球頭副結構尺寸對柱式力傳感器方位誤差影響

梁 偉

（福建省計量科學研究院 智能測量研究所，福州 350100）

隨著科技和工業的飛躍發展，力傳感器越來越廣泛地應用于電子衡器、高速鐵路、大型橋梁、高層建筑、冶金以及航空航天等領域的力值測量。應變式力傳感器由球頭副、彈性體、應變片及惠斯通電橋等組成，球頭副由球頭和球碗組成。力傳感器受載時，與其接觸的上下工作平面不能保證絕對平行，球頭在加載過程中將相對球碗發生滾動或滑動調整，將載荷較均勻地傳遞給彈性體，粘貼在彈性體上的應變片受載，其電阻發生變化，使惠斯通電橋失去平衡，從而輸出一個與被測載荷成線性變化的電信號。如果未采用球頭副，則施加于彈性體上的載荷將出現嚴重偏載現象，若將傳感器繞其軸線旋轉到不同位置，則各位置測量得到的結果會存在較大差異，形成較大“方位誤差”。因此，球頭副對調整彈性體的載荷分布，提高傳感器的測量準確度具有重要作用。

球頭副的接觸形式、尺寸、加工水平對測量結果具有顯著影響，國內外專家對此開展了一些研究。[1-3]但是對于球頭副如何影響力傳感器計量性能，例如方位誤差等，國內外未有相關報道。本課題組在研究國家重大科學儀器設備開發專項——高精度衡器載荷測量儀，以及一臺目前國際上量程最大的60 MN力標準機項目中，對兩個項目核心構件——高精度應變式力傳感器開展研究，其中包括探索球頭副對力傳感器計量性能的影響。該研究成果已實現了力傳感器性能的提升，并應用于此兩個項目，衡器載荷測量儀于2016年實現產業化推廣應用，而60 MN力標準機在2017年與德國聯邦物理技術研究院（PTB）的50 MN力標準裝置的力值比對取得國際等效的滿意結果[4]。

本文對柱式應變式力傳感器進行了理論分析，并進行實驗驗證，提出了優化球頭副結構尺寸以減小傳感器方位誤差的建議。

1 理論分析

如圖1所示，為一柱式傳感器及其球頭副結構，當其在力標準機上校準時，由于力標準機上下工作平面的不平行，假設存在傾斜角α，則球頭在加載過程中相對球碗發生滾動或滑動，當球頭副承載狀態穩定后，球頭的中心線與球碗中心線存在夾角α，如圖2所示，由幾何關系得：

圖1 力傳感器及其球頭副組合結構示意Fig.1 Schematic diagram of force transducer and load pad

圖2 球頭副示意Fig.2 Schematic diagram of load pad

式中：R1為球頭的曲率半徑；R2為球碗的曲率半徑；θ1為球頭滾動前后接觸點與球頭圓心形成的夾角；θ2為球頭滾動前后接觸點與球碗圓心形成的夾角。

由式（1）得到：

球頭相對球碗滾動后，傳感器的軸向力為FN：

同時產生了一個側向力Ft：

以及一個附件彎矩M：

式中：e為載荷偏心量。由圖2幾何位置關系可以得到：

將上式代入公式，得到：

圖3 應變片排布Fig.3 Strain gauges distribution

圖4 應變片粘貼位置偏差示意Fig.4 Strain gauges attached with angular misalignment

如圖3和圖4所示，4個應變片粘貼在彈性體上，由于應變片粘貼的水平限制，4個應變片無法決定對稱，而相對之間存在一定的角度偏差，如圖4中β和γ。但是，傳感器一旦制造完成，該角度偏差就固定下來。

依據彈性理論，在軸向力FN、側向力Ft和附件彎矩M的共同作用下，4個應變片的輸出為

式中：S為彈性體截面的面積；ω為側向力和附加彎矩的方位，如圖4所示；R為彈性體的橫截面的半徑；E為彈性體材料的彈性模量；μ為彈性體材料的泊松比；I為彈性體的慣性矩，I=πR4/4。

