利用幾何畫板輔助函數(shù)教學(xué)實(shí)例

趙國(guó)平

摘要：幾何畫板是一款優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，它具有動(dòng)態(tài)的圖形功能，豐富的變換功能，強(qiáng)大的動(dòng)畫功能，方便的函數(shù)圖象功能。在數(shù)學(xué)教學(xué)中的函數(shù)引入、探討的過程中，利用幾何畫板探討對(duì)于學(xué)生加深理解和認(rèn)識(shí)方面的作用和用法。

關(guān)鍵詞：幾何畫板； 一次函數(shù)；反比函數(shù)；二次函數(shù)；三角函數(shù)

新課改強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)重視現(xiàn)代信息技術(shù)的運(yùn)用，特別要充分考慮計(jì)算器、計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去。可以讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中觀察、探索和發(fā)現(xiàn)幾何對(duì)象之間的數(shù)量變化關(guān)系與空間結(jié)構(gòu)關(guān)系，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的有效工具。如何利用幾何畫板輔助函數(shù)教學(xué)呢？下面通過幾個(gè)例子來(lái)探計(jì)幾何畫板在幾種函數(shù)教學(xué)中作用。

例一：利用幾何畫板，直觀展示描點(diǎn)法畫一次函數(shù)圖像成直線的過程

利用幾何畫板幫助學(xué)生理解一次函數(shù)與圖像的關(guān)系，化抽象為具體。

函數(shù)及其圖像對(duì)學(xué)生來(lái)說，比較抽象，難于理解，為了展示圖像對(duì)函數(shù)關(guān)系的動(dòng)態(tài)反映，把抽象變?yōu)榫唧w，以課堂演示y=2x這條直線的形成為例。打開《幾何畫板》，建立坐標(biāo)系，先在x軸上取點(diǎn)A，度量該點(diǎn)的橫坐標(biāo)xA，然后利用“度量”菜單中的“計(jì)算”功能計(jì)算出2*xA，“繪圖”菜單下的“繪制點(diǎn)”繪出點(diǎn)B（xA，2xA），最后將點(diǎn)B設(shè)置為“顯示”菜單下的“追蹤繪制的點(diǎn)”。

師：圖中的點(diǎn)B是滿足y=2x函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)，大家知道這樣的點(diǎn)有多少個(gè)嗎？

生：無(wú)數(shù)個(gè)

師：這無(wú)數(shù)個(gè)滿足y=2x函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)有什么特點(diǎn)呢？請(qǐng)大家仔細(xì)觀察 （慢慢的拖動(dòng)A點(diǎn)）

拖動(dòng)的過程中請(qǐng)同學(xué)們注意變化的點(diǎn)B的橫縱坐標(biāo)的數(shù)值，是否滿足y=2x關(guān)系？

生：都滿足。

師：這些點(diǎn)形成了什么圖形？

生：點(diǎn)動(dòng)成線，形成了一條直線。

利用幾何畫板畫一次函數(shù)有兩個(gè)作用：

1、助學(xué)生理解函數(shù)圖像是由無(wú)數(shù)個(gè)滿足函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)形成的。

2、彌補(bǔ)了描點(diǎn)法畫圖像只能由有限個(gè)點(diǎn)來(lái)猜測(cè)圖像形狀的弱點(diǎn)，僅僅是在紙上描點(diǎn)，學(xué)生不禁會(huì)問為什么圖像就是直線呢？通過幾何畫板演示，學(xué)生清楚地看到了直線的形成過程，印象非常深刻。

例二：利用幾何畫板形象地反映反比例函數(shù)（雙曲線）的圖像特點(diǎn)，深化對(duì)圖像的理解。

反比例函數(shù)的圖像雙曲線的特點(diǎn)，學(xué)生也不好把握，什么叫“與坐標(biāo)軸無(wú)限接近，但永不相交”？為了幫助學(xué)生理解雙曲線的特點(diǎn)，可以利用幾何畫板來(lái)形象地展示這一特點(diǎn)。

首先建立坐標(biāo)系，在x軸上取點(diǎn)A，度量該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用“度量”菜單中的“計(jì)算”功能計(jì)算出

“度量”菜單下的“繪制點(diǎn)”繪出點(diǎn)B（x， ），最后依次選中點(diǎn)A、B，選擇“構(gòu)造”菜單中的“軌跡”，完成雙曲線的繪制。

