部分范數約束的稀疏恢復算法及其在單載波水聲數據遙測中的應用

伍飛云，楊坤德，童峰

（1. 西北工業大學航海學院，陜西 西安 710072；2. 西北工業大學海洋聲學信息感知工業和信息化部重點實驗室，陜西 西安 710072；3. 廈門大學水聲通信與海洋信息技術教育部重點實驗室，福建 廈門 361005）

1 引言

水下無線傳感網絡涉及諸多領域，如水下數據監測、污染控制、氣象預報等[1-3]。水下單載波水聲數據的遙測則為水下無線傳感網絡的一個分支和具體應用，如水下自主航行器的控制、艦船噪聲監測以及水聲通信等。由于觀測和記錄的數據時間長、容量大，加上無線通信帶寬有限，且與衛星通信成本高，無線傳感器所攜帶的能量有限等問題，在設計水下單載波水聲數據的遙測系統時，不得不考慮數據壓縮問題，而數據壓縮越大，恢復精度必將受到影響，如何提高算法的恢復精度是本文研究的重點內容。

傳統的數據壓縮方法諸如小波壓縮[4]，能耗大且恢復精度有限。與小波壓縮方法不同，壓縮感知（CS, compressed sensing）采用稀疏二進制傳感矩陣[5]，以降低能耗與成本。但 CS算法僅適用于能稀疏表達的信號[6-7]，因此，對于處理時域非稀疏的水聲信號，則需考慮將水聲信號進行稀疏化表達。結合單載波水聲信號的頻域稀疏特性，本文考慮在離散余弦變換（DCT, discrete cosine transform）域對壓縮的信號進行估計，并最終恢復出觀測的單載波信號。

基于 DCT框架，壓縮感知的核心目標是直接求最小l0范數，然而該問題不可直接獲取[6-7]，通常的辦法是采用最小l1范數進行代替，典型的算法包括基于最小l1范數的拉格朗日算法[8]和硬閾值迭代（IHT, iterative hard threshold）算法[9]。前者獲得的稀疏解精度有限，而后者不能保證所求解為稀疏解[10]，改進的思路是在所求解中加入稀疏度的限制使其稀疏化。但這些方法不足以改善稀疏解的估計精度。貪婪算法作為廣泛采用的稀疏求解算法，具體包括匹配追蹤（MP, matching pursuit）算法[11]和正交匹配追蹤（OMP, orthogonal matching pursuit）算法[12]。然而這些算法是局部搜索最優，所獲得的解不是全局最優。

本文將部分范數約束（PNC, partial-norm- constraint）引入優化目標中，以取代直接對l1范數進行最小化策略。事實上，PNC首次應用在有限長單位沖激響應濾波器[13]，隨后在范數自適應算法[14]和自適應零吸引因子算法設計中得以應用[15]，進一步地，PNC結合壓縮感知框架構建了稀疏恢復算法[16]。然而，以上算法主要是在實數域中進行討論和設計。本文將PNC與拉格朗日乘子法結合，推導出DCT域的稀疏恢復算法。本文的創新點如下。

1) 結合壓縮感知框架對單載波水聲數據進行壓縮和恢復研究，在該框架下，數據的大量壓縮將有助于提高遙測系統的電池使用時間，降低網絡傳輸數據的負載。

2) 將部分范數約束添加到測量關系式中，并通過拉格朗日算子法得到解析式，從而導出基于部分范數約束下的稀疏求解策略。該算法的性能將在后續部分范數與傳統算法進行對比和分析。

對本文采用的數學符號做統一說明：上角標T表示向量或矩陣的轉置，上角標H表示共軛轉置，I表示單位矩陣，||θ||0表示向量的非零元素的個數，||θ||1表示向量各元素的絕對值之和，||θ||表示向量的歐氏長度，E(di)表示第i列列向量 di的平均值。

