基座運動對并聯調整機構動力學性能的影響

姚建濤 韓 博 竇玉超 張 碩 許允斗 趙永生

(1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島 066004；2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島 066004；3.中國電子科技集團公司第五十四研究所，石家莊 050081)

0 引言

上海65 m射電望遠鏡是一臺65 m口徑全方位可動的大型射電天文望遠鏡，其天線主面直徑為65 m，副面口徑為6.5 m，由4根與主反射面相連的桁架支撐，距離地面70 m，為了適應多頻段饋源工作要求，并補償由重力變形或者外界風、雨、雪等因素引起天線性能和指向的變化，在副面與桁架之間裝有并聯調整機構，可根據天線主面工作狀態對副面進行實時多自由度位姿調整[1-4]。

副反射面調整機構為典型的六自由度Stewart并聯機構，并聯機構動力學分為正向動力學和逆向動力學，目前研究較多的是逆向動力學，即根據并聯機構動平臺位姿、速度和加速度計算各分支的驅動力[5-9]。并聯機構常用的動力學建模方法有牛頓歐拉法[10-11]、拉格朗日法[12-13]和Kane法[14-16]等，其中牛頓歐拉法物理意義明確、可求得系統內部約束反力，但僅適用于簡單系統；拉格朗日法動力學方程形式簡單、適用于復雜系統動力學建模，但過程復雜且計算量龐大；Kane法用矢量運算符叉積、點乘代替求導運算，運算速度得到極大提升，適用于實時運算，但偏速度和偏角速度概念較難理解。雖然不同的建模方法各具特點且建模過程不同，但最終得到的結果是一致的。

DO等[17]使用牛頓歐拉方法建立了Stewart平臺的動力學模型，文獻[18]則在系統動力學建模過程中考慮了驅動分支的慣量對系統整體動力學性能的影響，并進行了詳細分析；文獻[19-20]使用拉格朗日法對幾種構型并聯機構進行了動力學建模研究；丁華鋒等[21]運用Kane方法對一種正鏟液壓挖掘裝置進行了動力學分析；蔡赟等[22]提出了一種聯合應用Kane方程及拉格朗日方程的動力學解耦方法，并對一種3PTT-2R串并聯數控機床動力學耦合特性進行了研究；文獻[23-25]對基座運動和負載運動情況下的并聯機構動力學建模方法進行了研究分析。

上述文獻多數是對基座固定情況下的并聯機構動力學建模方法的研究，只有極少數學者考慮了基座運動對機構動力學性能的影響，但卻忽略了控制系統對動力學模型計算的高實時性要求。本文采用Kane方法針對射電望遠鏡副面并聯調整機構進行基座運動情況下的動力學建模與計算，分析基座運動對并聯調整機構動力學性能的影響，從而為此類并聯裝備機械結構強度校核和控制系統參數的確定奠定理論基礎。

1 并聯調整機構構型介紹與位姿描述

副面并聯調整機構為Stewart構型，主要由定、動平臺及6條可伸縮的UPS支鏈構成，構型如圖1所示。

該機構由基座、運動平臺、連接基座和運動平臺的6個驅動分支組成，其中基座與射電望遠鏡的桁架固連，副面安裝在運動平臺的底面上。驅動分支則由1個虎克鉸、1個移動副以及1個球鉸依次連接而成。其中虎克鉸與基座相連，球鉸與運動平臺相連，采用移動副作為分支的驅動輸入。6個虎克鉸Bi(i=1，2，…，6)共分3組且均布在半徑為R的圓周上，組間的夾角為φ1，組內兩虎克鉸間夾角為θ1。6個球鉸ai(i=1，2，…，6)共分3組均布在半徑為r的圓周上，組間夾角為φ2，組內兩球鉸間夾角為θ2。

如圖1所示，為了描述動平臺(副反射面)相對基座的位姿，在虎克鉸分布圓的中心以及副面與運動平臺組合體的質心分別建立直角坐標系{B}和{P}，其中坐標系{B}的yB軸與∠B1oBB2的角平分線重合，zB軸垂直于基座豎直向上。坐標系{P}的yP軸與∠a1oa2的角平分線平行，zP軸垂直于運動平臺且過其中心o點，oP與o距離為d。副面相對基座的位姿即可用坐標系{P}在坐標系{B}的位姿進行描述，初始位姿下，xP、yP軸分別與xB、yB軸對應平行，zP軸與zB軸重合。

