兩邊再平方：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

整理得：（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）

其中有兩處可分別變形如下：

通過這種引導(dǎo)，讓學(xué)生了解橢圓的不同描述，豐富橢圓的概念，對(duì)橢圓的各種表述留下較為深刻的印象。反過來，這也使得單調(diào)、繁瑣的運(yùn)算過程變得生動(dòng)而有活力，為橢圓方程的靈活運(yùn)用打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。更重要的是讓學(xué)生明白“變的是形式，不變的是本質(zhì)”這一科學(xué)道理。

教材中的概念、公式、定理等多數(shù)都是以具有較強(qiáng)的抽象性、概括性的“學(xué)術(shù)形態(tài)”知識(shí)呈現(xiàn)出來的，這些知識(shí)，有的是學(xué)生自我感覺就可以掌握的，有的則需要學(xué)生自主學(xué)習(xí)。其中，對(duì)于學(xué)生理解起來困難的，教師不僅“要在宏觀上理清思路”，還“要在微觀上推敲細(xì)節(jié)”，同時(shí)合理地利用教材并對(duì)其進(jìn)行適度地“二次開發(fā)”，將其轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生理解的“教育形態(tài)”知識(shí)，即生動(dòng)具體的、暴露實(shí)質(zhì)的“淺顯”知識(shí)。