2 模型建立

其中，Φ表示MN×的測量矩陣，且MN＜＜，Φ隨機選取M列線性無關的向量，壓縮向量y和v維數都為1M×，由于MN＜＜，即y的維度遠小于原始數據x的維度，因此，y的存儲和傳輸比x的要求更低，在終端，基于合理選擇的Φ，CS算法可從壓縮信號y中重構[17]，且不需要任何先驗知識。本文選取隨機二進制矩陣作為測量矩陣。

實際應用中，x雖然在時域表達不稀疏，但在變換域中可由一組正交基iψ表示為

其中，θ =＜ x,ψi＞ 是 N × 1 的向量，且 Ψ =[ψ1,…,ψN]為N×N的字典矩陣。本文采用DCT矩陣作為字典矩 陣 。 ψi( i = 1,… ,N )的 構 成 如 下 ： 設 di=用 Matlab語言表示 變化 步長為 1， ci= di? E (di) ,0＜i ＜ N ，則。128128×維的Ψ如圖1所示。

若向量θ中有κ個非零元素，則稱θ為κ稀疏，若將噪聲影響融合到待壓縮的信號中，則模型(1)變為

其中， A = ΦΨ ，且 κ ≤M ＜ N 。

圖1 128128×維的Ψ

經測量矩陣Φ， 1N×的信號x壓縮為 1M×的信號y，由于測量矩陣是超完備的，即存在無數多個解，設計的目標是找出其中最稀疏的解。因此，優化目標為

其中，0||||θ為θ的非零元素個數，設該問題的解為θ～，則重構信號x～可由以下獲得

3 稀疏解估計

一旦模型建立，余下的目標是為設計優化算法求解稀疏解，優化目標(4)是一個NP難問題，因此可轉化為

解決目標(6)的一個常用方法是IHT算法[9]，其核心為

其中，閾值函數 Hs( pi)定義為

其中， λs(p)為設置的閾值，具體設置辦法為：將向量 θl+ μ AH( y ? Aθl)中絕對值由大到小進行排序，選取排在第s個元素的絕對值作為閾值，即將接近零的元素值設置為零。該方法的設計因不需要求解逆矩陣，算法結構簡單，運行速度快，但精度有限，且算法性能依賴于參數閾值 λs(p)和步長μ的選取。此外，還需要保證A是正則化的。換一種思路，嘗試采用拉格朗日乘子法求解如下問題

分別求偏導并置零，有

記

其中

其中，diag表示將向量進行對角化。交替代換，最終可得到解析解為

無論是IHT算法還是基于l1范數的拉格朗日算法，其核心都是圍繞最小化l1范數展開的，因此，獲得的精度有限，本文嘗試采用 PNC范數約束，構建目標函數為

其中，PNC范數 || θ||PNC定義詳見文獻[11,14]（文獻中將其稱為非均勻范數NNC，此處為了避免混淆2種算法，故本文算法名稱采用 PNC）。分別求偏導并置零為

記

其中，G如式(11)所述，而F為

其中，σ為PNC算法的閾值，交替代換，可得

從而有

因此有

最終可得到解析解為

從式(22)可以看出，該算法表達式具有固定點算法的特征，因此具有和固定點算法相同的收斂性。值得注意的是，本文所提算法和作者之前的工作[13]有以下3點不同之處。

1) 之前的工作是將非均勻范數加在經典最小均方誤差（LMS）的代價函數中，從而得到比經典LMS多一項計算式的迭代表達式；本文工作則是將部分范數約束作為一個閾值處理器融入求解的解析式中。

2) 在算法的實際處理中，之前的工作導出的迭代式可引入重構過程；而本文工作則引入了一個微小常量以避開病態運算。

3) 之前的工作是向量之間的運算，可實現在線模式進行處理；而本文工作方式是逐塊進行，是矩陣的運算形式，本文工作算法收斂對數據長度的要求低，且兩者的收斂策略也不同，前者是最陡梯度法，而本文采用的是拉格朗日算子法。