2 基座運動對動平臺和驅動分支受力影響

在射電望遠鏡天線跟蹤天體運動的過程中，并聯調整機構的基座相對大地將產生運動，這不但增加了各構件的慣性力，同時在坐標系{B}下各構件的重力矢量方向也將發生改變。為對基座運動引起的各構件慣性力和重力矢量的變化進行分析，確定基座運動對系統動力學的影響，在天線方位和俯仰轉動中心建立大地參考坐標系{W}，如圖2所示。

圖2 系統坐標系設置Fig.2 Coordinate system settings

(1)

式中，基座位置矢量WpB|W下角標B代表與被描述對象固連的坐標系{B}，上角標W則表示被描述對象的參考坐標系{W}，下角標W則表示在坐標系{W}下對基座的位置進行描述，其他變量角標定義以此類推。

基座在大地坐標系下的位姿為

(2)

2.1 基座運動對動平臺的受力影響分析

取基座在坐標系{W}下的位姿WXB|W為其廣義坐標

(3)

式(3)兩端分別對時間求導，可得基座在大地坐標系{W}下的速度為

(4)

根據坐標系間速度的映射關系，基座速度在坐標系{B}下可表示為

(5)

將式(5)兩端分別對時間求導，可得坐標系{B}下基座的加速度

(6)

根據速度合成定理，由基座運動引起的動平臺線速度和角速度可分別表示為

(7)

WωP|B=WωB|B

(8)

將式(7)兩端分別對時間求導，可得坐標系{B}下動平臺的線加速度為

WaP|B=WaB|B+2WωB|B×BvP|B+WεB|B×

BpP|B+WωB|B×(WωB|B×BpP|B)

(9)

其中，式(9)中的第2項為動平臺的科氏加速度，第4項為動平臺的向心加速度。

根據角加速度合成定理，可得坐標系{B}下動平臺的角加速度為

(10)

根據牛頓第二運動定律，基座運動引起的動平臺慣性力為

FP|B=mPWaP|B=
mP[WaB|B+2WωB|B×BvP|B+

WεB|B×BpP|B+WωB|B×(WωB|B×BpP|B)]

(11)

根據牛頓歐拉方程，基座運動引起的動平臺慣性矩為

MP|B=IP|BWεP|B+WωP|B×(IP|BWωP|B)=
IP|B(WεB|B+WωB|B×BωP|B)+WωP|B×(IP|BWωP|B)

(12)

式中IP|B——坐標系{B}下動平臺的慣性張量

2.2 基座運動對驅動分支的受力影響

為了對基座運動引起的分支慣性力進行分析，以第i個分支為研究對象，以質心mfi和mmi為原點分別建立坐標系{Ci}和{Di}。其中坐標系{Ci}的xCi軸沿分支桿長指向動平臺一側，yCi軸垂直于軸xCi且始終與坐標系{B}的xByB平面保持平行，根據右手法則可確定zCi軸指向，且zCi軸在zB軸上的投影始終指向zB軸的正方向。同理，坐標系{Di}的xDi軸沿分支桿長指向動平臺一側，yCi軸垂直于軸xCi且始終與xByB平面保持平行，zCi軸在zB軸上的投影亦始終指向zB軸的正方向，如圖3所示。

圖3 驅動分支質心坐標系Fig.3 Center of mass coordinate of link

根據空間矢量合成定理，質心mfi相對坐標系{W}的位置矢量在坐標系{B}下的表示為

Wpfi|B=WpB|B+Bpfi|B=WpB|B+BpBi|B+lfsi

(13)

式(13)兩端對時間求導，并根據速度合成定理，可求得質心mfi的線速度為

Wvfi|B=WvB|B+WωB|B×(BpBi|B+lfsi)

(14)

式(14)兩端對時間求導可得坐標系{B}下質心mfi的線加速度為

Wafi|B=WaB|B+2WωB|B×Bvfi|B+
WεB|B×(lfisi+Bi)+WωB|B×(WωB|B×(lfisi+Bi))

(15)

