直桿與圓環(huán)組合體落地反彈問題的解法探討

(遼寧省凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

圖1

有關(guān)豎直方向的直桿與圓環(huán)的組合體落到水平地面被反彈后兩個(gè)物體發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題(如圖1)，曾以競(jìng)賽題和高考題的形式出現(xiàn)。對(duì)于這類恒力作用下的兩個(gè)物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題的解答，關(guān)鍵是判斷兩個(gè)物體能否達(dá)到共同速度。

通過分析兩個(gè)物體受力情況可知：當(dāng)二者落到水平地面被反彈后，直桿先向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，再向下做勻加速運(yùn)動(dòng)；而圓環(huán)一直向下運(yùn)動(dòng)，包括三種運(yùn)動(dòng)形式：勻減速運(yùn)動(dòng)、勻加速運(yùn)動(dòng)和勻速運(yùn)動(dòng)。為了判斷兩個(gè)物體能否達(dá)到共同速度，最簡(jiǎn)單的方法是通過觀察兩個(gè)物體的速度圖像是否存在交點(diǎn)，由此歸納出滑動(dòng)摩擦力與重力大小關(guān)系的三種不同情況，判斷對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)形式以及是否達(dá)到同速。

可用速度圖像來直觀地說明。兩個(gè)物體的初速度大小相等，方向相反。若以豎直向下為正方向，則直桿的速度先為負(fù)值，后為正值，而圓環(huán)的速度始終為正值。在直桿從第一次觸地到第二次觸地的過程中，由于所受滑動(dòng)摩擦力的方向不變，直桿向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度與開始向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度相等，由于直桿受到兩個(gè)作用力的方向相同，圓環(huán)受到兩個(gè)作用力的方向相反，因此圓環(huán)的加速度小于直桿的加速度。如果摩擦力大于重力，那么圓環(huán)做勻減速運(yùn)動(dòng)，其速度圖像與直桿的速度圖像必有交點(diǎn)，畫出的速度圖像如圖2所示。由交點(diǎn)的位置可知在直桿觸地之前二者必達(dá)到共同速度，而且直桿每次觸地時(shí)的速度逐漸減小。如果摩擦力小于重力，則圓環(huán)做勻加速運(yùn)動(dòng)，其速度圖像與直桿的速度圖像沒有交點(diǎn)，畫出速度圖像如圖3所示，兩個(gè)物體不可能達(dá)到共同速度，可知二者始終受到摩擦力的作用，則直桿的往返運(yùn)動(dòng)類似于豎直上拋運(yùn)動(dòng)，因此直桿每次觸地時(shí)的速度大小都與初速度大小相等。如果摩擦力與重力大小相等，則在相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中圓環(huán)始終做勻速運(yùn)動(dòng)，其速度圖像為水平直線，而直桿的往返運(yùn)動(dòng)類似于豎直上拋運(yùn)動(dòng)。

圖2

圖3

還可利用假設(shè)法來判斷三種速度情形對(duì)應(yīng)的恒力的大小關(guān)系。假設(shè)直桿在第二次觸地時(shí)與圓環(huán)達(dá)到同速，則直桿一直受到摩擦力的作用，由于往返運(yùn)動(dòng)的總位移為零，因此直桿在第二次觸地時(shí)的速度與初速度大小相等，那么此時(shí)圓環(huán)的速度與初速度相等，表明圓環(huán)一直做勻速運(yùn)動(dòng)，可知摩擦力與重力大小相等。假設(shè)直桿在第二次觸地之前與圓環(huán)達(dá)到同速，則該速度小于直桿的初速度，那么此時(shí)圓環(huán)的速度小于初速度，表明圓環(huán)一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，可知摩擦力大于重力。假設(shè)直桿在第二次觸地時(shí)二者還未達(dá)到同速，則此時(shí)圓環(huán)的速度大于初速度，可知摩擦力小于重力。