4 仿真實驗

為了評估算法的性能，采用恢復信噪比（RSNR,recovery signal to noise ratio）對各算法的恢復精度進行評估。，其中，θ～是θ的重構。因優化算法的本質是恢復稀疏信號，仿真實驗中設置 =40M ， =100N ，矩陣A元素服從高斯分布，再進行正則化處理。稀疏度（即非零元素的個數）設置為=10κ，稀疏信號中的非零抽頭隨機分布，測量信號y的信噪比設置為，本次仿真實驗中SNR=30 dB，

采用PNC、IHT、L1、MP、OMP算法對稀疏信號進行估計，得到的估計圖與原始圖對比情況如圖 2所示，采用PNC、IHT、L1、MP、OMP算法恢復結果計算得到的RSNR分別為28.84 dB、20.72 dB、25.46 dB、22.23 dB和25.25 dB。仿真實驗中，IHT算法參數設置為μ=0.95、κ=10，L1和PNC算法的迭代次數設置為40次，MP、OMP算法迭代次數為 40次，PNC算法中， σ = 0 .1||A?y||，其中，A?= AT( A AT)?1為A的偽逆矩陣。以上參數都是以RSNR最大化設置的。可以看出，IHT算法雖然結構簡單，復雜度不高，但精度最低，OMP、L1算法雖比MP、IHT算法精度有所提升，但PNC算法的精度最高，這是因為其采用了 PNC范數約束而不是僅采用l1范數進行約束構建代價函數，而貪婪算法是局部最優策略。此外，IHT算法必須要求A矩陣正則化才適用，這一要求限制了其廣泛應用，而L1和PNC算法沒有此項限制。

圖2 原始稀疏信號與5種算法恢復結果對比

5 海試數據實驗

本次實驗數據取自2017年的東海實驗，聲源放置在水下30 m，水聽器放置在水下20 m，收發距離約為10 km，水深約為100 m。選擇一段16 s的單載頻接收信號如圖 3所示，中心頻率 fc=1kHz，采樣率 fs= 3 0kHz。實驗中選取的單載波信號具有典型意義，如該類型信號常用作模擬艦船噪聲檢測。從圖3(a)可以看出，單載波信號淹沒在噪聲中，時域信號無任何稀疏特征，因此先將信號轉為 DCT域。實驗中，數據被劃分為若干個相同長度的塊，每塊長度為 N = 100，再對這些數據進行壓縮，壓縮至M = 40，然后根據給定的 A = ΦΨ和壓縮信號y，采用不同優化算法進行稀疏信號估計，再由這些估計結果和Ψ得到恢復信號。各算法參數設置如前，為了展現不同算法對信號的恢復性能細節，取2 000個采樣點進行對比，如圖4所示。其中，PNC、IHT、L1、MP、OMP算法對應的平均RSNR值分別為24.51 dB、14.25 dB、22.08 dB、18.52 dB、21.89 dB。可以看出，PNC算法比IHT、L1、MP、OMP算法所獲得的精度分別高出10.26 dB、2.43 dB、5.99 dB、2.62 dB，這是因為PNC算法范數約束比l1范數約束更具適配性，更好地逼近l0范數的性能。而匹配追蹤算法是局部最優策略，求解精度有限。

圖3 海試數據單載波信號

圖4 海試數據單載波原始信號和各算法恢復結果對比

6 結束語

為提高單載波水聲數據壓縮與重構的估計性能，本文提出將時域非稀疏的水聲信號轉為 DCT域信號進行稀疏值估計。在分析討論IHT和L1算法的基礎上，引入PNC范數約束并提出了PNC算法，與IHT和L1算法不同，本文算法通過部分范數約束項，根據抽頭系數的大小而給予不同的約束，從而提高了其對不同稀疏度的適應性。仿真和海試實驗中對比了PNC、IHT、L1、MP、OMP算法的處理結果，驗證了本文算法的優越性。