牛頓法方程式對漸開線函數的求解及Excel函數實現齒輪參數自動設計

汪奎

（中航工業貴陽萬江航空機電有限公司，貴陽 550018）

0 引言

我國齒輪生產已達相當規模，設計與工藝水平不斷提高，一些齒輪產品生產已接近或達到國際水平，但總體上還有一定的差距。工程技術人員面對齒輪設計，要面對參數優化、精度等級、毛坯要求、公差與驗收，以及大量數據的計算，占用產品設計的大量周期。如何對產品的前期風險進行識別、對齒輪參數進行優化設計和自動計算、減少人工計算量、提高工作質量和實物質量，是本文研究和探索的重點。

1 查表法求取α的弊端

對于不同壓力角α的漸開線，可查找專用表格，但查找起來很麻煩、效率低、易出錯。例如通過表格查找壓力角α=20°15′25″(20.256 944 44°)的漸開線函數。

由漸開線函數表查出α=20°15′=0.0154903和α=20°16′=0.0155299，算出1″為

圖1 漸開線函數公式推導

所以25″的漸開線函數值用內插法求得為：

最后計算出:

這個過程占用工程技術人員大量時間,而且結果的可靠度低。

2 漸開線函數invα的公式推導

研究漸開線齒輪的嚙合原理和計算齒輪厚度等幾何尺寸時，常常需要用到漸開線方程式。由于采用極坐標方程式比較方便，所以這里只介紹漸開線的極坐標方程式[1-3]。

如圖1，A為漸開線在基圓上的起點，K為漸開線上任意點，其向徑為rk，漸開線AK段的展角為θk，在△OBK中，∠KOB=α，

故θk=tanα-α。由此得漸開線極坐標方程：

該式表明：θk隨α的變化而變化，所以展角θk是壓力角α的函數，稱為壓力角α的漸開線函數。工程上常用invα表示θk，即

漸開線函數有專門計算好的表格，可以直接查閱標準，對于齒輪參數的設計至關重要。

因此，漸開線的極坐標方程式又可寫為：

3 正切函數tanα展開成冪級數

3.1 泰勒級數

若函數f（x）在x=x0時連續且有各階導數，則一般可展開成泰勒級數：

3.2 馬克勞林級數

馬克勞林級數是泰勒級數在x0=0時的特殊情形：

3.3 tan（x）函數展開成級數

4.1.2 粗略近似值的精確化法。

這里運用牛頓法求解：如果方程f（x）=0有一根c介于［a,b］之間，且f′（x）及f″（x）存在，則可用曲線端點f（b）的切線與x軸的交點x1來逼近曲線與x軸的交點即方程的根c。對于任意第i次近似：

4 牛頓法實現invα=tan（α）-α漸開線方程式的求解

4.1 方程根的求解方法——牛頓法

方程的近似解既可應用于代數方程，也可應用于超越方程。根的計算分為根的粗略計算和將根的粗略近似值精確化兩步。根的粗略估算法有試驗法、圖解法、拉格朗日法等；根的粗略近似值精確化方法有弦線法、牛頓法、迭代法等。由于牛頓法收斂速度較快，這里我們采用牛頓法求解。

4.1.1 根的粗略估計法

主要根據應用實踐進行選取。根據invα=tan(α)-α的特殊情況，初步估計根的區間為

可以連續求下去，直到所需的精度為止。

4.2 invα=tan（α）-α的求解

以invα=0.0155068為例，求取α值。首先需要將tan(α)展開成α的函數關系式，這里，我們運用函數展開成冪級數的形式:

圖2 方程根近似值的精確化法（牛頓法）

取級數中最前面5步進行計算和迭代：

則

當迭代到第9次時，

換算為角度值為20.25698443°，離目標值20.256844 44°已經非常接近，兩者相差：20.25698443-20.25684444=0.00013999，誤差不到0.14‰，已相當精確。迭代次數越多，越接近目標值。

5 齒輪參數自動設計

涉及到齒輪參數的計算很多，如圓柱測量距、公法線長度及跨齒數、任意半徑齒槽寬、公差組參數值等等，由于涉及到的面比較廣，我們僅舉一個例子，如何運用常用軟件Excel的強大函數功能，實現斜齒輪（外齒、雙數齒）圓柱測量距M的自動設計。

式中：df為分度圓直徑；dp為圓棒直徑；mn為法向模數；αfn為法向分度圓壓力角；αfs為端面分度圓壓力角；ξn為法向變位系數；βf為分度圓螺旋角。

假設：mn=0.6 mm，Z=42，α=20°，βf=4°53′57″，ha*=1，C*=0.35；dp=1.008。Excel單元格設置：mn=B2、Z=B3、α=B4、βf=B5、ha*=B6、C*=B7，ξn=B8、dp=B9。

運用牛頓法方程式自動求解出invαfs(單元格D13)，進而計算出：

invαxs==B9/(B2*B3*COS(B4*PI()/180))-0.5*PI()/B3+(2*B8*TAN(B4*PI()/180)/B3)+D13=0.02022820

Am=1/B3=0.02380952

Bm=B9/(B2*COS(B4*PI()/180))-PI()/2=0.21702233 Em=COS((90/B3)*PI()/180)=0.99930071(D20)

Dx=B17*COS(D14*PI()/180)/COS(D16*PI()/180)=25.63368296(D17)

M=D17+B9=26.64168296。

一般四舍五入到小數點后3位精度足夠，即M=26.642。

6 結語

齒輪參數的設計比較復雜，特別是大量繁雜的公式計算是工程技術人員不得不面臨的課題。本文結合工作實際，利用牛頓法對方程的求根方式，并用生活中最常用的Excel軟件的函數功能，成功地解決了這個問題。經過10多年在公司的成功運用，特別是軍工產品機械加工領域，取得了很好的效益。創新的思維可以解決復雜問題，小創新帶來大進步，這是每個工程技術人員的義務。