動態平衡問題的進階學習

(安徽省滁州中學，安徽 滁州 239000)

動態平衡問題根據變化量的多少，由易到難，分為三個進階層次，前一層次為后一層次學習做好充分的知識、思維、方法、能力的鋪墊。層次的劃分減小了思維的跨度，形成了合理的能力臺階和平臺，力求符合中學生的思維習慣。通過進階分層設計習題的難度和靈活度，以提升學生科學思維能力，培養理論探究和邏輯推理能力，最終達到提升核心素養的目的。

1 進階一

三個力中一個力大小、方向確定；第二個力方向確定，大小不定；第三個力大小、方向均不確定。

圖1

例題1:質量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上。用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點O，如圖1所示。用T表示繩OA段拉力的大小，在O點向左移動的過程中( )。

A.F逐漸變大，T逐漸變大

B.F逐漸變大，T逐漸變小

C.F逐漸變小，T逐漸變大

D.F逐漸變小，T逐漸變小

解析:選擇O點為研究對象，在OB繩的拉力(大小為物體重力G)、OA繩的拉力T、外力F作用下處于動態平衡，受力如圖2所示。構建動態矢量三角形(如圖3)，每條邊的長度和箭頭代表力的大小和方向，OB繩的拉力的大小和方向保持不變，動態源θ角逐漸增大，可見外力F和OA段拉力T逐漸增大。通過計算可得F=Gtanθ，T=G/cosθ。A選項正確。

圖2

圖3

評析:構建動態三角形，化靜態思維為動態思維，將定性分析和定量分析相結合。凸顯以不變應萬變的思維方法，分析哪些物理量不變，哪些物理量改變，明確動態源，構建變量之間的因果關系和邏輯線索，以不變的物理量作為切入點，構建動態矢量三角形。

圖4

例題2:如圖4所示，輕繩一端系在質量為m的物體A上，另一端系在一個套在粗糙豎直桿MN的圓環上。現用水平力F拉住繩子上一點O，使物體A從圖中實線位置緩慢下降到虛線位置，但圓環仍保持在原來位置不動。則在這一過程中，桿對環的摩擦力f和桿對環的壓力N的變化情況是( )。

A.f保持不變，N逐漸增大

B.f逐漸增大，N保持不變

C.f逐漸減小，N保持不變

D.f保持不變，N逐漸減小

圖5

解析:先隔離O點作為研究對象，受力情況如圖2，構建動態矢量三角形如圖3，本題動態源θ角逐漸減小，所以外力F逐漸減小。再選擇系統為研究對象，整體受力情況如圖5，在四個力作用下處于動態平衡，可見摩擦力f不變，彈力N逐漸減小。D選項正確。

評析:例題2和例題1既有相似之處，也有區別，思維方法都是構建動態矢量三角形，體現以不變應萬變的思維，但研究對象從部分到系統，研究方法從隔離法到整體法，思維出發點從局部分析進階到整體分析。

2 進階二

三個力中一個力大小、方向確定；第二個力大小確定，方向不定；第三個力大小、方向均不確定。

例題3:如圖6所示，桿BC的B端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端C為一滑輪。重物G上系一繩跨過滑輪固定于墻上A點處，桿恰好平衡。若將繩的A端沿墻緩慢向下移(BC桿、滑輪、繩的質量及摩擦均不計)，則( )。

A. 繩的拉力增大，BC桿受繩的壓力增大

B. 繩的拉力不變，BC桿受繩的壓力增大

C. 繩的拉力不變，BC桿受繩的壓力減小

D. 繩的拉力不變，BC桿受繩的壓力不變

圖6

圖7

例題4:如圖8所示，質量為m的小球通過一細線懸掛在天花板上，在一大小不變的外力F(F

圖8

圖9

評析:本題的最大特點是外力F的大小確定，方向具有任意性，構建一圓，半徑代表力的大小，沿任意半徑方向代表力的方向。為了達到平衡三個力必須構建閉合三角形，從而把物理問題過渡為幾何問題，有效提升學生的利用數學工具解決物理問題的能力。

3 進階三

三個力中一個力大小、方向確定；其余兩個力大小與方向都不確定。

例題5:如圖10所示，兩根輕繩一端系于結點O，另一端分別系于固定圓環上的A、B兩點，O為圓心。O點下面懸掛一物體M，繩OA水平，拉力大小為F1，繩OB與繩OA成α=120°，拉力大小為F2。將兩繩同時緩慢順時針轉過75°，并保持兩繩之間的夾角α始終不變，物體始終保持靜止狀態。則在旋轉過程中，下列說法正確的是( )。

圖10

A.F1逐漸增大

B.F1先增大后減小

C.F2逐漸減小

D.F2先減小后增大

解析:選擇結點O為研究對象受力分析如圖11，構建矢量三角形，同時確定此三角形的外接圓，根據幾何知識滿足動態平衡的一簇三角形如圖12。兩繩同時緩慢順時針轉動過程，F1先增大后減小、F2逐漸減小。B、C選項正確。

圖11

圖12

圖13

評析:兩個細線的拉力大小和方向同時改變，要求學生的邏輯推理更加縝密。從單一變量進階到多個變量，更需要學生對“以不變應萬變”的思想有更深層次的理解，動態三角形的構建需要考慮的因素更為復雜。

例題6:如圖13所示，建筑工人用輕繩將材料運到高處，使材料與豎直墻壁保持一定的距離L。在建筑材料被緩慢提起的過程中，繩AB和DB的拉力F1和F2的大小變化情況是( )。

A.F1增大，F2增大

B.F1增大，F2不變

C.F1增大，F2減小

D.F1減小，F2增大

解析:選擇結點B點為研究對象，受力分析如圖14，建筑材料被緩慢提起時α逐漸增大，β逐漸減小，G的大小和方向保持不變，構建如圖16的矢量三角形，可見F1和F2逐漸增大。A選項正確。

圖14

圖15

圖16

評析:變化的物理量從一個力的大小不確定、一個力的大小和方向不確定進階到兩個力的大小與方向都不確定。但有一點始終不變，三個力的合力為零，可構建一個閉合的矢量三角形。

4 結語

通過以上的進階學習，可使學生掌握解決動態平衡問題的關鍵：明確哪些物理量不變，哪些物理量變化，構建動態三角形，結合三角函數、正弦定理、相似性等進行綜合處理。