師：當(dāng)x>0 時(shí)，x越大，

的值如何變化？

生：x越大，越小。

師：大家能想象隨著x的增大，點(diǎn)（x，）的變化嗎？ （學(xué)生思索）

師（演示向右拖動(dòng)點(diǎn)A），橫坐標(biāo)x的數(shù)值越來(lái)越大，

大家觀察雙曲線上的點(diǎn)有什么特點(diǎn)？

生：向右運(yùn)動(dòng)，與x軸的距離越來(lái)越小。

師：圖像上的點(diǎn)會(huì)與x軸相交嗎？

生：不會(huì)，因?yàn)閥不為0。

再觀察雙曲線與y軸的關(guān)系，師生共同總結(jié)雙曲線特點(diǎn)：無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永不相交。

通過這樣的演示，學(xué)生對(duì)雙曲線的特點(diǎn)有了更加直觀的感受和深刻的印象，同時(shí)更進(jìn)一步幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)了函數(shù)和圖像的關(guān)系。

例三：利用幾何畫板中繪制函數(shù)命令探究拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)與三個(gè)系數(shù)的關(guān)系

利用參數(shù)動(dòng)態(tài)控制函數(shù)的解析式及其圖像的變化，使用時(shí)可拖動(dòng)點(diǎn)改變參數(shù)a、b、c的值，此時(shí)函數(shù)解析式及其圖像會(huì)隨著參數(shù)值的改變而改變。

具體制作步驟如下：

1.執(zhí)行“繪圖”—“定義坐標(biāo)系”命令，顯示坐標(biāo)系。執(zhí)行“繪圖”—“隱藏網(wǎng)格”命令，把網(wǎng)格隱藏起來(lái)。

2.在坐標(biāo)素中任取三點(diǎn)A、B、C，度量A、B、C的縱坐標(biāo)，將縱坐標(biāo)度量值的標(biāo)簽分別改為a，b，c，

3.執(zhí)行“數(shù)據(jù)”—“新建函數(shù)”命令，打開新建函數(shù)對(duì)話框，輸入a*x2+b*x+c，單擊“確定”按鈕，新建函數(shù)y=ax2+bx+c。

4.右擊函數(shù)y=ax2+bx+c，在彈出的菜單選項(xiàng)中選擇“繪制函數(shù)”命令，繪制出函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像。

探究?jī)?nèi)容：

（1）上下拖動(dòng)A點(diǎn)，改變a的值，二次項(xiàng)系數(shù)a：觀察確定拋物線的開口方向，a>0時(shí)，開口向上；a<0時(shí)，開口向下。

∣a∣確定開口的大小。∣a∣越大，越靠近拋物線的對(duì)稱軸；反之亦然。

（2）上下拖動(dòng)C點(diǎn)，改變c的值，常數(shù)項(xiàng)c：為拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)

（3）上下拖動(dòng)B點(diǎn)，改變b的值，一次項(xiàng)系數(shù)b結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)a：確定拋物線對(duì)稱軸的位置[在y軸的左側(cè)，還是右側(cè)，即：由對(duì)稱軸方程x=-b/（2a）確定]

通過讓學(xué)生觀察、分析與對(duì)比，直觀形象的看到了幾個(gè)參數(shù)a、b、c發(fā)生時(shí)，圖形是如何變化的，看到在運(yùn)動(dòng)和變化的過程中變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。若靠老師口頭講解、黑板上畫圖很難達(dá)到這個(gè)要求。

借助幾何畫板強(qiáng)大的作圖和分析功能，動(dòng)態(tài)地展示y=Asin（wx+p）的圖象，讓學(xué)生分別拖動(dòng)控制按鈕A、w、p就可以真正觀察到函數(shù)圖象生成的變化過程及結(jié)果。讓學(xué)生充分利用幾何畫板的動(dòng)畫功能，對(duì)其三角函數(shù)圖象的變化能直接進(jìn)行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的操作，這樣就可以對(duì)一切想探試的值進(jìn)行探試，能夠及時(shí)的計(jì)算出因參數(shù)變化而引起的函數(shù)值的變化，從而展示所引起的圖象形狀的變化，來(lái)加深對(duì)這一問題的認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，是通過知識(shí)的載體來(lái)體現(xiàn)的，對(duì)于它們的認(rèn)識(shí)需要一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的過程，它需要學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等等一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)和學(xué)習(xí)實(shí)踐中不斷的感受和理解。