其中第2項為質心mfi的科氏加速度，第4項為質心mfi的向心加速度。

根據牛頓第二定律，基座運動引起的基座側驅動分支慣性力為

Fmi|B=mfWafi|B=
mf{WaB|B+2WωB|B×Bvfi|B+WεB|B×(lfisi+Bi)+
WωB|B×[WωB|B×(lfisi+Bi)]}

(16)

為了計算基座運動對驅動分支慣性矩的影響，首先確定驅動分支的慣性矩陣在坐標系{B}下的表示。根據圖3中所示驅動分支質心坐標系{Ci}和{Di}的設置，可得坐標系{Ci}向坐標系{B}的映射矩陣為

(17)

已知在坐標系{Ci}下分支慣性矩陣為If|C，則其在坐標系{B}下可表示為

(18)

根據角加速度合成定理，基座運動引起的質心mfi處的角加速度為

(19)

則根據牛頓歐拉方程，基座運動引起的基座側分支所受慣性矩為

(20)

對于運動平臺側驅動分支，其質心mmi在坐標系{B}下的位置矢量為

Wpmi|B=WpB|B+Bpmi|B

(21)

式(21)兩端對時間求導，可求得質心mmi的線速度為

Wvmi|B=WvB|B+WωB|B×Bpmi|B=
WvB|B+WωB|B×[Bi+(li-lmi)si]

(22)

式(22)兩端對時間求導可得質心mmi的加速度為

(23)

其中第2項為質心mmi的科氏加速度，第4項為質心mmi的向心加速度。

則由基座運動引起的運動平臺側分支慣性力為

Fmi|B=mmWami|B=
mf{WaB|B+2WωB|B×Bvmi|B+WεB|B×Bpmi|B+
WωB|B×[WωB|B×(Bi+(li-lmi)si)]}

(24)

由于驅動分支兩部分間軸線始終保持重合，故坐標系{Di}向坐標系{B}的映射矩陣滿足

(25)

所以，坐標系{B}下運動平臺側驅動分支慣性矩陣可以表示為

(26)

由于驅動分支兩段間的角加速度始終保持相等

Wεmi|B=Wεfi|B=WεB|B+WωB|B×Bωli|B

(27)

根據牛頓歐拉方程，基座運動引起的運動平臺側驅動分支慣性力矩為

Mmi|B=Imi|BWεmi|B+Wωmi|B×(Imi|BWωmi|B)=
Imi|B(WεB|B+WωB|B×Bωmi|B)+
Wωmi|B×(Imi|BWωmi|B)

(28)

2.3 基座運動對重力加速度方向矢量的影響

基座坐標系{B}與大地坐標系{W}間不存在相對運動的情況下，兩坐標系坐標軸對應平行，此時坐標系{B}下重力加速度矢量為

(29)

(30)

3 并聯調整機構動力學建模

(31)

(32)

即作用于剛體簡化中心上的主動力和主動力矩，分別與該點對應于某一獨立速度的偏速度和偏角速度的標量積之和稱為剛體對應于該獨立速度的廣義主動力。廣義慣性力則為剛體質心上作用的慣性力和慣性力矩與該質心對應于某一獨立速度的偏速度與偏角速度的標量積之和。

3.1 基座固定情況下系統動力學建模

已知動平臺和副面的質量之和為mP，對于第i個驅動分支，其基座一側質量為mf，運動平臺一側質量為m，分支驅動力為Fi，重力加速度為gB。

根據系統廣義主動力的定義，可知對應于廣義速率的系統廣義主動力為

(33)

其中，各偏速度下角標k表示偏速度的第k列構成的向量，其中k依次取1，2，…，6。

對應于廣義速率的系統廣義慣性力為

(34)

其中，各偏速度下角標k表示偏速度的第k列構成的向量，其中k依次取1，2，…，6。

根據式(31)中Kane方程的定義可得并聯調整機構動力學方程為

(35)

式(35)經過整理，可以表達為

(36)

式中F——各分支驅動力組成的行向量

eF——系統中對應各偏速度的廣義慣性力與除廣義驅動力以外的其他廣義主動力之差組成的行向量

該行向量的第k個元素為

(37)

G6×6為除廣義驅動力以外的廣義主動力和慣性力之和向分支驅動力的映射矩陣

(38)