總之，根據(jù)相互作用的摩擦力與重力的大小關(guān)系，可分為三種情形：其一是摩擦力大于重力，那么在相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中，圓環(huán)先做勻減速運(yùn)動(dòng)，而直桿被反彈后先向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，后向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，在直桿觸地之前二者達(dá)到共同速度，一起做勻加速運(yùn)動(dòng)。其二是摩擦力小于重力，那么圓環(huán)一直做勻加速運(yùn)動(dòng)，而直桿先向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，后向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，二者不可能達(dá)到共同速度。其三是摩擦力與重力大小相等，那么圓環(huán)一直做勻速運(yùn)動(dòng)，在直桿觸地瞬時(shí)二者達(dá)到共同速度。

在解答有關(guān)直桿與圓環(huán)組合體的落地反彈問題時(shí)，首先要根據(jù)摩擦力與重力的大小關(guān)系來確定兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)過程及形式，然后應(yīng)用相關(guān)的物理規(guī)律進(jìn)行解答，下面按兩種情形進(jìn)行舉例分析。

1 摩擦力大于重力

在摩擦力大于重力的情況下，在直桿每次觸地后，兩個(gè)物體在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過程中必達(dá)到共同速度，此時(shí)摩擦力消失，然后一起做勻加速運(yùn)動(dòng)。

例1：如圖1所示，一個(gè)圓環(huán)A套在一根長度為L均勻圓柱形木棒B的上端，環(huán)和棒的質(zhì)量都為m，相互間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，大小為1.5mg。開始時(shí)棒的下端離地面高度為H(L>2H)，二者由靜止開始自由下落，棒與水平地面發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短，且無機(jī)械能損失，空氣阻力忽略不計(jì)，棒始終保持豎直。求：

(2) 在木棒第二次觸地前，要使圓環(huán)不脫離木棒，木棒至少為多長？

(3) 若摩擦力大小為f=kmg(k>1)，在木棒從第一次觸地后到第n次觸地的過程中圓環(huán)運(yùn)動(dòng)的位移為多少？木棒運(yùn)動(dòng)的路程為多少？

基于圖3所示概率圖，在基于波束成形的一對(duì)一無線充電過程中，情況1-情況4發(fā)生的概率可分別用pc1、pc2、pc3、pc4表示：

點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是直接利用了一個(gè)結(jié)論，即在摩擦力大于重力的條件下，直桿與圓環(huán)的組合體在每次下落反彈后的相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中必達(dá)到共同速度。還利用了多種方法求解，如利用相對(duì)加速度法和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解圓環(huán)的相對(duì)位移，利用整體法和能量守恒定律或動(dòng)能定理列方程求解木棒觸地時(shí)的速度，利用歸納法、等比數(shù)列求和公式求解圓環(huán)的相對(duì)位移和木棒運(yùn)動(dòng)的路程。

2 摩擦力小于重力

在摩擦力小于重力的情況下，兩個(gè)物體在相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中不可能達(dá)到共同速度，因此摩擦力不可能消失，那么直桿的運(yùn)動(dòng)類似于豎直上拋運(yùn)動(dòng)。

例2：如圖1所示，一個(gè)圓環(huán)A套在一根均勻的圓柱形直桿B上，環(huán)和桿的質(zhì)量都為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，大小為0.5mg。開始時(shí)桿的下端離地面高度為H，二者由靜止開始自由下落，桿與地面發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短，無機(jī)械能損失，空氣阻力忽略不計(jì)，而且桿始終保持豎直。若桿第一次觸地到第四次觸地前圓環(huán)不脫離桿，求：

(1) 直桿的長度至少為多大？

(2) 在直桿第四次觸地時(shí)圓環(huán)的速度為多大？

(3) 在直桿第一次觸地到第四次觸地的過程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能為多少？

點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是判斷圓環(huán)一直做勻加速運(yùn)動(dòng)以及直桿的往返運(yùn)動(dòng)

類似于豎直上拋運(yùn)動(dòng)，該運(yùn)動(dòng)過程所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)狀態(tài)都是直桿觸地，因此圓環(huán)的位移與其在直桿上的相對(duì)位移相等。

總之，對(duì)于在豎直方向的直桿與圓環(huán)的組合體落地反彈問題的解答，首先要明確圓環(huán)受到的摩擦力與重力的大小關(guān)系，然后分析兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)形式和運(yùn)動(dòng)過程以及能否達(dá)到共同速度。