分段函數(shù)、函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性

王寶嫦

【摘要】在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，函數(shù)及分段函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容占據(jù)主要部分，其也是發(fā)展和鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效性。本文討論了數(shù)學(xué)定理中分段函數(shù)的含義及應(yīng)用，并借助分段函數(shù)的運用，討論了原函數(shù)的存在性與函數(shù)的可積性之間的相互關(guān)系，有助于掌握基元的兩個重要概念函數(shù)和定積分。

【關(guān)鍵詞】分段函數(shù) 可積性 原函數(shù) 間斷點

在單變量函數(shù)的積分中，原函數(shù)（不定積分）和定積分的定義是不同的，但是當(dāng)我們在理解微積分的基本理論時，我們將它們聯(lián)系在一起。因此，許多初學(xué)者都有原始函數(shù)存在的假象，那么函數(shù)是黎曼可積函數(shù)或函數(shù)可積函數(shù)，那么它的原始函數(shù)就必然存在。在目前的數(shù)學(xué)分析教科書中，雖然指出原始函數(shù)的存在性和函數(shù)的可積性不一定是相關(guān)的，但由于原始函數(shù)的局限性以及書本知識的容量和教學(xué)時間的局限，對于原始函數(shù)的存在性和函數(shù)可積性之間的關(guān)系沒有普遍的討論。本文在數(shù)學(xué)教材學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，借助分段函數(shù)對原始函數(shù)的存在性和函數(shù)的可積性進(jìn)行一般的證明討論，進(jìn)一步理解原始函數(shù)存在性與函數(shù)的可積性兩個重要定義之間的關(guān)系。

一、分段函數(shù)的討論

初等函數(shù)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點學(xué)習(xí)內(nèi)容。而非初等函數(shù)的討論往往在對某些重要概定理和問題的進(jìn)一步證明和理解中，它的主要運用之一是假設(shè)反例來滿足一些要求，然后分析和闡述定義或定理。分段函數(shù)是如此重要的一種函數(shù)。例如Dirichlet函數(shù)，黎曼函數(shù)，符號函數(shù)等等都是這個應(yīng)用的例子。分段函數(shù)是函數(shù)域的不同分段部分函數(shù)并不是一個分析表達(dá)式，是由幾個不相同的分析表達(dá)式概括的函數(shù)，有時具有無限數(shù)量的分析表達(dá)式。分段函數(shù)通常被定義為：設(shè)工是一個區(qū)間，f在I上有意義且滿足

則稱f為I上的分段函數(shù)。由于數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)中的分段函數(shù)，每個fi都是Ii上的函數(shù)，我們可以討論它們的特點性質(zhì)，如極限，函數(shù)的連續(xù)性，可微分性和函數(shù)可積性。由于這些函數(shù)在函數(shù)域的不同分段由不相同的分析表達(dá)式表示，它們通常具有一些不同的屬性，這是我們所關(guān)心的。尤其是在功能表達(dá)式表達(dá)的邊界點，它是這種獨特狀態(tài)的臨界點，因此它是討論的焦點。通過討論分界點用來證明函數(shù)的一些特點或重要的特性。比如黎曼函數(shù)，討論了它在有理臨界點是不連續(xù)的，而在無理臨界點是連續(xù)的。因此，學(xué)生在一個連續(xù)的點上對功能的局部特征有更強烈的印象。一般而言，通過使用分段函數(shù)可以增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一些基本定理的理解，并且通過使用分段函數(shù)可以討論函數(shù)的連續(xù)性，可微分性和可積性，具有一些獨特性質(zhì)的函數(shù)可以利用分段函數(shù)來構(gòu)造，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一些難題可以通過使用分段函數(shù)來解決。

作為函數(shù)的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容來說，分段函數(shù)思想可以根據(jù)實際數(shù)學(xué)題目的具體思想，按照實際教學(xué)和學(xué)習(xí)內(nèi)容，不斷的在學(xué)習(xí)過程中鍛煉自己的邏輯思維意識，將函數(shù)應(yīng)用到各領(lǐng)域的內(nèi)容中，例如物理學(xué)、化學(xué)和相關(guān)的學(xué)科內(nèi)容中，只有這樣才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識中函數(shù)應(yīng)用的有效性，從中體會到函數(shù)及分段函數(shù)的實際內(nèi)容的有效性及重要性。

二、對于原函數(shù)的存在性與可積性的相關(guān)討論

（一）關(guān)于可積函數(shù)的原函數(shù)存在性的討論

第一種可積函數(shù)，連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。此時，原始函數(shù)可以由一個變量上限合格積分表示。即若f在[a，b]上連續(xù)，則F（x）=∫axf（t）dt是f在[a，b]上的一個原函數(shù)。第二種可積函數(shù)，有有限個不連續(xù)點的有界函數(shù)。若f在[a，b]內(nèi)具有第一種間斷點，那么f在[a，b]內(nèi)不具有原函數(shù)，若f在[a，b]上具有無限類型的第二類型不連續(xù)點，則f在[a，b]上不具有原函數(shù)，如果f在[a，b]上具有第二類非無限類型的不連續(xù)點，則f在[a，b]上原函數(shù)的存在是不確定的。關(guān)于可積函數(shù)的原函數(shù)存在性原理的證明一定要結(jié)合實際給出的條件，利用條件進(jìn)行反推，只有這樣才能找到有效的解決措施及方法，利用函數(shù)的基本定理及相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解題，并按照實際教學(xué)的內(nèi)容對整個函數(shù)學(xué)習(xí)過程產(chǎn)生深刻體會。

（二）關(guān)于原函數(shù)存在的可積性的討論

顯然，若f在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f在區(qū)間[a，b]上可積，如果f在[a，b]上是不連續(xù)的函數(shù)，那么就說，在[a，b]內(nèi)f對應(yīng)的原函數(shù)F（x）是具有的，f在區(qū)間[a，b]上也不一定可積。因此對于函數(shù)的可積性與原函數(shù)的存在性相關(guān)分析，將整個數(shù)學(xué)函數(shù)的有效性及相關(guān)定理的運用結(jié)合起來，實現(xiàn)整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的有效性。

Dirichlet函數(shù)和黎曼函數(shù)原函數(shù)的存在性和可積性主要與連續(xù)點的“數(shù)量”不同。前者的不連續(xù)點是不可數(shù)的，而后者的不連續(xù)點是可數(shù)的。因此，一個不是可積的，另一個是可積的。由于黎曼積分本來就是對一個連續(xù)函數(shù)的一個積分，所以為了使函數(shù)是可積的，其連續(xù)的點的個數(shù)應(yīng)該足夠大而成為一個密集集合。

三、結(jié)語

原函數(shù)的存在性與函數(shù)的可積性是不相同的定義，這意味著可積函數(shù)不一定具有原函數(shù)，而存在原函數(shù)的函數(shù)也不一定是可積或不可積。當(dāng)然，有些功能既不是可積也不是原始的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或者擴展到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，分段函數(shù)作為一種具有獨特性質(zhì)的函數(shù)，具有重要的運用和意義。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能充分運用分片函數(shù)的特點，理解函數(shù)的可積性與函數(shù)的存在性之間的關(guān)系，可以正確指引學(xué)生進(jìn)一步理解理論的基本定義和正負(fù)兩種意義。此外，正確認(rèn)知和運用這些基本定理和理論是非常重要的，對于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)效果也是非常有意義的。

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