由圖5的惠斯登橋路，其輸出為

式中：X為輸出信號；K為靈敏系數。

圖5 惠斯登橋路Fig.5 Wheatstone bridge circuit

將式（9）代入公式，得到：

傳感器的方位誤差b由下式計算得到：

式中：Xmax和Xmin分別為傳感器在不同測量位置上信號的最大值和最小值；Xˉr為各方位測量的平均值。

保持傳感器位置不變，將載荷繞傳感器軸線轉動，即可確定Xmax和Xmin，即在 ω∈［0，2π］范圍內，X的最大值和最小值。將其代入式，并整理得到：

2 實驗設計

為研究驗證不同結構尺寸球頭副對傳感器方位誤差的影響，本文設計了6對球頭副，其具體尺寸如表1所示。所有球頭副材料均為GCr15軸承鋼，采用相同熱處理工藝。

將6對球頭副分別安裝在一只300 kN和一只100 kN 柱式力傳感器上， 分別在 0°、0.5°和 1°的楔形墊塊上，采用一臺300 kN凈重式力標準機（相對擴展不確定度為0.005%，k=2）進行測試，測試步驟參照 ISO 376：2011（E）[5]進行。

表1 球頭副尺寸Tab.1 Dimensions of load pad

3 結果與討論

圖6和圖7所示為各球頭副分別在300 kN和100 kN應變式柱式力傳感器上測量得到的方位誤差，從中可以明顯看出，隨著傾斜角度的α增大，由式（4）和式（7），側向力Ft和附加彎矩M也隨之增大，從而造成方位誤差迅速增大。

圖6 300 kN力傳感器采用不同結構尺寸球頭實驗以及計算得到的方位誤差對比Fig.6 Comparison of the 300 kN transducer’s position errors between the measurement and calculation

圖7 100 kN力傳感器采用不同結構尺寸球頭實驗以及計算得到的方位誤差對比Fig.7 Comparison of the 100 kN transducer’s position errors between the measurement and calculation

對比1號、2號和3號球頭副，其均為球面-平面接觸類型，球頭球面半徑R1越大，方位誤差隨傾斜角度增長的速度越快。由式（7）可以得到，當球碗為平面時，即R2=∞ 時，M＝FR1αcosα，附加彎矩M與R1成正比，因此R1越大，附加彎矩M也越大，方位誤差也越大。

對比4號、5號和6號球頭副，其均為球面-球面接觸類型，球頭與球碗的球面半徑比Δ，Δ＝R1/R2＝1/2，球頭球面半徑R2越大，方位誤差隨傾斜角度增長的速度也越快。 由式（7），M=FR2sin［Δα/（1-Δ）］cos α，當Δ相等時，附加彎矩M與R2成正比，R2越大，附加彎矩M也越大，方位誤差也越大。

對比由式（12）計算得到的各球頭的方位誤差以及由實驗測量得到的方位誤差，可以看出兩者相差很小，理論推導的方位誤差公式可以準確地計算電阻應變式柱式力傳感器的方位誤差并預測其在不同球頭副結構尺寸影響下的變化規律。當傳感器制造完成，應變片角度偏差β和γ即固定不變，式（12）中的sin（β/2）+μsin（γ/2）一項即為常數，R2=∞ 時，方位誤差隨R1增大；同樣，對于相同的球面半徑比Δ，應該嚴格控制R2尺寸，從而減小傳感器的方位誤差。此外，由該公式可以預測，如果保持R2不變，則Δ越大，產生的附加彎矩M也越大，其得到的方位誤差也越大。

4 結語

本文對柱式應變式力傳感器的方位誤差進行了理論分析，并通過不同結構尺寸的球頭副實驗驗證，得到結論如下：

理論推導的方位誤差計算公式可以準確地計算柱式力傳感器的方位誤差并預測其在不同球頭副結構尺寸影響下的變化規律；柱式力傳感器的方位誤差與施加在其上的附加彎矩有關，彎矩越大，產生的方位誤差也越大；對于球面—平面接觸類型球頭副，應嚴格控制球頭半徑R1尺寸，在材料強度允許的調節下，R1應盡量小；同樣，對于球面—球面接觸，應該盡量控制球碗半徑R2和半徑比Δ，從而減小傳感器的方位誤差。