基于能量角度的植物工廠優化控制

楊澤文，賈鶴鳴，宋文龍，朱傳旭，呂 帥

(1.東北林業大學機電工程學院，黑龍江哈爾濱 150040； 2.哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱 150000)

植物工廠是一種可以使作物高效產出的現代化新型農業系統，通過機械設備對其內部的環境進行控制，以達到農作物的最適生長條件[1-5]。植物工廠可以節約利用現有土地，保證農作物品質，節省勞動力，是目前解決資源匱乏的重要工具。其應用場景廣泛，可以建設在土壤貧瘠的地帶、樓宇之間、航天設備之中等[6-10]。

當前是我國農業發展最快的時期，一些高等學府、研究院以及與農業相關的企業、公司進行了大量的科學試驗，作了深入的學術研究，并取得了突破性進步。但對于植物工廠方面的研究，我國起步相對較晚[11-13]。針對植物工廠環境數學動態模型的建立，目前很少有基于能量角度來建立各個物理量平衡關系的研究。過去幾十年，關于植物工廠環境控制方面的研究成果大量涌現，各種控制策略和控制技術被應用，如比例、積分、微分(proportion-integral-derivative，簡稱PID)控制、模糊控制、神經網絡控制等[14-19]。但關于溫室控制系統的研究多集中在對各種環境因子的控制方面，并沒有考慮對植物工廠運行費用的控制。

本研究深入探討植物工廠環境的容量變量與強度變量，并基于能量角度抽象出閉環控制系統中的各個通量，建立其平衡關系。利用最優控制相關理論，建立數學動態模型。植物工廠的建設與運行必須考慮各種環境因子的優化整合，優選成本低、效果好的控制過程，以使控制成本達到最優。采用最優控制中的非線性規劃(nonlinear programming，簡稱NLP)方法，針對植物工廠運行費用與作物收益的關系，設計能使成本最優(用最少的投入在最短的時間內獲得最大的收益)的控制器。

1 通量、信息流的選擇與建立

1.1 植物工廠與作物的關系

不同植物工廠的模型可能會有所不同，但基于能量角度和整體平衡關系描述植物工廠系統的手段是通用的。將植物工廠與作物系統中的能量、質量、物質之間的關系抽象出來，可以得到它們之間的關系，如圖1所示。

圖1中，u表示控制變量；ω表示外界環境變量；X是容量變量，取決于系統的大小，變量X工廠表示植物工廠存儲的與能量相關的容量信息，變量X作物表示作物保存的與質量相關的容量信息；變量I代表通量，例如，I內-工廠代表從內部設備轉移到植物工廠的通量，包含熱量、CO2濃度等強度信息，相反，I工廠-內代表植物工廠轉移到內部設備的通量。

圖1中的實線代表能量、水、碳物質等變量，虛線代表信息量的流通。(1)代表植物工廠內部設備控制信息，例如加熱設備的控制信息、CO2設備的控制信息等；(2)代表種植者對植物工廠的操作信息，例如加熱溫度的設置等；(3)代表植物工廠外部設備控制信息，例如窗戶的開關等；(4)代表植物工廠對內部設備反饋的相關狀態信息，例如植物工廠的溫度、CO2濃度等；(5)代表植物工廠對外部設備反饋的相關狀態信息，例如植物工廠的空氣濕度等；(6)代表植物工廠的狀態信息，例如植物工廠的溫度、CO2濃度、空氣濕度等；(7)代表作物的自身狀態信息，例如植物的干質量等；(8)代表對作物進行操作的信息，例如收取作物的質量、消除雜物的質量等信息；(9)代表外界環境與內部設備相關的信息，例如外界的溫度、光照度等；(10)代表外界環境與外部設備相關的信息，例如外界的風速、空氣濕度等。

1.2 植物工廠系統中通量的平衡關系

在植物工廠-作物系統中，質量與能量平衡關系的表現形式如下：

(1)

(2)

由于通量變化取決于強度變量而不是容量變量，因此基于強度變量角度建立系統模型更為可行。能量和質量的容量變量與強度變量的關系可以被描述為

X=Mx。

(3)

式中：矩陣M=[mij][i、j∈(1,2,…,n)]代表容量系數；x代表系統中的強度變量。

將公式(3)展開可得：

(4)

其中，第i個容量變量等于第ij個系數乘以第j個強度變量相加的和。

原則上，容量變量可以是強度變量的函數。對公式(4)求導可得：

(5)

令：

(6)

可以得到：

(7)

(8)

(9)

由于變量I與強度變量相關，因此可以將公式(8)、公式(9)表達為函數形式，其一般非線性變量函數分別為

(10)

(11)

