電磁場邊界條件極化模型分析

周作黎 譚超先 劉衛剛

摘要：電磁場經過不同電性界面邊界條件，運用麥克斯韋方程組的積分形式可推導，這種方式的推導關于界面處源的問題有點模糊，不便于理解記憶。本文將通過電場的極化模型束縛電荷來對比分析界面處關于電荷積累的問題以及磁化模型束縛電流模型來分析界面處磁源的問題，從而對邊界條件有更加清楚的認識。

關鍵詞：邊界條件；麥克斯韋方程組的積分形式；極化

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）23-0213-03

一、麥克斯韋方程組的積分形式及邊界條件的推導

（一）麥克斯韋方程組的積分形式

E·dL=-·dS （1）

H·dL=∑（I+I） （2）

D·dS=q？搖 （3）

B·dS=0？搖 （4）

（二）邊界條件的分析及推導

邊界條件是指電磁場穿過不同電性界面應滿足的關系式，可通過上述積分方程組推導得出，我們作簡單推導，看（4）式，它表明磁場是無源場，在電性界面處取體積元圓柱體，運用（4）式，右邊項為零，側面積分在取極限時取為0，不難推出磁感應強度B垂直分量連續。對于電位移D垂直分量不連續，分析（3）式，并和（4）式相比，右邊項多了累積電荷項，累積電荷是自由電荷，會對電位移失量D產生影響，導致D垂直分量不連續。關于切線方向E分連續及H分量連續，電流密度法向分量連續都可通過方程組推出。

二、電極化和磁化

（一）電極化、束縛電荷

電介質依據電結構不同，可把電介質分為兩類：一類是無極分子，另一類是有極分子。將無極或有極電介質分子放在均勻外電場中，各分子的電偶極子受到外電場力偶的作用，都要轉向外電場方向，并有序的排列起來，但由于分子熱運動使這種排列不可能整齊。然而，從總體上看，這種排列的結果使電介質沿電場方向前后兩個側面分別出現正、負電荷。這種電荷不能在電介質內自由移動，也不能離開電介質表面，因而稱為束縛電荷。

（二）磁化、束縛電流

磁化是指磁介質放在磁場中會產生附加磁場的現象，磁介質分為順磁質、抗磁質和鐵磁質物質，鐵磁質磁化原理不同于順磁質和抗磁質。物質內部原子、分子中每個電子都參與兩種運動，可以看作圓形電流，具有一定的軌道磁矩Pm，同時電子本身固有自旋，有自旋磁矩。一個分子中所有電子的各種磁矩的總和構成這個分子固有磁矩，可以等效為一個圓形分子電流i產生的。研究表明，抗磁質分子在沒有外磁場作用時固有磁矩為零，順磁質由于分子熱運動磁矩取向雜亂無章，宏觀上不呈磁性。

三、邊界條件的極化模型分析

（一）邊界條件的極化模型分析

為了分析電場邊界條件問題，我們依據電極化知識，建立如圖1和圖2電極化模型，該模型只能分析垂直方向的問題，關于切向方向，我們只做簡單分析。電場和界面累積電荷都會產生束縛電荷，首先只考慮電場，我們構造電性界面S，界面兩側相對介電常數為 ε和ε，界面兩側自由電荷面密度為+σ0和-σ0的帶電無限平板，設各界面由極化產生電荷密度分別為 -σ1、+σ1、-σ2、+σ2，兩邊介質中電場強度分別為E1和E2，電位移矢量為D1和D2。然后考慮累積電荷模型，其他條件不變，不考慮電場即兩電板面電荷密度是未知的，設為σ3，設累積電荷產生的界面兩邊束縛電荷為-σ4、-σ5。

圖1由于電板無限，可知介質內場均勻，過電介質1作圓柱高斯面，通過極板A外側底面的電位移通量和圓筒側面的電位移通量皆為0，因此通過所作高斯面的電位移通量就等于通過位于電介質1中圓柱底面的電位移D1的通量。根據高斯定理可得：

SD·dS=D1ΔS1=σ0ΔS1（1）

化簡得D1=σ0（2）

由D=εE代入（2）式得E1== （3）

同上，通過電介質2作高斯面

D2=σ0（4）

E2==（5）

由圖2可知，這種不對稱的電極化稍微復雜，只有界面處存在電荷，電場強度受自由電荷與束縛電荷的影響，電極化對電場強度的影響就相當于在界面電荷和在真空產生的電場，也就是電通量的高斯定理，所以界面兩邊電場強度大小相同，方向相反。

E1=-E2（6）

由D=εE代入（6）式可得

D1=ε0εE1（7）

D2=ε0εE2（8）

在界面處作高斯面，依據高斯定理得

SD·dS=（D1-D2）ΔS1=σ3ΔS1（9）

將（6）式、（7）式及（8）式代入（9）得

E1=-E2=（10）

D1= （11）

D2=（12）

依據σ'=1-σ0 （13）

σ4=（14）

σ5=（15）

這兩個模型通過疊加能較為詳細的解釋電位移矢量垂直分量的不連續以及計算電場與電位移矢量垂直分量之間明確的關系。

（二）邊界條件磁化模型分析

為了直觀的理解不同電性界面磁感應強度垂直分量連續以及對磁場無源性質做進一步解釋，我們建立如圖3的磁化模型，首先構造分界面S，界面兩邊電性參數分別為μεσ和μεσ，我們考慮無限長螺旋環，線圈中通有電流I，在兩界面產生束縛電流分別為I和I，設兩邊磁感應強度分別為B1和B2。

和電極化一樣，我們同樣可以將得到的磁感應強度分為兩部分即：B=μH+μM（1）

M為磁極化失量，本質上就是束縛電流在真空產生的磁場強度，可得：B=μH+μI （2）

我們知道傳導電流產生的磁場是無源場，實際上電流產生的磁場都是無源的，束縛電流也一樣，無源場就是說在空間不會產生像電荷一樣產生有一點發散的場，也就是在界面處磁感應強度不會發生突變，由（2）式，前部分為定值，后部分為空間連續值，所以磁感應強度垂直分量連續。直觀可以理解為兩界面束縛電流在界面處共同產生影響，因而界面處垂直分量連續。

四、總結

本文主要介紹了麥克斯韋理論，推導了電磁場穿過不同電性界面的邊界條件，還介紹了極化相關的知識，利用極化知識建立適當的模型，分析了垂直方向上的邊界條件，能直觀理解邊界條件的連續問題，對比分析自由電荷與束縛電荷及束縛電流對場的影響，進一步討論電荷及電流產生場的有關源的問題。

參考文獻：

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[2]吳百詩.大學物理下冊[M].西安交通大學出版社，2011.

[3]謝樹藝.失量分析與場論[M].北京：高等教育出版社，2012.