根據式(36)中建立的分支驅動力與除廣義驅動力以外的其他廣義慣性力和廣義主動力之差的映射關系，即可計算出基座固定時對應指定運動參數下分支的驅動力。

3.2 基座運動情況下系統動力學建模

由前述基座運動影響下動平臺和驅動分支受力分析，可知動平臺和驅動分支所受慣性力和慣性力矩以及重力加速度在坐標系{B}下的表示，則基座運動情況下系統主動力和主動力矩對應于廣義速率的廣義主動力為

(39)

其中，各偏速度下角k表示由偏速度的第k列構成的向量，k依次取1，2，…，6。

對應于廣義速率的系統廣義慣性力為

(40)

根據Kane方程的定義，基座運動情況下作用在調整機構各構件上相對于廣義速率的廣義主動力和廣義慣性力之和為零，則系統動力學方程為

(41)

式(41)經過整理，可以表示成

F′=eF′G′6×6-1=

(42)

式中eF′——系統中對應各偏速度的廣義慣性力與除廣義驅動力以外的其他廣義主動力之差組成的行向量

該行向量的第k個元素為

(43)

G′6×6-1為系統中除廣義驅動力以外的廣義主動力和慣性力之和與分支驅動力間的映射矩陣，其中

(44)

根據式(42)中建立的分支驅動力與除廣義驅動力以外的其他廣義慣性力和廣義主動力之差的映射關系，即可計算出基座運動情況下對于指定運動參數下分支的驅動力，即系統的動力學逆解。

4 并聯調整機構動力學數值與仿真分析

并聯調整機構結構及物理參數見表1。

運用上述理模型和機構參數，在Matlab中進行編程計算求解，得到的驅動力如圖4所示。

將圖4和圖5所示兩種情況下系統的驅動力進行對比，結果如圖6所示。

表1 結構及物理參數Tab.1 Structural and physical parameters

圖4 基座固定情況下分支驅動力理論值Fig.4 Theoretical value of driving force with condition of fixed base

圖5 基座運動情況下分支驅動力理論值Fig.5 Theoretical value of driving force with condition of moving base

圖6 基座運動對分支驅動力的影響(理論值)Fig.6 Influence of base moving on driving force (theoretical value)

為驗證理論模型的正確性，采用系統動力學分析軟件ADAMS對機構進行動力學仿真，將建立好的三維模型導入到ADAMS軟件中，并添加相關運動副約束，設置并聯調整機構的驅動模型，使其與上述規劃的運動模型一致，虛擬樣機模型如圖7所示，仿真結果如圖8～10所示。

圖7 并聯調整機構ADAMS模型Fig.7 ADAMS model of parallel adjusting mechanism

圖8 基座固定情況下分支驅動力仿真值Fig.8 Simulation value of driving force with fixed base

圖9 基座運動情況下分支驅動力仿真值Fig.9 Simulation value of driving force with moving base

圖10 基座運動對分支驅動力的影響(仿真值)Fig.10 Influence of base moving on driving force (simulation value)

對比圖4～6與圖8～10的仿真曲線，可以得出前述并聯調整機構動力學模型的正確性。

對比圖6和圖10中各分支驅動力變化曲線可以得知，在基座運動的影響下，1、2分支驅動力先減小后增大，最大增幅接近14 000 N。第3、4、5、6分支驅動力則是先增大后減小，驅動力由拉力(正值)逐漸過渡為推力(負值)，最大增幅6 000 N。通過以上分析可以得知，基座運動對系統動力學性能影響是不容忽視的，在結構設計及強度校核、電機選型和控制策略設計過程中應充分考慮基座運動的影響，以提高系統參數的準確性和結構強度的可靠性。

5 結論

(1) 以六自由度并聯調整機構為研究對象，對并聯調整機構進行了構型介紹與位姿描述，分析了基座運動對動平臺和驅動分支受力的影響，計算了基座運動引起的動平臺和驅動分支慣性力和慣性力矩，并分析了基座運動過程中引起的重力矢量的變化。

(2) 采用具有高實時性特點的Kane方法分別建立了基座固定和基座運動兩種情況下并聯調整機構的動力學方程。

(3) 分別采用Matlab和ADAMS軟件仿真分析了基座運動對機構動力學性能的影響，驗證了所建動力學模型的正確性，同時也發現基座運動對系統動力學影響較為明顯，在結構初期設計時應加以考慮，以提高系統參數的準確性和結構強度的可靠性。