式中：f工廠為關于植物工廠的變量函數；f作物為關于作物的變量函數；輸入量為控制變量u和外界環境變量ω。

2 植物工廠溫度的最優控制模型

任何系統的最優控制都基于2個方面進行設計考慮，即以數學模型為基礎和以1個數學成本最大值(最小值)函數為基礎。實際問題是要求植物工廠利益最大化，因此成本函數的數值代表收益的多少，必須使其達到最大值。收益等于售賣作物所獲得的費用減去維持植物工廠環境的必要花費。植物工廠與作物的數學動態模型如下：

(12)

(13)

由公式(12)可知，作物質量與光照度和溫度成正比。公式(13)闡述的是外界溫度與植物工廠溫度的關系，從植物工廠加熱系統獲得的熱量輸入用K表示。通過提高溫度、提供光照能促進作物質量的增加，但提高溫度會消耗能量，因此對溫度的控制須要進行權衡。在沒有光照的條件下，不須要加熱，因為植物在沒有光照的條件下會停止生長，因此加熱將失去意義。

成本方程J代表利潤，其具體計算公式為

(14)

為分析和解決最優控制問題，采用狀態空間的一般形式表達植物工廠系統。首先通過公式(12)、公式(13)來描述系統的狀態變量。狀態變量通常用符號x表示。則

x1=U，x2=T。

(15)

公式(12)、公式(13)除常數外的其他自變量都被叫作輸入變量或輸入。2種輸入類型分別是可控的控制輸入與由外界環境變量決定的外界輸入。控制變量用u表示，由于加熱可以被控制，因此，

u1=K。

(16)

外界輸入用符號ω代表，因此，

ω1=L，ω2=T外。

(17)

系統模型可以表達為

(18)

(19)

引入變量：

(20)

則公式(19)、公式(20)可以用下式進行表達：

(21)

用一般的函數表達公式(21)為

(22)

其中，

(23)

式中：變量x,u,c,ω可以是任意維數，且變量函數f(x,u,c,ω)也可以是任意維數，因此公式(23)是一般通用狀態空間表達形式。在狀態空間形式中定義系統的初始狀態U(t0)、T(t0)，表示為

(24)

通過確定變量函數f(x,u,c,ω)和變量x(t0)，可以分別確定系統和初值。

在最優控制中經常假定成本函數是最小值而不是最大值。通過顛倒成本函數的符號(正負號)，用最大值替換最小值，將成本公式變成最小值形式：

(25)

為表達成本函數取決于控制輸入曲線u(t),t0≤t≤tf，成本函數J經常被寫作f[u(t)]。令：

Φ[x(tf)]=-c4x1(tf)；

(26)

L(x,u,c,ω)=c5u1。

(27)

則公式(25)可被寫為

(28)

公式(28)是成本核算公式的一般表達形式，Φ[x(tf)]、L(x,u,c,ω) 是標量函數，其中Φ[x(tf)]取決于系統獨立的最終狀態x(tf)，被定義為植物工廠收益；L(x,u,c,ω)代表從初始時刻t0至最終時刻tf植物工廠的運行費用，被定義為運行成本。

3 非線性規劃兩點邊值問題

將溫度控制的最優控制問題轉化為可以用非線性規劃方法求解的形式。非線性規劃方法問題的一般形式為

minf(x)
s.t.hi(x)=0(i=1,2,…,n)；
gj(x)≥0(j=1,2,…,m)。

(29)

式中：f(x)為目標函數，可以是線性函數，也可以是非線性函數；hi(x)是等式約束函數；gj(x)是不等式約束函數。約束函數也可以是非線性函數。

(30)

并滿足線性等式約束：0≤u≤20。

4 仿真試驗與結果分析

基于植物工廠的溫度控制模型，利用Matlab軟件進行 24 h 全天仿真試驗。

tf=24，Φ[x(tf)]=-c4x1(tf)，

采用非線性規劃對植物工廠溫度的最優控制進行仿真試驗。為更清晰直觀地表達變量之間的關系，將變量的數值進行適當比例的縮小。從圖2可以看出，控制器可以得到期望的控制，即當光照度和外界溫度適宜時，加熱量達到最大，可以在保證作物生長溫度適宜的條件下，在無光照時停止加熱，以節省植物工廠運行的費用。從圖3可以看出，狀態變量x1隨著時間的延長是逐漸上升的，說明作物的干質量在控制器的控制下是逐漸增加的，可以保證在運行成本最小的情況下保證收益的最大化。從圖4可以看出，在6 h附近植物工廠內部的溫度開始升高，停止加熱時溫度降為0 ℃。

5 結論

本研究針對植物工廠與作物系統建立關于能量的系統模型，并確定各個通量間的平衡關系。利用最優控制相關理論，在考慮作物收益的同時，將植物工廠的運行費用加入計算之中，使植物工廠與作物系統的收益最大化。本研究在考慮加熱成本、植物工廠內外溫度以及光照條件等因素的情況下，對加熱量進行控制。利用Matlab進行仿真試驗并得出理想的溫度控制律，且證明該控制律可以使植物工廠整體收益隨時間的延長逐漸增加，具有較高的應用前景和工程實用價值。